陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题

陕西省榆林市绥德中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段性测试数学（理）试题

数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.点的极坐标是，则点的直角坐标为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式，即可容易求得.‎ ‎【详解】设点的直角坐标为 故可得.‎ 故点的直角坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标下点的坐标和直角坐标之间的转化，属基础题.‎ ‎2.设复数满足，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：复数的运算 ‎3.的展开式中各项系数和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入，可得出该二项展开式中各项系数之和.‎ ‎【详解】由题意可知，的展开式中各项系数和为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（ ）‎ A. 平均数与方差 B. 回归分析 C. 独立性检验 D. 概率 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C.‎ 考点：独立性检验的意义.‎ ‎5.已知一椭圆的方程为，如果轴上的单位长度为轴上单位长度的，则该椭圆的形状为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据变换，只需将轴上的单位长度扩大2倍，数形结合即可求得结果.‎ ‎【详解】如果轴上的单位长度保持不变，要满足题意，‎ 只需将轴上的单位长度扩大2倍，‎ 那么椭圆的形状应该如B中所示.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查坐标系的变换，属基础题.‎ ‎6.直线，（为参数）的倾斜角等于（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程化为普通方程，即可求得倾斜角.‎ ‎【详解】因（为参数）等价于（为参数），‎ 消去参数，可得其普通方程为：.‎ 故其直线斜率为，又 故.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程之间的转化，涉及直线倾斜角的求解，属综合基础题.‎ ‎7. 6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）‎ A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 120种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：其中甲乙两人必须排在一起则相当于将两人捆绑在一起，他们之间有两种情况，这样相当于总共有五个人在排队，共有种即种，再乘以2，得到240种，故选A．本题关键是利用捆绑的思想减少了分类带来的困难．‎ 考点：1．排列的问题．2．分类的思想．‎ ‎8.设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是（ ）.‎ A. 第9项 B. 第8项 C. 第9项和第10项 D. 第8项和第9项 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据通项公式，由已知信息求得，再结合通项公式，即可求得系数最大的项.‎ ‎【详解】二项式的通项公式 因为其第5项是常数项，故令，则，解得.‎ 故二项式展开式有项，又其每一项的系数为二项式系数，‎ 根据二项式系数的增减性，容易知其系数的最大项为第9项.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查由二项式展开式的某一项求参数，以及求系数的最大项，属综合基础题.‎ ‎9.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（ ）.‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算所有抽取的可能，以及满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得.‎ ‎【详解】有放回地抽取三次，每次有种可能，故所有抽取可能有种；‎ 又满足题意的只有红红红、黄黄黄、绿绿绿种，‎ 故满足题意的概率.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率求解，属基础题.‎ ‎10.观察式子：，，，...，则可归纳出式子为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察式子：不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，归纳得到答案.‎ ‎【详解】观察式子：，，，不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，进而归纳得：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.‎ ‎11.1号箱有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要满足题意，则从1号箱中抽取红球，从2号箱也抽取红球，即可容易求得.‎ ‎【详解】若从1号箱中取出的是红球，则从2号箱中取出红球的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单事件的概率求解，属基础题.‎ ‎12.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. ‎ C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．‎ ‎【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，‎ 又，为以为直径的圆的半径，‎ 为圆心．‎ ‎，又点在圆上，‎ ‎，即．‎ ‎，故选A．‎ ‎【点睛】本题为圆锥曲线离心率求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分）‎ ‎13.已知，的值如表所示：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ 如果与呈线性相关且回归直线方程为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算的平均数，代入回归直线方程，即可求得参数.‎ ‎【详解】因为的平均数为；的平均数，‎ 故可得，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由样本中心点求参数值，属基础题.‎ ‎14.曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 ‎【详解】详解：‎ 所以，‎ 所以，曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．‎ ‎15.由，及围成的图形的面积________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，利用微积分基本定理求曲边梯形面积即可.‎ ‎【详解】画出图像如下所示：‎ 故围成的面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用微积分基本定理求曲边梯形的面积，属基础题.‎ ‎16.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，‎ 涂色方法有种;4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，‎ 涂色方法有种,所以共72种．‎ 考点：排列组合的应用．‎ 三、解答题.（本大题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的方程，，过点的直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于、两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式，即可实现极坐标方程和直角方程之间的转化；消去参数，则可得直线的普通方程；‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角方程，根据韦达定理，结合参数几何意义，即可容易求得.‎ ‎【详解】（1）因为曲线的方程，，‎ 故可得，即；‎ 因为直线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数，则其直角方程为.‎ ‎（2）将直线参数方程代入曲线的直角方程，‎ 可得，‎ 设点对应的参数，‎ 则，‎ 故可得.‎ 故弦长.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，以及利用参数的几何意义求弦长，属综合基础题.‎ ‎18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）：，：；（2），此时.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．‎ ‎19.袋中有20个大小相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n的有n个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.求X的分布列、数学期望和方差.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型概率的计算公式分别计算的概率后可计算其期望和方差.‎ ‎【详解】，，，，‎ ‎.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差，属于基础题.‎ ‎20.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：‎ ‎(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；‎ ‎(2)他能及格的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它可能的取值为0、1、2、3，且X服从超几何分布，分布列如下：‎ X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝≈0.667.‎ ‎21.设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆过原点，求 到的距离.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率，点到直线的距离以及求得，则椭圆方程得解；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，结合，即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ 右焦点到直线的距离，‎ 则，‎ 且，‎ 所以，，‎ 所以椭圆的方程是：‎ ‎（2）设直线，那么：，‎ 则，‎ ‎，‎ 又因为直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 化简得，即，‎ 所以到直线距离为 ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中垂直问题的转化和求解，属综合中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）极小值，极大值（2）（3）不能平行于轴，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，根据导数的正负判断函数的单调性，从而求得极值；‎ ‎（2）根据恒成立，分离参数，利用均值不等式求得最值即可；‎ ‎（3）根据题意，将问题转化为方程是否有根的问题，构造函数，利用导数研究其单调性，即可容易判断.‎ ‎【详解】（1）由已知，，令，‎ 得，或，‎ 令，则，，则，‎ 故在区间单调递增，在区间单调递减，‎ 故可得极小值，极大值.‎ ‎（2），.‎ 由题意，知恒成立，即.‎ 又，，当且仅当时等号成立.‎ 故，所以.‎ ‎（3）设在的切线平行于轴，‎ 其中 结合题意，‎ ‎；，‎ 相减得 又，‎ ‎∴，又，‎ 所以.‎ 设，.‎ 设，‎ ‎，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 因此，，‎ 即.‎ 也就是，，‎ 所以无解.‎ 所以在处的切线不能平行于轴.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数极值的求解，由函数单调性求参数范围，涉及分离参数法，均值不等式的使用，构造函数，属压轴题.‎