2019届二轮复习　坐标系与参数方程学案（全国通用）

2019届二轮复习　坐标系与参数方程学案（全国通用）

第1讲　坐标系与参数方程 ‎[考情考向分析]　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．‎ 热点一　极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，‎ 则 例1　(2018·东北三省四市模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcos θ＝3，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标；‎ ‎(2)设点Q在C2上，＝，求动点P的极坐标方程．‎ 解　(1)联立得cos θ＝±，‎ ‎∵0≤θ<，∴θ＝，ρ＝2，‎ ‎∴所求交点的极坐标为.‎ ‎(2)设P，Q且ρ0＝4cos θ0，θ0∈，‎ 由已知＝，得 ‎∴ρ＝4cos θ，‎ 即ρ＝10cos θ，‎ ‎∴点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈.‎ 思维升华　(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．‎ 跟踪演练1　(2018·山西省榆社中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(t为参数，t>0且t≠)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线M与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．‎ 解　(1)∵＝t，∴x＝，即y＝(x－2)，‎ 又t>0且t≠，‎ 由x＝，得t＝－，‎ ‎∴－>0且－≠，‎ ‎∴x>2或x<0，‎ ‎∴曲线M的普通方程为y＝(x－2)(x>2或x<0)．‎ ‎∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，‎ ‎∴x2＋y2＝4x，‎ 即曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0.‎ ‎(2)由得x2－4x＋3＝0，‎ ‎∴x1＝1(舍去)，x2＝3，‎ 则交点的直角坐标为(3，)，极坐标为.‎ 热点二　参数方程与普通方程的互化 ‎1．直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎2．圆的参数方程 圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎3．圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．‎ 例2　(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为.‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎ 思维升华　(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围．‎ 跟踪演练2　(2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是.‎ ‎(1)求直线l的普通方程；‎ ‎(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标．‎ 解　(1)直线l的普通方程为3x－y－6＝0.‎ ‎(2)点M的直角坐标是(－1，－)，‎ 过点M作直线l的垂线，垂足为M′，则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点．‎ 直线MM′的方程是y＋＝－(x＋1)，‎ 即y＝－x－－.‎ 由解得 所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是.‎ 热点三　极坐标、参数方程的综合应用 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ 例3　(2018·泉州质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m：θ＝β(ρ>0)．‎ ‎(1)求C和l的极坐标方程；‎ ‎(2)设点A是m与C的一个交点(异于原点)，点B是m与l的交点，求的最大值．‎ 解　(1)曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 由得2＋ρ2sin2θ＝1，‎ 化简得C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 因为l的普通方程为x＋y－4＝0，‎ 所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，‎ 所以l的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(2)设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，‎ 则＝＝2cos β· ‎＝(sin βcos β＋cos2β)＝sin＋，‎ 由射线m与C，直线l相交，则不妨设β∈，‎ 则2β＋∈，‎ 所以当2β＋＝，即β＝时，取得最大值，‎ 即max＝.‎ 思维升华　(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．‎ ‎(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．‎ 跟踪演练3　(2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数)，A(0,1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求＋的取值范围．‎ 解　(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，‎ 又∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2.‎ ‎(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2＋y2－2x＝0，‎ 得t2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0.‎ ‎∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin2－4>0，‎ ‎∴∈，‎ ‎∴sin∈∪.‎ t1＋t2＝－(2sin α－2cos α)＝－2sin，‎ t1t2＝1>0，‎ ‎∵t1t2＝1>0，∴t1，t2同号，‎ ‎∴|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|.‎ 由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得 ＋＝＋＝ ‎＝＝ ‎＝2∈(2,2]．‎ ‎∴＋∈(2,2]．‎ 真题体验 ‎1．(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，‎ 整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知，‎ ‎|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α.‎ 于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cos α ‎＝4cos α ‎＝|sin 2α－cos 2α－|‎ ‎＝2≤2＋.‎ 当2α－＝－，即α＝－时，S取得最大值2＋，‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ 押题预测 ‎1．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．‎ 押题依据　极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题．‎ 解　(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.‎ 因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，‎ 即曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4，‎ 得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，‎ 化简得t2－2tcos α－3＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 由根与系数的关系，得 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ‎＝＝，‎ 故4cos2α＝1，解得cos α＝±.‎ 因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝或.‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，其中a>b>0.以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2cos θ，射线l：θ＝α(ρ≥0)．若射线l与曲线C1交于点P，当α＝0时，射线l与曲线C2交于点Q，|PQ|＝1；当α＝时，射线l与曲线C2交于点O，|OP ‎|＝.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程；‎ ‎(2)设直线l′：(t为参数，t≠0)与曲线C2交于点R，若α＝，求△OPR的面积．‎ 押题依据　将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．‎ 解　(1)因为曲线C1的参数方程为(φ为参数)，且a>b>0，所以曲线C1的普通方程为＋＝1，而其极坐标方程为＋＝1.‎ 将θ＝0(ρ≥0)代入＋＝1，‎ 得ρ＝a，即点P的极坐标为；‎ 将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2，‎ 即点Q的极坐标为(2,0)．‎ 因为|PQ|＝1，所以|PQ|＝|a－2|＝1，‎ 所以a＝1或a＝3.‎ 将θ＝(ρ≥0)代入＋＝1，‎ 得ρ＝b，即点P的极坐标为，‎ 因为|OP|＝，所以b＝.又因为a>b>0，所以a＝3，‎ 所以曲线C1的普通方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为直线l′的参数方程为(t为参数，t≠0)，‎ 所以直线l′的普通方程为y＝－x(x≠0)，‎ 而其极坐标方程为θ＝－(ρ∈R，ρ≠0)，‎ 所以将直线l′的方程θ＝－代入曲线C2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR|＝1.‎ 因为将射线l的方程θ＝(ρ≥0)代入曲线C1的方程＋＝1，‎ 得ρ＝，即|OP|＝，‎ 所以S△OPR＝|OP||OR|sin∠POR ‎＝××1×sin ＝.‎ A组　专题通关 ‎1．(2018·河南省六市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R)，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，若|AB|＝4，求实数α的值．‎ 解　(1)由曲线 C1 的参数方程为(φ为参数)，‎ 消去参数得曲线 C1 的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 又曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，‎ ‎∴ C2 的直角坐标方程为 x2 ＋y2＝4y，‎ 整理得x2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)曲线 C1：(x－2)2＋y2＝4 化为极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ 设 A(ρ1，α1)，B(ρ2，α2)，‎ 又曲线 C3 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π，ρ∈R，‎ 点 A是曲线C3 与 C1 的交点，B是曲线 C3 与C2 的交点，且均异于原点O，且|AB|＝4，‎ ‎∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|4sin α－4cos α|‎ ‎＝4＝4 ，‎ ‎∴sin＝±1，‎ 又0<α<π，∴－<α－<，‎ ‎∴α－＝，‎ 解得 α＝.‎ ‎2．(2018·石嘴山适应性测试)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点P的坐标为(－1,0)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ 解　(1)由消去参数t，‎ 得直线l的普通方程为x－y＋1＝0.‎ 又由ρ＝6cos θ，得ρ2＝6ρcos θ，‎ 由 得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x＝0.‎ ‎(2)将代入x2＋y2－6x＝0中，‎ 得t2－4t＋7＝0，‎ 则t1＋t2＝4，t1t2＝7>0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，曲线C1：＋y2＝1，曲线C2：(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(异于原点O)，当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．‎ 解　(1)因为C2： 所以曲线C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，‎ 由得曲线C2的极坐标方程ρ＝2sin θ.‎ 对于曲线C1：＋y2＝1，由 得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，‎ ‎|OB|2＝ρ2＝4sin2α，‎ ‎|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α ‎＝＋4－4.‎ 因为0<α<，1<1＋sin2α<，‎ 所以|OA|2＋|OB|2∈.‎ ‎4．(2018·潍坊模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，点M为曲线C1上的动点，动点P满足＝a(a>0且a≠1)，点P的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；‎ ‎(2)在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为，射线θ＝α与C2的异于极点的交点为B，已知△AOB面积的最大值为4＋2，求a的值．‎ 解　(1)设P(x，y)，M，‎ 由＝a，得∴ ‎∵点M在C1上，‎ ‎∴即(θ为参数)，‎ 消去参数θ，得2＋y2＝4a2(a>0且a≠1)．‎ ‎∴曲线C2是以为圆心，以2a为半径的圆．‎ ‎(2)方法一　A点的直角坐标为(1，)，‎ ‎∴直线OA的普通方程为y＝x，即x－y＝0.‎ 设B点坐标为(2a＋2acos α，2asin α)，‎ 则B点到直线x－y＝0的距离d＝ ‎＝a.‎ ‎∴当α＝－时，dmax＝(＋2)a.‎ ‎∴S△AOB的最大值为×2×(＋2)a＝4＋2，‎ ‎∴a＝2.‎ 方法二　将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入2＋y2＝4a2，并整理得ρ＝4acos θ，令θ＝α，得ρ＝4acos α.‎ ‎∴B.‎ ‎∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB ‎＝4acos α＝a|2sin αcos α－2cos2α|‎ ‎＝a|sin 2α－cos 2α－|＝a，‎ ‎∴当α＝－时，S△AOB取得最大值(2＋)a，‎ 依题意知(2＋)a＝4＋2，∴a＝2.‎ ‎5．(2018·揭阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为，半径为，现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)设M，N是圆C上两个动点，满足∠MON＝，求|OM|＋|ON|的最小值．‎ 解　(1)圆C的直角坐标方程为x2＋2＝，‎ 即x2＋y2－y＝0，‎ 化为极坐标方程为ρ2－ρsin θ＝0，整理可得ρ＝sin θ.‎ ‎(2)设M，N，‎ ‎|OM|＋|ON|＝ρ1＋ρ2＝sin θ＋sin ‎＝sin θ＋cos θ＝sin.‎ 由得0≤θ≤，≤θ＋≤，‎ 故≤sin≤1，‎ 即|OM|＋|ON|的最小值为.‎ B组　能力提高 ‎6．在直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线E的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出这个定值．‎ 解　(1)将点P代入曲线E的方程，‎ 得 解得a2＝3，‎ 所以曲线E的普通方程为＋＝1，‎ 极坐标方程为ρ2＝1.‎ ‎(2)不妨设点A，B的极坐标分别为 A(ρ1，θ)，B，ρ1>0，ρ2>0，‎ 则 即 所以＋＝，‎ 即＋＝，‎ 所以＋为定值.‎ ‎7．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ为参数)．‎ ‎(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝的距离的最小值．‎ 解　(1)点P的直角坐标为，‎ 由ρ＝2cos，‎ 得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入①，‎ 可得曲线C的直角坐标方程为 2＋2＝1.‎ ‎(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝的直角坐标方程为2x＋4y－＝0，‎ 设点Q的直角坐标为，‎ 则M，‎ ‎∴点M到直线l的距离 d＝ ‎＝ ‎＝，其中tan φ＝.‎ ‎∴d≥＝(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，‎ ‎∴点M到直线l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝的距离的最小值为.‎ ‎8．已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin(θ为参数)．‎ ‎(1)求证：l1⊥l2；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，P为直线l1，l2的交点，求|OP||AP|的最大值．‎ ‎(1)证明　易知直线l1的普通方程为xsin α－ycos α＝0.‎ 又ρcos(θ－α)＝2sin可变形为 ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin，‎ 即直线l2的直角坐标方程为 xcos α＋ysin α－2sin＝0.‎ 因为sin αcos α＋(－cos α)sin α＝0，‎ 根据两直线垂直的条件可知，l1⊥l2.‎ ‎(2)解　当ρ＝2，θ＝时，‎ ρcos(θ－α)＝2cos＝2sin，‎ 所以点A在直线ρcos(θ－α)＝2sin上．‎ 设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为＝1.‎ 于是|OP||AP|＝d·|OA|＝2d≤2，‎ 所以|OP||AP|的最大值为2.‎