高考数学二轮名师精编精析：数列求和

高考数学二轮名师精编精析：数列求和

数列求和 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.设 4 7 10 3 10( ) 2 2 2 2 2 ( )nf n n N       ，则 ()fn等于（ D ） A. 2 (8 1)7 n  B. 12 (8 1)7 n  C. 32 (8 1)7 n  D. 42 (8 1)7 n  2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ B ） A．9 B．10 C．11 D．12 3.）数列{}na 的前 n 项和为 nS ，若 1 ( 1)na nn  ，则 5S 等于（ B ） A．1 B． 5 6 C． 1 6 D． 1 30 4.设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若 S3 S6＝1 3，则 S6 S12＝ A. 3 10 B.1 3 C.1 8 D.1 9 解析:由等差数列的求和公式可得 3 1 1 61 33 1,26 15 3 S ad adS a d    可得 且 0d  所以 6 1 12 1 6 15 27 3 12 66 90 10 S ad d S a d d    ,故选 A 5.已知数列 }{ na 、 }{ nb 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 1a 、 1b ，且 511  ba ， * 11, Nba  ．设 nbn ac  （ *Nn ），则数列 }{ nc 的前 10 项和等于（ ） A．55 B．70 C．85 D．100 解：数列 、 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 、 ，且 ， ．设 （ ）， 则数列 的前 10 项和等于 1 2 10b b ba a a   = 1 1 119b b ba a a   ， 1 11( 1) 4ba a b    ，∴ = 4 5 6 13 85     ，选 C. 6.对正整数 n，设曲线 )1( xxy n  在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 na ，则数列 }1{ n an 的前 n 项和的公式是 解： 1 ( 1)nny nx n x    ，曲线 y=xn(1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n 切点为（2，-2n）,所以切线方程为 y+2n=k(x-2),令 x=0 得 an=(n+1)2n,令 bn= 21 nna n  .数列     1n an 的前 n 项和为 2+22+23+…+2n=2n+1-2 ★★★高考要考什么 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 dnnnaaanS n n 2 )1( 2 )( 1 1         )1(1 )1( )1( 1 1 qq qa qna S n n 公比含字母时一定要讨论 (理)无穷递缩等比数列时， q aS  1 1 2．错位相减法求和：如：    .,, 2211 的和求等比等差 nnnn babababa   3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 4．合并求和：如：求 222222 12979899100   的和。 5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 1 11 )1( 1  nnnn )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 1  nnnn ])2)(1( 1 )1( 1[2 1 )2)(1( 1  nnnnnnn !)!1(! nnnn  )!1( 1 ! 1 )!1(  nnn n 6．公式法求和 6 )12)(1( 1 2   nnnk n k 2 1 3 ]2 )1([   nnk n k 7．倒序相加法求和 ★★ 突 破 重 难 点 【范例 1】设数列 na 满足 21 1 2 33 3 3 3 n n na a a a    … ， a *N ． （Ⅰ）求数列 的通项； （Ⅱ）设 n n nb a ，求数列 nb 的前 n 项和 nS ． 解 (I) 21 1 2 33 3 ...3 ,3 n n na a a a    22 1 2 3 1 13 3 ...3 ( 2),3 n n na a a a n       1 113 ( 2).3 3 3 n n nnan     1( 2).3n nan 验证 1n  时也满足上式， *1 ( ).3n na n N (II) 3n nbn ， 231 3 2 3 3 3 ... 3n nSn        ① ② ① - ② ： 2 3 12 3 3 3 3 3nn nSn       2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 ... 3n nSn        1 133 313 n nn     ， 1113332 4 4 nn n nS        【变式】已知二次函数 ()y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为 ' ( ) 6 2f x x，数列{}na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N 均在函数 的图像上。（Ⅰ）、求数列 的通项公式； （Ⅱ）、设 1 1 n nn b aa  ， nT 是数列{}nb 的前 n 项和，求使得 20n mT  对所有 nN 都成立的最小正整数 m； 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推 理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点 均在函数 的图像上，所以 ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ )1(2)13 2  nn（ ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 1 3   nn n aab ＝  5)1(6)56( 3  nn ＝ )16 1 56 1(2 1  nn ， 故 Tn＝   n i ib 1 ＝ 2 1      )16 1 56 1(...)13 1 7 1()7 11( nn ＝ （1－ 16 1 n ）. 因此，要使 （1－ ）< 20 m （ ）成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ，即 m≥10，所以满足要求的最小正 整数 m 为 10. 【范例 2】已知 数列  na 中的 相邻两项 2 1 2kkaa ， 是 关于 x 的 方程 2 (3 2 ) 3 2 0kkx k x k    的 两个根 ，且 2 1 2 ( 1 2 3 )kka a k ≤ ，，， ． （I）求 1a ， 2a ， 3a ， 7a ； （II）求数列 na 的前 2n 项和 2nS ； （Ⅲ）(理)记 sin1( ) 32 sin nfn n  ， (2) (3) (4) ( 1) 1 2 3 4 5 6 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)f f f f n n nn T a a a a a a a a          … ， 求证： 15()6 24nTn *N≤ ≤ ． （I）解：方程 2 (3 2 ) 3 2 0kkx k x k    的两个根为 1 3xk ， 2 2kx  ， 当 1k  时， 1232xx， ，所以 1 2a  ； 当 2k  时， 1 6x  ， 2 4x  ，所以 3 4a  ； 当 3k  时， 1 9x  ， 2 8x  ，所以 5 8a  时； 当 4k  时， 1 12x  ， 2 16x  ，所以 7 12a  ． （II）解： 2 1 2 2nnS a a a    2(3 6 3 ) (2 2 2 )nn        2 133222 nnn   ． （III）证明： ( 1) 1 2 3 4 5 6 2 1 2 1 1 1 ( 1) fn n nn T a a a a a a a a        ， 所以 1 12 11 6T aa ， 2 1 2 3 4 1 1 5 24T a a a a   ． 当 3n≥ 时， ( 1) 3 4 5 6 2 1 2 1 1 1 ( 1) 6 fn n nn T a a a a a a        ， 3 4 5 6 2 1 2 1 1 1 1 6 nna a a a a a      ≥ 23 1 1 1 1 1 6 6 2 6 2 2n     ≥ 1 1 1 6 6 2 6n   ， 同时， ( 1) 5 6 7 8 2 1 2 5 1 1 ( 1) 24 fn n nn T a a a a a a        5 6 1 2 2 1 2 5 1 1 1 24 nna a a a a a      ≤ 31 5 1 1 1 1 24 9 2 9 2 2n     ≤ 5 1 5 24 9 2 24n   ． 综上，当 nN*时， 15 6 24nT≤ ≤ ． 【变式】在数列 na 中， 1 2a  ， 1 4 3 1nna a n    ， n *N ． （Ⅰ）证明数列 nan 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的前 n 项和 nS ； （Ⅲ）证明不等式 1 4nnSS ≤ ，对任意 皆成立． 解、（Ⅰ）证明：由题设 1 4 3 1nna a n    ，得 1 ( 1) 4( )nna n a n     ， n *N ． 又 1 11a ，所以数列 nan 是首项为1，且公比为 4 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 14n nan  ，于是数列 na 的通项公式为 14n nan． 所以数列 na 的前 n 项和 4 1 ( 1) 32 n n nnS  ． （Ⅲ）证明：对任意的 n *N ， 1 1 4 1 ( 1)( 2) 4 1 ( 1)443 2 3 2 nn nn n n n nSS            21 (3 4) 02 nn    ≤ ． 所以不等式 1 4nnSS ≤ ，对任意 皆成立． 【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式、不等式 的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力． 【范例 3】已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn 及数列｛an｝的通项； 记 bn= 2 11  nn aa ，求｛bn｝数列的前项和 Sn，并证明 Sn+ 13 2 nT =1. 解：（Ⅰ）由已知 2 1 2n n na a a  ， 2 1 1 ( 1)nnaa    1 2a  11na   ，两边取对数得 1lg(1 ) 2lg(1 )nnaa   ，即 1lg(1 ) 2lg(1 ) n n a a   {lg(1 )}na是公比为 2 的等比数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 1lg(1 ) 2 lg(1 )n naa    1122 lg3 lg3 nn    1213n na     （*） 12(1 )(1 )nT a a    n…(1+a ) 0 1 22 2 23 3 3     n-12… 3 21 2 23    n-1…+2 = n2 -13 由（*）式得 1231n na   （Ⅲ） 2 102nna a a  1 ( 2)n n na a a   1 1 1 1 1()22n n na a a     1 1 1 2 2n n na a a     又 11 2n nn b aa 1 112( )n nn b aa    12nS b b    n…+b 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 12( ) nna a a a a a       …+ 11 112( ) naa  122 113 1, 2, 3 1nn nna a a      2 21 31nnS    又 213 n nT  2 131n n S T   . 【变式】已知数列 nx 满足 121xx，并且 1 1 nn nn xx xx   （  为非零参数， 234n  ，，，…）． （Ⅰ）若 1 3 5x x x， ， 成等比数列，求参数 的值； （Ⅱ）设01，常数 k N 且 3k≥ ．证明 12 12 ()1 k k k n k k n x x x nx x x          N… ． 解：（I）由已知 121,xx且 363 3 52 4 4 3 4 5 2 1 3 2 4 3 , , .x x xx x xx x xx x x x x x              若 1x 、 3x 、 5x 成等比数列，则 2 3 1 5,x x x 即 26. 而 0,  解得 1.  （II）证明：设 1 ,n n n xa x  由已知，数列 na 是以 2 1 1x x  为首项、  为公比的等比数列，故 11 ,nn n x x    则 11 12 . ...n k n k n k n n n k n k n x x x x x x x x           ( 3) 2 3 1 2. ... . kkknn k n k n         因此，对任意 *,nN 12 12 ...k k n k n x x x x x x      ( 3) ( 3) ( 3)22 2 2... k k k k k kk k kn             ( 3) ( 3) 222(1 )( ... ) .1 k k k k k nk k k nk k             当 3k  且01时， ( 3) 20 1,0 1 1, kk nk       所以 *12 12 ... ( ).1 k k k n k k n x x x nNx x x         