【数学】2020届一轮复习人教A版线性规划求解技巧（理）学案

【数学】2020届一轮复习人教A版线性规划求解技巧（理）学案

专题35 线性规划求解技巧 一．【学习目标】‎ ‎1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ ‎2．掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合．‎ 二．【知识要点】‎ ‎1．二元一次不等式表示的平面区域 ‎(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线．‎ 不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，设直线Ax＋By＋C＝0(B不为0)及点P(x0，y0)，则 ‎①若B>0，Ax0＋By0＋C>0，则点P(x0，y0)在直线的上方，此时不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的上方的区域．‎ ‎②若B>0，Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线的下方，此时不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的下方的区域．‎ ‎③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分．‎ ‎2．线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束 条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值 ‎3.常见简单的二元线性规划实际问题 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．‎ 解线性规划问题的一般步骤：‎ 审题、设元——列出约束条件 ‎ ‎(通常为不等式组)——建立目标函数作出可行域求最优解．‎ 三．解题方法总结 ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法 第一种：若用y＝kx＋b表示的直线将平面分成上下两部分 不等式 区　域 y＞kx＋b 表示直线上方的半平面区域 y＜kx＋b 表示直线下方的半平面区域 第二种：用Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线将平面分成上下两部分(B＝0读者完成) ‎ 不等式 B＞0‎ B＜0‎ Ax＋By＋C＞0‎ 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域 Ax＋By＋C＜0‎ 表示直线下方的半平面区域 表示直线上方的半平面区域 联系：将Ax＋By＋C＝0表示的直线转化成y＝kx＋b的形式即是第一种.‎ 第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.‎ ‎2.线性规划问题求解策略 ‎(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：‎ ‎①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；‎ ‎②移：由z＝ax＋by变形为y＝－x＋，所求z的最值可以看成是求直线y＝－x＋在y轴上的截距的最值(其中a，b是常数，z随x，y的变化而变化)，将直线ax＋by＝0平移，在可行域中观察使最大(或最小)时所经过的点；‎ ‎③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；‎ ‎④答：写出最后结论.‎ ‎(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.‎ ‎(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用 “调整优值法”去寻求最优解.‎ 四．典例分析 例1．设满足约束条件，则的最大值是　　‎ A．0 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎ 由，解得， 即，此时，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.学-科网-‎ 练习1．已知实数x,y满足，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为( )‎ A．（－∞，） B．（4，＋∞） C．（，4） D．（，4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：‎ 若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，即平面区域在直线y＝ax的下方即可．‎ 即A（1，4）在y＝ax的下方或在直线上即可，即a＞4，‎ 故选：B．‎ 练习2．若满足 则的最小值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，满足作出可行域如图，即为线段AB，‎ 联立，解得，化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过A时，直线在轴上的截距最小，‎ 有最小值为，故选：B．‎ ‎（二）含绝对值的不等式 例2. 设满足约束条件，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．‎ 由图形得，当时，，且当直线经过点时有最大值2，故可得的最大值为2．‎ 答案：2 ‎ 练习1．已知实数， 满足条件，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可变形为z=2x+y,即，求截距的最小值，过点C(2,1)时， ，选C.‎ ‎【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：‎ ‎（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；‎ ‎（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，‎ ‎，.‎ ‎（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；‎ ‎（4）点线距离型：表示到直线的距离的倍.‎ 练习2．若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出不等式组表示的可行域如图． 令 ，则，则 ‎ 表示直线在轴上的截距，截距越大， 越大 由题意可得 ，此时 ） 又可行域过点时， 最大， ‎ 过点时最小， ， ，则 ‎ 故选A ‎3．若实数满足不等式组，则的最大值是（ ）‎ A．15 B．14 C．11 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，作出目标函数的可行域，如图所示，由知，当目标函数经过点取得最大值，即，故选B．‎ ‎（三）与圆有关的线性规划 例3．设满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，当直线平移到和圆弧相切时，取得最小值，此时直线方程为，由点到直线的距离公式得，（取负值），即的最小值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线性规划的知识，考查线性型目标函数的最值的求法，属于基础题.题目所给的约束条件中，表示的是圆心为，半径为的圆的圆上和圆内的点构成的区域.对于目标函数，由于，当直线截距最大时，取得最小值，这个在解题过程中要特别注意.‎ 练习1．若点满足，点在圆上，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示 因为在圆上，所以即求可行域内到点距离加半径即可 由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，‎ 所以，所以PQ最大值为5+1=6‎ 所以选A 练习2．设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的及其内部，其中，，‎ 圆：表示以为圆心，半径为的圆，‎ 由图可得，当半径满足或时，圆不经过区域上的点，‎ ‎，‎ 当或时，圆不经过区域上的点，‎ 故选 练习3．若，则函数的最小值等于______．‎ ‎【答案】‎ 故答案为：‎ ‎（四）目标函数为平方和 例4．已知满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得到可行域如图：‎ 目标函数的几何意义是区域内的点到原点距离，所以原点到图中OP的距离即为所求，d ‎，‎ 所以目标函数的最小值为：；‎ 故选：B．‎ 练习1．若实数，满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】,而表示正方形及其外部（如图），所以的最小值为点（1，0）到AB：y=-x+2的距离平方减去1，即,选D.‎ ‎【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎（五）分式型目标函数 例5.已知实数x,y满足，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵实数x，y满足x2﹣4x+3+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．‎ 则1，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，﹣3）连线的斜率k加上1，如图．‎ 当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．‎ 当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．‎ 设AB的方程为y+3＝k（x﹣1），即 kx﹣y﹣k﹣3＝0，由CB＝1，可得1，求得k．‎ 而AE的方程为x＝1，‎ 故k+1的范围为[，+∞），‎ 故答案为：[，+∞）．‎ 练习1．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．‎ 表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，‎ 设，结合图形可得或，‎ 由题意得点A,B的坐标分别为，∴，‎ ‎∴或，∴的取值范围为．故选D．‎ 练习2．若变量满足约束条件则的最大值是（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域如图：‎ 表示可行域内的点与定点连线的斜率，由图像易知，点与定点连线的斜率最大，由得，所以的最大值是.‎ 故答案为1‎ 练习3．若实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值是　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】实数x，y满足不等式组的可行域如图：‎ 目标函数；的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，‎ 目标函数的最大值转化为的最小值，由图形可知最优解为，‎ 所以目标函数的最大值是：．‎ 故选：B．‎ 练习4．已知满足不等式组，若，则的取值范围为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图：‎ 由得：，‎ 所以表示点到点距离的平方。‎ 由图可知，‎ ‎，‎ 的取值范围为 练习5．已知实数满足，则的最小值为________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意作出实数x，y满足平面区域，z＝（x﹣1）2+（y﹣5）2可看成阴影内的点P到点D（1，5）的距离的平方，阴影内的点P到点D（1，5）的距离的平方最小值转化为：D到x﹣y+1＝0的距离的平方，解得.‎ 故答案为： ．‎ ‎（六）其它形式的目标函数 例6. ．已知点满足，的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．‎ ‎∵，‎ ‎∴表示可行域内的点到直线和的距离之和的倍，结合图形可得无最大值．‎ 由解得，所以点A的坐标为．‎ 此时．‎ 由解得，所以点A的坐标为．‎ 此时．‎ ‎∴的最小值为2，‎ 故得的取值范围为．‎ 练习1．已知，满足，的最小值、最大值分别为，，且对上恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出表示的平面区域（如图所示），‎ 显然的最小值为0，‎ 当点在线段上时，‎ ‎；‎ 当点在线段上时，‎ ‎；‎ 即；当时，不等式恒成立，‎ 若对上恒成立，则在上恒成立，‎ 又在单调递减，在上单调递增，即，即．‎ 练习2．设不等式组表示的平面区域为，则（ ）‎ A．的面积是 B．内的点到轴的距离有最大值 C．点在内时， D．若点，则 ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.‎ 练习3．已知变量，满足条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ 练习4．已知实数， 满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式组对应平面区域是以A(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形（如图），因为过定点A（-1，0），由题意直线过BC的中点E，所以斜率，选B.‎ ‎（七）线性规划的实际应用 例7. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某共享单车公司欲投放一批共享单车，单车总数不超过100‎ 辆，现有A，B两种型号的单车：其中A型车为运动型，成本为400元辆，骑行半小时需花费元；B型车为轻便型，成本为2400元辆，骑行半小时需花费1元若公司投入成本资金不能超过8万元，且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次，每次不超过半小时不足半小时按半小时计算，问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多，最多为多少元？‎ ‎【答案】公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元．‎ ‎【解析】根据题意，设投放A型号单车x辆，B型号单车y辆，单车公司每天可获得的总收入为Z，‎ 则有，‎ 即，‎ 且，‎ 画出不等式组表示的平面区域，由，解得.‎ 当目标函数，经过点时，取得最大值为：.‎ 答：公司投放两种型号的单车分别为80辆20辆才能使每天获得的总收入最多，最多为120元。‎ ‎【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，再画出表示的区域。‎ 练习1．电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.‎ ‎（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出， 所应该满足的条件；‎ ‎（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？‎ ‎【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套 ‎【解析】（1）由题意可得：；‎ ‎（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；‎ 画出可行域 ‎ ‎ 易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.‎ 每周应安排甲、乙连续剧2套、4套 练习2．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12mg阿司匹林，70mg小苏打，28mg可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？‎ 成分 种类 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)‎ A(mg/片)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎0.1‎ B(mg/片)‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎0.2‎ ‎【答案】当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．‎ ‎【解析】设两种药品分别为片和片，‎ 则有，两类药片的总数为，两类药片的价格和为。‎ 如图所示，作直线，‎ 将直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上一点，且与原点最近．‎ 解方程组，得交点坐标为.‎ 由于不是整点，因此不是的最优解，‎ 结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是，‎ 经过的整点是，因此的最小值为.药片最小总数为片．‎ 同理可得，当时，取最小值，‎ 因此当类药品片、类药品片时，药品价格最低。‎ 练习3．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设分别为人数、猪价，则___，___.‎ ‎【答案】10 900 ‎ ‎【解析】由题意可得，解得.‎ 故答案为10 900‎