数学理卷·2018届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟考试（2017

数学理卷·2018届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第四次模拟考试（2017

‎2017-2018学年第一学期高三第四次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.等差数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A．58 B．54 C．56 D．52 ‎ ‎4.函数在上的最小值为（ ）‎ A．4 B．1 C. D．‎ ‎5.有如下关于三角函数的四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ 若，则 其中假命题的是（ ）‎ A．， B．， C. ， D．，‎ ‎6.设满足，则（ ）‎ A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 ‎ C. 有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值 ‎7.平面向量共线的充要是（ ）‎ A．方向相同 B．两向量中至少有一个为零向量 ‎ C. ， D．存在不全为零的实数，‎ ‎8.已知为等比数列，，，则（ ）‎ A．7 B．-7 C.15 D．-15‎ ‎9.若，则（ ）‎ A．-2 B．2 C. D．‎ ‎10.已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）‎ A．8 B．4 C.2 D．1‎ ‎11.将函数（）的图象向左平移（）个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，，，，为的中点，则 ．‎ ‎14.莫公司招聘员工，以下四人中只有一人说真话，只有一人被录用，甲：我没有被录用；乙：丙被录用；丙：丁被录用；丁：我没有被录用.根据以上条件，可以判断被录用的人是 ．‎ ‎15.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，且与的夹角为，，与的夹角为，若（），则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列中，，且（）‎ ‎（1）求，并证明是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18. 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近以为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.‎ 附：，若，则,‎ ‎19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形.‎ ‎（1）求证：.‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值.‎ ‎20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.‎ ‎21. 已知函数（）的两个零点为（）.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在极坐标系中，圆的极坐标方程为：，若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.‎ ‎23.已知为正数，且.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ 高三第四次模拟考试答案 ‎（理科数学） ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1——5：CADCA 6——10：BDBBC 11——12：BD 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. 14.甲 15. 16.3‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都应该作答 ‎17. ‎ ‎（1）由已知（，）得 ‎，，，即，因为，所以是以为公比的等比数列。  ‎ ‎（2）由（1）得，即，所以，设，且前项和为，所以①，②，‎ ‎①-②得 所以，。 ‎ ‎18. ‎ ‎（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为，‎ ‎（2）（i）由（1）知，从而；‎ ‎（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意得，所以。      ‎ ‎19. ‎ ‎（1）因为底面为菱形，且，所以为等边三角形。如下图，作，则为的中点。     ‎ 又因为为等边三角形，所以。‎ 因为和为平面内的两条相交的直线，所以直线平面，又因为为面内的直线，所以。  ‎ （2） ‎0‎ 20. ‎ （1） ‎ 所以，故所求直线方程为： .‎ 21. （1） ‎，当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；‎ 当时，由可解得，由可解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，要使得在上有两个零点，则，解得，则的取值范围为。‎ ‎（2）令，则，‎ 由题意知方程有两个根，即方程有两个根，‎ 不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，‎ 故综上可知，要证，即证，即，即证，‎ 令，下面证对任意的恒成立，，‎ 20. （1） 因为，所以，所以，即为圆的普通方程，   ‎ 所以所求的圆的参数方程为.‎ ‎（2）由（1）可得，     ‎ 当时，即点的直角坐标为时，取到最大值为。‎ 20. ‎（2）因为a+b+c=1，所以1=a2+b2+c2+2ab+2bc+‎2ac≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2)，‎ 所以a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c=时等号成立，‎ 故a2+b2+c2的最小值为.‎