上海市浦东新区2020届高三上学期期末考试数学试题

上海市浦东新区2020届高三上学期期末考试数学试题

浦东新区2020届高三一模数学试卷 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1.若集合，集合，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集的概念运算即可.‎ 详解】解：由已知，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，是基础题.‎ ‎2.________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式变形为，进而直接求极限即可.‎ ‎【详解】解：，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查极限的求法，是基础题.‎ ‎3.已知复数满足（为虚数单位），则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，也可利用复数模的性质求解：‎ 考点：复数的模 ‎4.若关于、的方程组为，则该方程组的增广矩阵为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵.‎ ‎【详解】解：由题意可得方程组增广矩阵为，‎ ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题.‎ ‎5.设是等差数列，且，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出.‎ ‎【详解】解：设等差数列的公差为，则 ‎，又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题.‎ ‎6.在的二项展开式中，常数项的值为__________‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项.‎ ‎【详解】二项展开式通项为：‎ 当时，‎ 常数项为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.‎ ‎7.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，圆柱底面半径为1，母线长为2，‎ 根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎8.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为________（结果用数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先找到使幂函数为偶函数的所有，然后利用概率公式求解即可.‎ ‎【详解】解：要幂函数为偶函数，则，‎ 故使幂函数为偶函数的概率为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.‎ ‎9.在△中，边、、满足，，则边的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用和余弦定理得出，利用条件求出的最大值，代入，即可得边的最小值.‎ ‎【详解】解：由已知 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.‎ ‎10.若函数存在零点，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数存在零点转化为图像有交点，作出图像，观察图像得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：设，‎ 则函数存在零点等价于图像有交点，‎ 如图：‎ ‎ ‎ 函数的图像恒过点，当其和函数的图像相切时，‎ ‎，‎ 所以的图像有交点时，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作图能力和数形结合的思想，是中档题.‎ ‎11.已知数列，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，运用累加法和裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得恒成立，转化为最值问题可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】解：由题意数列中，，‎ 即 则有 则有 又对于任意的，，不等式恒成立，‎ 即对于任意的恒成立，‎ ‎，恒成立，‎ ‎∴，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将变形为．‎ ‎12.如果方程组有实数解，则正整数的最小值是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，用方程（2）减去方程（1）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从开始分析，当，我们可以取使，得出方程组的实数解，进而可得正整数的最小值.‎ ‎【详解】如果，对于方程组 用方程（2）减去方程（1）的45倍，得 ‎ （3）‎ ‎（3）式的左端的绝对值不大于，‎ 因此（3）式不可能成立，故原方程组当时无解；‎ ‎∴从开始分析，‎ 当，我们可以取使 则 时，‎ 故答案为：90.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大.‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.‎ ‎【详解】解：当，即时，，故命题甲可推出命题乙；‎ 当，可得或，故命题乙不可以推出命题甲,‎ 故命题甲是命题乙的充分非必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题.‎ ‎14.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.‎ ‎【详解】解：函数的图像经过点，则函数的图像经过点，‎ 则函数的图像一定经过点，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题 ‎15.以抛物线的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中的关系，再根据长轴长可得椭圆，进而可求出，即可得椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】解：有已知抛物线的焦点为，设椭圆方程为，‎ 则，又由已知，‎ 所以，‎ 故椭圆方程为，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.‎ ‎16.动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周 时间恰好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意：已知时间时，点的坐标是，得，再依据每12秒运动一周得出点每秒旋转的角度，从而秒旋转，利用三角函数的定义即可得出关于的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.‎ ‎【详解】解：根据题意，‎ 得，点每秒旋转， 所以秒旋转，， 则．‎ 令，‎ 解得：，‎ 经检验：当时，，故D符合， 故选：D．‎ ‎【点睛】本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试确定点的位置，使与平面所成角的大小为30°.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）当时，与平面所成角的大小为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结，通过证明平面，即可得.另外可以利用空间向量证明线线垂直；‎ ‎（2）由⊥平面可得与平面所成角为，，在中可求出值，即可得到点的位置.另外还可以用空间向量法求线面角.‎ ‎【详解】（1）证明：连结，因为四边形为正方形，‎ ‎ ‎ 所以，，‎ 又因为⊥平面，平面，‎ 所以．由平面．‎ 又因为平面，所以．‎ ‎（2）解法一：设，因为⊥平面，‎ 所以与平面所成角为 在中，由．‎ 所以，当时，与平面所成角的大小为．‎ 解法2：（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系．‎ ‎，，，．‎ 设,则 则，‎ 因为，‎ 所以;‎ ‎（2）取平面的一个法向量为 因为，可知直线的一个方向向量为．‎ 设与平面所成角为，由题意知．与所成的角为，‎ 则，‎ 因为，所以，，‎ 解得，．‎ 当时，与平面所成角的大小为．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是基础题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在△中，，若函数的图像经过点，求△的面积.‎ ‎【答案】（1）周期，单调递增区间（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数整理为，进而可求出周期，令，求出的范围，即可得函数的单调递增区间；‎ ‎（2）由函数的图像经过点可求出，再根据，可求出，利用面积公式即可求出△的面积 ‎【详解】解：（1）由已知 令，‎ 得 所以函数的单调递增区间为；‎ ‎（2）由已知，‎ 又，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.‎ ‎19.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出户（，）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了，而从事水果销售的农户平均每户年收入为万元.‎ ‎（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？‎ ‎（2）若一年后，该村平均每户的年收入为（万元），问的最大值是否可以达到2.1万元？‎ ‎【答案】（1）至少抽出户贫困农户从事水果销售工作（2）可以达到万元，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先得出种植户的平均收入，得不等式，解不等式即可得出答案;‎ ‎（2）得出该村平均每户的年收入为，利用二次函数的性质求出最大值.‎ ‎【详解】（1）经过三年，种植户的平均收入为 因而由题意，得 由,即至少抽出户贫困农户从事水果销售工作.‎ ‎（2）‎ 对称轴，‎ 因而当时，可以达到万元．‎ ‎【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题.‎ ‎20.已知曲线，过点作直线和曲线交于、两点.‎ ‎（1）求曲线的焦点到它的渐近线之间的距离；‎ ‎（2）若，点在第一象限，轴，垂足为，连结，求直线倾斜角的取值范围；‎ ‎（3）过点作另一条直线，和曲线交于、两点，问是否存在实数，使得和同时成立？如果存在，求出满足条件实数的取值集合，如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在，实数的取值集合为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出曲线的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；‎ ‎（2）设，，表示出直线的斜率，根据的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；‎ ‎（3）直接求出当直线，直线和当直线，直线时，的值，当时，与双曲线联立可得，利用弦长公式求出和，利用列方程求出的值，验证判别式成立即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）曲线的焦点为，渐近线方程，‎ 由对称性，不妨计算到直线的距离，.‎ ‎（2）设，，从而 又因为点在第一象限，所以，‎ 从而，‎ 所以直线倾斜角的取值范围是；‎ ‎（3）当直线，直线 ‎，‎ 当直线，直线时，‎ 不妨设，与双曲线联立可得，‎ 由弦长公式，‎ 将替换成，可得 由，可得，‎ 解得，此时成立．‎ 因此满足条件的集合为 ‎【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系，考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题.‎ ‎21.定义（，）为有限实数列的波动强度.‎ ‎（1）求数列1，4，2，3的波动强度；‎ ‎（2）若数列，，，满足，判断是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；‎ ‎（3）设数列，，，是数列，，，，的一个排列，求 的最大值，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是正确的，详见解析（3）当为偶数时，，；当为奇数时，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据波动强度的定义直接计算；‎ ‎（2）作差，利用或判断正负即可；‎ ‎（3）设，，是单调递增数列，可整理，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0，分的奇偶性讨论，确定各自含有的的个数，进而求出的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎（2）是正确的 证明：‎ 或，‎ 且 所以，即 并且当时，可以取等号，当时，可以取等号，‎ 所以等号可以取到；‎ ‎（3）设，，是单调递增数列.‎ 分是奇、偶数情况讨论 ‎，其中，，并且.经过上述调整后的数列，系数不可能为0.‎ 当为偶数时，系数中有个和个，个和个.‎ 当为奇数时，有两种情况：系数中有个和个，个；‎ 或系数中有个和个，个.‎ ‎[1]是偶数，，‎ ‎[2]是奇数，，‎ 因为，，可知 综上，当为偶数时，，；‎ 当为奇数时，，‎ ‎【点睛】本题考查新定义计算，考查理解题意的能力和计算能力，是一道难度很大的题目.‎ ‎ ‎