【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第五节椭Բ学案
第五节椭__圆
1．椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．
(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；
(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性 质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，
y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a
为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．( )
(6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选C △F1AB的周长为
|F1A|＋|F1B|＋|AB|
＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|
＝2a＋2a＝4a.
在椭圆＋＝1中，a2＝25，a＝5，
∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C.
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得
解得3
b>0)．
因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，
所以解得
故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
[考什么·怎么考]
高考对椭圆的标准方程的考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程得出椭圆的基本量的数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第(1)问，难度适中.
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对
解析：选C 直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
2．(2018·合肥一模)已知椭圆＋＝1，F为其右焦点，A为其左顶点，P为该椭圆上的动点，则能够使·＝0的点P的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选B 由题意知F(2,0)，A(－3，0)．
当点P与点A重合时，显然·＝0，此时P(－3，0)．
当点P与点A不重合时，设P(x，y)，·＝0⇔PA⊥PF，即点P在以AF为直径的圆上，
则圆的方程为2＋y2＝. ①
又点P在椭圆上，
所以＋＝1. ②
由①②消去y得4x2＋9x－9＝0，解得x＝－3(舍去)或，则y＝±，故能够使·＝0的点P的个数为3，故选B.
3．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为________________．
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点P(2，)在椭圆上，知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2×2c，则a＝2c，
又c2＝a2－b2，联立
得a2＝8，b2＝6，故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
4．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为______________．
解析：由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题设知抛物线的焦点为(0,2)，所以椭圆中b＝2.因为e＝＝，所以a＝2c，又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
[怎样快解·准解]
1．定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
(1)b2＝a2－c2；
(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.
2．待定系数法求椭圆的标准方程的4步骤
[注意] 求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．(如第1题)
高考对椭圆定义的考查形式主要有两种：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用椭圆的定义结合正、余弦定理等知识解决焦点三角形问题，通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中.
[典题领悟]
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C 由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
2．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.
C. D.
解析：选C 由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°
＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
解得|AF1|＝.
∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.
[解题师说]
1．利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
2．与椭圆定义有关的结论
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
[冲关演练]
1．已知椭圆C：＋＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选B 设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝|AN|，同理|DF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.
2．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
所以|PF1||PF2|＝2b2，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝b2＝9.
所以b＝3.
答案：3
椭圆的几何性质内容非常丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但是对其离心率的考查是每年高考的热点.本考点对数形结合思想要求较高，方法灵活，难度中等偏上，题型既有选择题、填空题，也有解答题.,常见的命题角度有：,(1)求椭圆离心率的值(或范围)；,(2)根据椭圆性质求参数的值(或范围).
[题点全练]
角度(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
1．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，∴e＝＝.
[题型技法] 求椭圆离心率的方法
(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝求解．
(2)方程法：根据已知条件建立关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解．
[注意] 在解关于离心率问题时，注意根据椭圆离心率e∈(0,1)进行根的取舍．
角度(二) 根据椭圆性质求参数的值(或范围)
2．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
解析：选A 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
[题“根”探求]
1．无论题型如何变化，都是围绕椭圆的几何性质，外加其他条件来考查，所以理清椭圆的几个关键点(顶点、原点、焦点、对称轴)和灵活应用几个公式，理清a，b，c的内在联系(a，b，c的关系式―→构造a，c的齐次方程或不等式)，便可以不变应万变．
2．与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
3．与椭圆有关的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，所以在求与椭圆有关的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
[冲关演练]
1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，可设P.
因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°，所以＝.又因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－，又因为e∈(0,1)，所以e＝.
2．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，
即椭圆上存在一点P，
使得|PF2|＝2c.
∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.
3．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k＝________.
解析：当9＞4－k＞0，即－50，n>0，m≠n)的两个交点坐标分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)；
(2)把直线方程与椭圆方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程；
(3)利用根与系数的关系，得到x1＋x2与x1x2或y1y2与y1＋y2；
(4)把与E，F有关要求的量(如弦长|EF|、直线与椭圆相关的图形面积等)用E，F的坐标表示出来，并变形为只含x1＋x2与x1x2(或y1＋y2与y1y2)的形式；
(5)将(3)中所得的含有参数的式子等量代入(4)中，得到含参数的代数式，经过其他运算得到化简结果．
3．结论要记
(1)椭圆中最短的焦点弦为通径，长度为.
(2)设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝ ·|y1－y2|＝ ·.
[冲关演练]
(2018·贵州适应性考试)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程．
解：(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝，
解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
则y1＋y2＝，①
y1y2＝－，②
因为F1(－1,0)，
所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)，
由＝2可得，－y2＝2y1，③
由①②③可得B，
则kBF2＝或－，
所以直线BF2的方程为
y＝x－或y＝－x＋.
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．(2017·浙江高考)椭圆＋＝1的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 根据题意知，a＝3，b＝2，则c＝＝，∴椭圆的离心率e＝＝.
2．(2018·长沙模拟)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C 易知b＝c＝，故a2＝b2＋c2＝4，从而椭圆E的标准方程为＋＝1.
3．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是( )
A．6或2 B．5
C．1或9 D．3或5
解析：选D 由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的焦点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5，故选D.
4．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为( )
A．3 B．3或
C. D．6或3
解析：选C 由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝.
5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点(0，－2)，，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B.
6．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )
A．9,12 B．8,11
C．8,12 D．10,12
解析：选C 如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，
最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12.
7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为________________．
解析：由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2.以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为______．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，
∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.
∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
10．已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝，则椭圆的离心率为________．
解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝＝＝＝＝，
从而e＝ ＝.
答案：
B级——中档题目练通抓牢
1.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选B 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示．因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8.由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝ ＝ .因为1≤b＜2，所以0＜e≤.
3．已知点P是椭圆＋＝1上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O
是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是( )
A．[0,3) B．(0,2)
C．[2，3) D．(0,4]
解析：选B 如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.
∵·＝0，∴⊥.
又MP为∠F1PF2的平分线，
∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点．
∵O为F1F2中点，∴OM綊F2G.
∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||，
∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2，
∴||∈(0,2)．
4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．
答案：[2,2)
5.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，即b2＜ac，则a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，解得e＞或e＜，又0＜e＜1，所以＜e＜1.
答案：
6．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．
解：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，
于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a.
所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，解得a＝2，b＝1.
所以椭圆G的方程为＋y2＝1.
(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)．
由于直线l与圆O相切，
则圆心O到l的距离d＝＝1，
即k2t2＝k2＋1， ①
联立
化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
设Q(x0，y0)，有解得x0＝.
由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.
因此＝t＋，化简得k2＝，
将其代入①式，可得t＝±.
7．(2018·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝× ＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴＝，∴y0＝.
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0.
∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.
C级——重难题目自主选做
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，
则
即
所以(x1－x2)＝(x－x)，
所以＝x1＋x2.
又－a≤x1≤a，－a≤x2≤a，x1≠x2，
所以－2a.
又0b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝9，a2＝18，即椭圆E的方程为＋＝1.
4．如果椭圆＋＝1的弦AB被点M(x0，y0)平分，设直线AB的斜率为k1，直线OM(O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A．4 B.
C．－1 D．－
解析：选D 设直线AB的方程为y＝k1x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．代入椭圆方程并整理得，(1＋4k)x2＋8k1bx＋4b2－36＝0，x1＋x2＝－，又中点M(x0，y0)在直线AB上，所以＝k1＋b＝，从而得弦中点M的坐标为，∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
5．已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，
则有解得x1＝－3，y1＝1，则A1(－3,1)，
易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，
因此椭圆C的离心率e＝＝的最大值为.
6．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由点P(x0，y0)满足0＜＋y＜1，可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝2，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．
答案：[2,2)
7．已知M(x0，y0)是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上一点，A，B是其左、右顶点，若2·＝x－a2，则离心率e＝________.
解析：由题意知A(－a,0)，B(a,0)，∴＝(x0＋a，y0)，＝(x0－a，y0)，∵2
eq o(AM,sup7(―→))·＝x－a2，
∴2(x－a2＋y)＝x－a2，∴x＝a2－2y.
又＋＝1，∴＋＝1，
∴－＋＝0，∴a2＝2b2，
∴＝＝1－＝1－＝，∴e＝.
答案：
8．(2018·湖南东部六校联考)设P，Q分别是圆x2＋(y－1)2＝3和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．
解析：依据圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，
设Q(x，y)，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为
d＝＝
＝ ，
∵－1≤y≤1，∴当y＝－时，d取最大值，
所以P，Q两点间的最大距离为＋＝.
答案：
9．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为.
(1)求椭圆G的方程；
(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．
解：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，
于是c＝asin 60°＝a，b＝acos 60°＝a.
所以△MF1F2的面积S＝·(2c)·b＝·(a)·＝，解得a＝2，b＝1.
所以椭圆G的方程为＋y2＝1.
(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)．
由于直线l与圆O相切，
则圆心O到l的距离d＝＝1，
即k2t2＝k2＋1， ①
联立
化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.
设Q(x0，y0)，有解得x0＝.
由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0.
因此＝t＋，化简得k2＝，
将其代入①式，可得t＝±.
10．(2018·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；
(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.
解：由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．
(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.
∴直线l1的方程为y＝x－1.
代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴|AB|＝·
＝× ＝.
(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．
代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，
∴＝，∴y0＝.
而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)
＝
＝＝0.
∴直线BN∥x轴，即BN⊥l.
B级——拔高题目稳做准做
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得＝，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1) B.
C. D．(－1,1)
解析：选D 在△MF1F2中，＝，
而＝，
∴＝＝.①
又M是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②
由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.
显然|MF2|>|MF1|，
∴a－c<|MF2|0，∴e2＋2e－1>0，又0b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d＋d的最大值是( )
A．4 B．5
C. D.
解析：选C 易知椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则d＋d＝|PM|2＝x＋(y0－1)2，因为＋y＝1，所以d＋d＝4－4y＋(y0－1)2＝－32＋，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，d＋d取得最大值.
3．设F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，P是C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图所示，设线段AB的中点为D，连接OD，OA，设椭圆C的左、右焦点分别为F，F1，连接PF1.设|OD|＝t，因为点A，B是线段PF的两个三等分点，所以点D为线段PF的中点，所以OD∥PF1，且|PF1|＝2t，PF1⊥PF.因为|PF|＝3|AB|＝6|AD|＝6 ，根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF1|＝2a，∴6 ＋2t＝2a，解得t＝或t＝0(舍去)．所以|PF|＝，|PF1|＝.在Rt△PFF1中，|PF|2＋|PF1|2＝|FF1|2，即2＋2＝(2c)2，得＝，所以椭圆C的离心率e＝＝.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，
所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，
得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．
答案：
5．(2018·云南统测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若＝3，求m2的取值范围．
解：(1)根据已知设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.
∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，
∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.
∴椭圆E的方程为x2＋＝1.
(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
由得，(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，
即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
由＝3，得x1＝－3x2.
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.
∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.
当m2＝1时，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，
∴k2＝.
∵k2－m2＋4>0，
∴－m2＋4>0，即>0.
∴1
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