上海市市北中学2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市市北中学2020届高三上学期期中考试数学试题

市北中学高三期中数学卷 一、填空题 ‎1.已知集合，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用交集运算得答案．‎ ‎【详解】解：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题．‎ ‎2.不等式的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，两边平方即可去掉绝对值号，即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 即，解得，‎ 所以不等式解集.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用平方去掉绝对值，解绝对值不等式，属于中档题.‎ ‎3.已知函数的图像与函数 的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知函数y=f（x）与函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数，求出y=ax的反函数，再将（4，2）代入可得答案．‎ ‎【详解】∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，‎ ‎∴函数y=f（x）与函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数，‎ 由y=ax（a＞0且a≠1），得x=logay，‎ 则f（x）=logax，‎ ‎∵点P（4，2）在函数y=f（x）的图象上 由f（4）=2，得loga4=2，‎ 解得：a=2．‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题.‎ ‎4.角的终边经过点，且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ ‎【详解】解：角的终边经过点，且，‎ ‎，则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎5.函数，的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的范围求出的范围，利用余弦函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，属于中档题.‎ ‎6.已知函数（且）是定义域为奇函数，则的值为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义即可求解.‎ ‎【详解】因为函数（且）是定义域为的奇函数，‎ 所以 所以，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，利用奇函数性质求参数，属于中档题.‎ ‎7.已知无穷等比数列的各项和为4，则首项的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由无穷等比数列的各项和为4得,,，且,从而可得的范围.‎ ‎【详解】由题意可得, ，‎ 且 ‎ ‎ 且  故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和,而无穷等比数列的各项和是指当,且时前 n项和的极限，属于基础题.‎ ‎8.若向量、满足，且，，则向量在上的投影为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数量积的运算及向量在向量上的投影的定义即可求解.‎ ‎【详解】因，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以，即，‎ 所以向量在上的投影为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了数量积的运算，向量在向量上的投影，属于中档题.‎ ‎9.若，且，则的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值不等式即可求出的最大值.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以，当且仅当，即时，等号成立.‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用均值不等式求最值，属于中档题.‎ ‎10.已知数列、满足，若是等比数列，且，则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的公比为，由，为奇数，可知,可知是公比为的等比数列，即可求解.‎ ‎【详解】设的公比为,‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，即数列是以为公比的等比数列.‎ 又，‎ 可解得 又，即，‎ 解得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，等比数列基本量的计算，属于难题.‎ ‎11.函数的所有零点之和等于__________.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】函数 的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数 的所有零点之和等于60.‎ ‎12.设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.‎ 当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.‎ 二、选择题 ‎13.若a，b为实数，则“”是“”的　　‎ A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.‎ ‎【详解】解不等式得或；‎ 所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎14.已知、、2成等差数列，则的轨迹表示的图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据、、2成等差数列，可得，即可求解.‎ ‎【详解】成等差数列，‎ 的轨迹图象为焦点为的抛物线的一部分，.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了等差数列和对数的运算性质，抛物线的方程和图象，属于中档题.‎ ‎15.对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A1，当n≥2时，An，故数列{An}是等比数列，求其前n项和的极限即可．‎ ‎【详解】解：依题意，A1，当n≥2时，An，‎ 所以{An}是以为首项，以为公比的等比数列，又因为公比不为1，‎ 所以Sn，‎ 所以：Sn．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的定义，前n项和公式，数列极限等知识，属于基础题．‎ ‎16.设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：对于集合A,存在；对于集合B,存在；对于集合C,存在 因此选D.‎ 考点：函数单调性，新定义 三、解答题 ‎17.在中，角、、所对的边分别为、、，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）已知，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数基本关系可求，，再由诱导公式及两角和的余弦公式即可求解（2）由余弦定理及基本不等式可求得，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解.‎ ‎【详解】（1），可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）由余弦定理，可得：，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎,‎ 的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，两角和的余弦公式，余弦定理，均值不等式，属于中档题.‎ ‎18.已知函数，其中.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）求的取值范围，使函数在区间上单调减函数.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简分式不等式求解即可（2）化简函数解析式得，由反比例函数单调性可得，解不等式即可.‎ ‎【详解】（1）当时，由原不等式可得：，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 又在区间上是单调减函数，‎ ‎，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，反比例函数的单调性，属于中档题.‎ ‎19.如图，有一块边长为1()的正方形区域，在点处装有一个可转动的小摄像头，其能够捕捉到图象的角始终为45°（其中点、分别在边、上），设 ‎，记.‎ ‎（1）用表示的长度，并研究的周长是否为定值？‎ ‎（2）问摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为多少？‎ ‎【答案】（1），；（2）().‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件求出的关系式，进一步求出周长为定值（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质求出结果.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 所以，‎ 则：，‎ 所以 故 所以的周长是定值2.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 所以摄像头能捕捉到正方形内部区域的面积至多为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实际问题中函数解析式，均值不等式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎‘‎ ‎20.定义函数如：对于实数（，），如果存在整数，使得，则.‎ ‎（1）若等差数列满足：，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：函数是奇函数且；‎ ‎（3）已知等比数列具有单调性，其首项，且，求公比的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等差数列中求出即可写出公差及通项公式（2）根据新函数定义及奇函数的定义证明（3）利用新定义函数，对分类讨论即可.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ ‎，‎ 所以，即，‎ 故，‎ 因为等差数列，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ 则，‎ ‎，‎ 是奇函数.‎ 若，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故.‎ ‎（3）因为等比数列具有单调性，其首项，‎ 所以或，‎ 因为，所以，，‎ 若时，则，‎ 或，或，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 若，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得 综上：的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了新函数定义及应用，奇函数，等差数列，等比数列，分类讨论的思想，属于难题.‎ ‎21.已知以为首项的数列满足：（）.‎ ‎（1）当时，且，写出、；‎ ‎（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；‎ ‎（3）记为的前项和，当时，给定常数（，），求的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）；（3）当为奇数时，最小值为；当为偶数时，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件时，且及即可求出（2）由条件可得时，再分析出的正负即可求解（3）根据条件得到或，,归纳，求和即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）当时，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理可得：.‎ ‎（2）（，）是公差为的等差数列，‎ ‎，‎ 时，，‎ ‎，‎ ‎，正号不成立，‎ ‎，‎ ‎（3）当时，，‎ 或，,,‎ 所以，为奇数，，‎ 为偶数，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，分类讨论的方法，绝对值的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题.‎ ‎ ‎