数学文卷·2017届陕西省西安市第一中学高三高考押题卷（二）（2017

数学文卷·2017届陕西省西安市第一中学高三高考押题卷（二）（2017

西安市第一中学2017届高三高考押题卷 文科数学（二）‎ 本试题卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可得，，，所以，所以．故选C．‎ ‎2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点在（ ）‎ A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．实轴 D．虚轴 ‎【答案】D ‎【解析】设复数，，因为，所以，所以，所以可得，解得，所以，所以复数z在复平面内对应点在虚轴上．故选D．‎ ‎3．为了得到函数的图像，可将函数的图像（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】D．‎ ‎【解析】，所以将函数的图像向左平移个单位．故选D．‎ ‎4．某公司准备招聘了一批员工．有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口 专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，第一个人已面试后，则第二次选到与公 司所需专业不对口的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】因为有5人是与公司所需专业不对口，第二次选到与公司所需专业不对口有5种可能，有20人 经过初试有20种可能，所以．故选C．‎ ‎5．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开 立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，公式为．如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据公式得，，解得．故选D．‎ ‎6．若变量满足不等式组，则的整数解有（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图：‎ 易知：共9个整数点．故选D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a，则该三棱锥的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，‎ 该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为，因此此几何体的表面积．故选D．‎ ‎8．已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（ ）‎ A．80 B．20 C．180 D．166‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以，两式相减为常数，所以数列也为等差数列．因为为等差数列，且S2＝4，S4＝16，所以，，所以等差数列的公差，所以前n项和公式为 ，所以．故选C．‎ ‎9．已知直线与圆C：交于两点A，B，不在圆上的一点，若，则m的值为（ ）‎ A．， B．1， C．1， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】将直线l的方程与圆C的方程联立得，化简得，解得x＝0或，所以，，所以，，根据，所以，化简，解得或．故选A．‎ ‎10．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：‎ ‎①的定义域是；‎ ‎②函数是区间上的增函数；‎ ‎③是奇函数；‎ ‎④函数在上取得最小值．‎ 其中推断正确的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可得，函数的定义域为，所以①为正确；因为，当时，，所以函数在为单调递减函数，当或时，，在，为单调递增函数，又在，上为正，在上为负，所以函数在上取得最小值，所以④正确，②错误．，可见是非奇非偶函数，所以③错误．故选C．‎ ‎11．已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则 因为，所以，，，则，因为，所以．故选A．‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ）‎ A．HF//BE B．‎ C．∠MBN的余弦值为 D．△MBN的面积是 ‎【答案】C ‎【解析】因为面，且面与面MBN的交线为FH，与面MBN的交线为BE，所以HF//BE，A正确；因为，且，所以，所以，所以，在Rt△中，，所以B正确；在Rt△中，E为棱的中点，所以为棱上的中点，所以，在Rt△中，，所以；因为，在△中，，所以C错误；因为，所以，所以．所以D正确．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作 答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎13．如图所示，在梯形ABCD中，∠A＝，，BC＝2，点E为AB的中点，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建系，，，，，‎ ‎∴，，所以．‎ ‎14．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎，输出S的值为．‎ ‎15．已知数列为，数列满足，，则数列前项和为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由数列得通项公式，所以，‎ 所以数列的通项公式为，由此可知数列是以首项为1，公比为的等比数列，所以其前项和．‎ ‎16．如图：已知，，在边上，且，，，（为锐角），则的面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中，由余弦定理可得，得，在 中，由正弦定理，解得，所以，在中，，‎ 由正弦定理可得，解得，‎ 所以的面积为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．‎ ‎（1）求角A、B、C；‎ ‎（2）若，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积．‎ ‎【答案】（1），，；（2），．‎ ‎【解析】（1）因为A，B均为锐角，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ∵B为锐角，∴，‎ ‎∴，则A的大小为，·································3分 在△ABC中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，·········································6分 ‎∴．··········································7分 ‎（2）根据正弦定理，‎ 得，····················9分 ‎∴．··············12分 ‎18．（本小题满分12分）2017年4月1日，中共中央、国务院决定设立的国家级新区——雄安新区．雄安新区 建立后，在该区某街道临近的A路口和B路口的车流量变化情况，如表所示：‎ 天数t（单位：天）‎ ‎1日 ‎2日 ‎3日 ‎4日 ‎5日 A路口车流量x（百辆）‎ ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1.1‎ B路口车流量y（百辆）‎ ‎0.23‎ ‎0.22‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎（1）求前5天通过A路口车流量的平均值和通过B路口的车流量的方差，‎ ‎（2）根据表中数据我们认为这两个临近路口有较强的线性相关关系，第10日在A路口测得车流量为3百辆 时，你能估计这一天B路口的车流量吗？大约是多少呢？（最后结果保留两位小数）（参考公式：，，）‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，‎ ‎（百辆），···························2分 ‎（百辆），···························4分 所以通过B路口的车流量的方差为（百辆2）．‎ 故前5天通过A路口车流量的平均值为百辆和通过B路口的车流量的方差为（百辆2）；‎ ‎····································‎ ‎··········6分 ‎（2）根据题意可得，，·······················8分 所以，‎ 所以A路口车流量和B路口的车流量的线性回归方程为，·······10分 当时，（百辆）．‎ 故这一天B路口的车流量大约是百辆．·······························12分 ‎19．（本小题满分12分）如图所示，直棱柱，底面是平行四边形， ‎ ‎，，是边的中点，是边上的动点， ‎ ‎（1）当时，求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为底面是平行四边形，所以，E是的中点，所以⊥．········································1分 在直棱柱，因为⊥底面，⊂底面，‎ 所以⊥，‎ 又因为∩＝，所以⊥平面B1BCC1，···················2分 又BF⊂平面B1BCC1，所以⊥BF．····························3分 在矩形中，因为＝1，，‎ ‎∴．‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎··································5分 又∵，‎ ‎∴平面．··········································6分 ‎（2）因为平面，所以是三棱锥的高，且，·7分 因为，·······································8分 因为，所以∽，‎ 所以，‎ 所以，···················································10分 所以．············12分 ‎20．（本小题满分12分）设椭圆C：的左顶点为，且椭圆C与直线相切．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由．‎ ‎【答案】（1），（2）存在，．‎ ‎【解析】（1）根据题意可知，所以，······················1分 由椭圆C与直线相切，联立得，‎ 消去可得：，·························3分 ‎，即，‎ 解得：或3，‎ 所以椭圆的标准方程为．···································5分 ‎（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，，‎ 联立得，化简，‎ 所以，‎ ‎··········································7分 所以 ‎，‎ 所以当时，；·························10分 当过点的直线的斜率不存在时，直线即与轴重合，此时，所以，‎ 所以当时，；‎ 综上所述，当时，．···················12分 ‎21．（本小题满分12分）设函数，‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据题意可得，，································1分 ‎，所以，即 ‎，·················3分 所以在点处的切线方程为，即．···5分 ‎（2）根据题意可得，在恒成立，‎ 令，，‎ 所以，······································‎ ‎·········6分 当时，，所以函数在上是单调递增，‎ 所以，‎ 所以不等式成立，即符合题意；····················8分 当时，令，解得，令，解得，‎ ‎①当时，，‎ 所以在上，在上，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，令，‎ 恒成立，又，‎ 所以，‎ 所以存在，‎ 所以不符合题意；··································‎ ‎·····10分 ‎②当时，‎ 在上恒成立，所以函数在上是单调递减，‎ 所以 显然不符合题意；‎ 综上所述，的取值范围为．······························12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线 l的极坐标方程为，圆C的参数方程为，‎ ‎（1）求直线和圆C的直角坐标系方程；‎ ‎（2）若相交，求出直线被圆所截得的弦长．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）将圆C的参数方程化为直角坐标系方程：，‎ 化为标准方程是，····································3分 直线：．‎ ‎·········································5分 ‎（2）由，所以圆心，半径；‎ 所以圆心C到直线：的距离是；‎ 直线被圆C所截得的弦长为．10分 ‎23．（本小题满分10分）已知点在圆C：上，‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）2；（2）存在．‎ ‎【解析】（1），‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 所以的最小值为2．································5分 ‎（2）存在．‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又，所以．‎ 从而有，‎ 因此存在，，满足．····················10分