2019届二轮复习一元二次不等式及其解法课件（35张）（全国通用）
一元二次不等式及其解法
[
学习目标
]
1.
理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
.
2.
掌握图象法解一元二次不等式的方法
.
3.
培养数形结合、分类讨论思想方法
.
3.2
一元二次不等式解法
（
重点
）
（
难点
）
[
预习导引
]
1.
一元二次不等式的概念
(1)
一般地，含有一个未知数，且未知数的
的整式不等式，叫做一元二次不等式
.
(2)
一元二次不等式的一般表达形式为
_________________
或
(
a
≠
0)
，其中
a
，
b
，
c
均为常数
.
ax
2
＋
bx
＋
c
<0
最高次数是
2
ax
2
＋
bx
＋
c
>0(
a
≠
0)
判别式
△
=b
2
-
4
ac
y=ax
2
+bx+c
(
a>
0
)的图象
ax
2
+bx+c=
0
(
a
>0)的根
ax
2
+bx+c>
0
(
a>
0)的解集
ax
2
+bx+c<
0
(
a
>0)的解集
△>0
有两相异实根
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)
{
x|x
x
2
}
{
x|x
1
< x 0(
a
>0)
的解集为
________
；
ax
2
＋
bx
＋
c
<0(
a
>0)
的解集为
.
{
x
|
x
1
<
x
<
x
2
}
{
x
|
x
<
x
1
或
x
>
x
2
}
思考
知识点一 一元二次不等式的概念
不等式
x
2
>1
的解集为
{
x
|
x
<
－
1
或
x
>1}
，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集
.
答案
我们知道，方程
x
2
＝
1
的解集是
{1
，－
1}
，解集中的每一个元素均可使等式成立
.
那么你能写出不等式
x
2
>1
的解集吗？
[
问题导学
]
梳理
(1)
形如
ax
2
＋
bx
＋
c
>0(
≥
0)
或
ax
2
＋
bx
＋
c
<0(
≤
0)
的不等式
(
其中
a
≠
0)
，叫作一元二次不等式
.
(2)使某个一元二次不等式成立的
x
的值叫这个一元二次不等式的解.
(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集.
知识点二
“
三个二次
”
的关系
思考
分析二次函数
y
＝
x
2
－
1
与一元二次方程
x
2
－
1
＝
0
和一元二次不等式
x
2
－
1>0
之间的关系
.
答案
判别式
△
=b
2
-
4
ac
y=ax
2
+bx+c
(
a>
0
)的图象
ax
2
+bx+c=
0
(
a
>0)的根
ax
2
+bx+c>
0
(
a>
0)的解集
ax
2
+bx+c<
0
(
a
>0)的解集
△>0
有两相异实根
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)
{
x|xx
2
}
{
x|x
1
< x 0
的解集是
{
x
|
x
<
x
1
或
x
>
x
2
};
口诀：大于取两边，大于大根或小于小根
2.
ax
2
+b
x
+c<0
的
解集
是
{
x
|
x
1
<
x
<
x
2
}
。
口诀：小于
取
中间，大于小根小于大根
知识点三 一元二次不等式的解法
思考
根据上表，尝试解不等式
x
2
＋
2>3
x
.
先化为
x
2
－
3
x
＋
2>0.
∵
方程
x
2
－
3
x
＋
2
＝0的根
x
1
＝1，
x
2
＝2，
∴
原不等式的解集为{
x
|
x
<1或
x
>2}.
答案
解一元二次方程的步骤
解形如
ax
2
＋
bx
＋
c
>0(
≥
0)
或
ax
2
＋
bx
＋
c
<0(
≤
0)
的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)
确定对应方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0的解；(
求根
)
(2)画出对应函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象简图；（作图）
(3)由图
象
得出不等式的解集.
（写解集）
梳理
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度
1
二次项系数大于
0
例
1
求不等式
4
x
2
－
4
x
＋
1>0
的解集
.
解答
因为
Δ
＝
(
－
4)
2
－
4
×
4
×
1
＝
0
，
所以方程4
x
2
－
4
x
＋
1
＝
0
的解是
x
1
＝
x
2
＝ ，
所以原不等式的解集为 .
题型探究
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像
.
跟踪训练
1
求不等式
2
x
2
－
3
x
－
2
≥
0
的解集
.
解答
∵
2
x
2
－
3
x
－
2
＝
0
的两解为
x
1
＝－
，
x
2
＝
2
，
且
a
＝
2>0
，
∴
不等式
2
x
2
－
3
x
－
2
≥
0
的解集是
{
x
|
x
≤
－
或
x
≥
2}.
命题角度
2
二次项系数小于
0
例
2
解不等式－
x
2
＋
2
x
－
3>0.
解答
不等式可化为
x
2
－
2
x
＋
3<0.
因为
Δ
<0
，方程
x
2
－
2
x
＋
3
＝
0无实数解，
而
y
＝
x
2
－2
x
＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是
∅
.
反思与感悟
将－
x
2
＋
2
x
－
3>0
转化为
x
2
－
2
x
＋
3<0
的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处
.
跟踪训练
2
求不等式－
3
x
2
＋
6
x
>2
的解集
.
解答
不等式可化为
3
x
2
－
6
x
＋
2<0
，
∵
Δ
＝(－6)
2
－4
×
3
×
2＝12>0，
∴
不等式－
3
x
2
＋
6
x
>2
的解集是
命题角度
3
含参数的二次不等式
例3
解关于
x
的不等式
ax
2
－(
a
＋1)
x
＋1＜0.
解答
反思与感悟
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论
.
跟踪训练
3
解关于
x
的不等式
(
x
－
a
)(
x
－
a
2
)
＜
0.
解答
当
a
＜
0
或
a
＞
1
时，有
a
＜
a
2
，此时，不等式的解集为
{
x
|
a
＜
x
＜
a
2
}
；
当
0
＜
a
＜
1
时，有
a
2
＜
a
，此时，不等式的解集为
{
x
|
a
2
＜
x
＜
a
}
；
当
a
＝
0
或
a
＝
1
时，原不等式无解
.
综上，当
a
＜
0
或
a
＞
1
时，原不等式的解集为
{
x
|
a
＜
x
＜
a
2
}
；
当
0
＜
a
＜
1
时，原不等式的解集为
{
x
|
a
2
＜
x
＜
a
}
；
当
a
＝
0
或
a
＝
1
时，解集为
∅
.
类型二
“
三个二次
”
间对应关系的应用
例
4
已知关于
x
的不等式
x
2
＋
ax
＋
b
<0
的解集为
{
x
|1
＜
x
＜
2}
，试求关于
x
的不等式
bx
2
＋
ax
＋
1>0
的解集
.
解答
由根与系数的关系，可得
∴
不等式
bx
2
＋
ax
＋
1>0
，即
2
x
2
－
3
x
＋
1>0.
题型探究
反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与
x
轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数
.
跟踪训练
4
已知不等式
ax
2
－
bx
＋
2<0
的解集为
{
x
|1<
x
<2}
，求
a
，
b
的值
.
解答
方法一 由题设条件知
a
>0
，且
1,2
是方程
ax
2
－
bx
＋
2
＝
0
的两实根
.
方法二 把
x
＝
1,2
分别代入方程
ax
2
－
bx
＋
2
＝
0
中，
课堂检测
1.
不等式
2
x
2
－
x
－
1>0
的
解集是
答案
解析
1
2
3
√
4
∵
2
x
2
－
x
－
1
＝
(2
x
＋
1)(
x
－
1)
，
∴
由2
x
2
－
x
－1>0，得(2
x
＋1)(
x
－1)>0，
∵
2
x
2
－
x
－
1
＝
(2
x
＋
1)(
x
－
1)
，
∴
由2
x
2
－
x
－1>0，得(2
x
＋1)(
x
－1)>0，
1
2
3
4
2.
不等式－
6
x
2
－
x
＋
2
≤
0
的
解集是
√
答案
解析
1
2
3
4
∵
－
6
x
2
－
x
＋
2
≤
0
，
∴
6
x
2
＋
x
－
2
≥
0
，
∴
(2
x
－
1)(3
x
＋
2)
≥
0
，
∴
x
≥
或
x
≤
.
3.
若不等式
ax
2
＋
8
ax
＋
21<0
的解集是
{
x
|
－
7<
x
<
－
1}
，那么
a
的值是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
答案
解析
1
2
3
4
由题意可知－
7
和－
1
为方程
ax
2
＋
8
ax
＋
21
＝
0
的两个根
.
∴
－
7
×
(
－
1)
＝
，故
a
＝
3.
4.
若不等式
(
a
－
2)
x
2
＋
2(
a
－
2)
x
－
4<0
的解集为
R
，求实数
a
的取值范围
.
当
a
－
2
＝
0
，即
a
＝
2
时，原不等式为－
4<0
，
所以
a
＝
2
时解集为
R
.
1
2
3
4
解答
解得－
2<
a
<2.
综上所述，
a
的取值范围为
(
－
2,2].
课堂小结
1.
解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤
①
化不等式为标准形式：
ax
2
＋
bx
＋
c
>0(
a
>0)或
ax
2
＋
bx
＋
c
<0(
a
>0)；
②
求方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0(
a
>0)的根，并画出对应函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图
象
的简图；
③
由图
象
得出不等式的解集.
(2)
代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解
.
当
m
<
n
时，若
(
x
－
m
)(
x
－
n
)>0，则可得
x
>
n
或
x
<
m
；
若(
x
－
m
)(
x
－
n
)<0，则可得
m
<
x
<
n
.
有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2.
含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类
“
不重不漏
”
，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数
a
>0，
a
<0，
a
＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(
Δ
>0)，一根(
Δ
＝0)，无根(
Δ
<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：
x
1
>
x
2
，
x
1
＝
x
2
，
x
1
<
x
2
.
