【数学】2019届一轮复习人教A版正余弦定理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版正余弦定理学案

有型有法----掌握题型，掌握方法，掌握套路 考向六 正余弦定理----有三角形就得用 ‎【例6】（1）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 。‎ ‎（2）．在中，，，分别为角，，所对的边，若，则（ ）‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定是斜三角形 D. 一定是直角三角形 ‎（3）．在中，内角的对边分别为.若，且，则 。‎ ‎（4）在中，是角，，成等差数列的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【套路】‎ 利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路 ‎(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎【强化练习】1．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．‎ ‎3．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.‎ ‎4．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．‎ ‎5．在中，内角的对边分别为，若，且的面积为，则________________．‎ ‎6．如图，在中，，点 在线段上，且，，则的面积的最大值为__________．‎ ‎7．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．‎ ‎8．中，是边上一点，，，且与面积之比为，则__________．‎ ‎9．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．‎ 参考答案 ‎【例6】（1）由题可知所以 由余弦定理所以 ‎（2）．已知，利用正弦定理化简得：‎ ‎，整理得：， ，‎ ‎ ，即.则为直角三角形.‎ ‎（3）．∵‎ ‎∴根据正弦定理可得，即 ‎∵∴，即∵∴，即为锐角∴‎ ‎（4）‎ 在△ABC中，‎ ‎⇒角A、B、C成等差数列 当角A、B、C成等差数列⇒角A有可能取90°，‎ 故不成立，故是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．‎ ‎【强化练习】1．由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此 当且仅当时取等号，则的最小值为.‎ ‎2．由正弦定理得,所以 由余弦定理得（负值舍去）.‎ ‎3． ，，即，‎ ‎，则 为钝角，，故.‎ ‎4．根据题意，结合正弦定理 可得，即，‎ 结合余弦定理可得，‎ 所以A为锐角，且，从而求得，‎ 所以△的面积为，故答案是.‎ ‎5．因为的面积为，所以，‎ 即，由，‎ 得，即，则．‎ ‎6．由可得：，则.‎ 由可知：，则，由同角三角函数基本关系可知：.‎ 设，在△ABD中由余弦定理可得：，‎ 在△CBD中由余弦定理可得：，由于，故，‎ 即：，整理可得：.①‎ 在△ABC中，由余弦定理可知：，‎ 则：，‎ 代入①式整理计算可得：，‎ 由均值不等式的结论可得：，‎ 故，当且仅当时等号成立，‎ 据此可知△ABC面积的最大值为：.‎ ‎7．根据三角形内角和为180°，所以 ‎ 由正弦定理 ，代入所以解得 m ‎8．分析：先由且与面积之比为，可得，再结合BC=7和余弦定理可得AB，AC的边长，然后可求出整个三角形的面积，而占整个面积的，故可求出AD.‎ 详解：由且与面积之比为，可得,设AB=5x，AC=3x，由∠BAD=120°可得：‎ ‎9．由正弦定理，‎ 得 即 由余弦定理 得 ‎ ‎ 又 ‎ 由题可知 则 ‎ 即的范围