- 2021-06-30 发布 |
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文档介绍
2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书:第二章 第8讲 函数与方程
第8讲 函数与方程 一、知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的一条曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图像 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 常用结论 有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 二、教材衍化 1.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表: x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 35 -74 14.5 -56.7 -123.6 则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析:选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在[1,6]上至少有3个零点.故选B. 2.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致范围是( ) A.(1,2) B.(2,3) C.和(3,4) D.(4,+∞) 解析:选B.易知f(x)为增函数,由f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,得f(2)·f(3)<0.故选B. 3.函数f(x)=ex+3x的零点个数是______. 解析:由已知得f′(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有一个零点. 答案:1 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.( ) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图像连续不断),则f(a)·f(b)<0.( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.( ) (5)若函数f(x)在(a,b)上连续单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 二、易错纠偏 (1)错用零点存在性定理; (2)误解函数零点的定义; (3)忽略限制条件; (4)错用二次函数在R上无零点的条件. 1.函数f(x)=x+的零点个数是______. 解析:函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点. 答案:0 2.函数f(x)=x2-3x的零点是______. 解析:由f(x)=0,得x2-3x=0, 即x=0和x=3. 答案:0和3 3.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是______. 解析:二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8查看更多