2018-2019学年新疆阿克苏市高级中学高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

2018-2019学年新疆阿克苏市高级中学高二下学期期末考试数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 新疆阿克苏市高级中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题，，则为（ ）．‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：表示对命题的否定，‎ ‎“，”的否定是“，” ．‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.‎ ‎2．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可。‎ ‎【详解】‎ 圆化为,，配方为 ，‎ 因此圆心直角坐标为，可得圆心的极坐标为 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础。‎ ‎3．已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有个.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.‎ ‎4．已知，命题“若，则.”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可,这里注意的取值,在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可.‎ ‎【详解】‎ 解：逆命题:设，若，则a＞b,由可得，能得到a＞b，所以该命题为真命题;‎ 否命题设，若a≤b，则,由及a≤b可以得到，所以该命题为真命是题；‎ 因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可，‎ 当时，，所以由a＞b得到，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题;故为真命题的有2个.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查四种命题真假性的判断问题，由题意写出原命题的逆命题，否命题并判断命题的真假是解题的关键.‎ ‎5．设集合,,,则集合中元素的个数为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法；‎ 或时, ,有两种选法；‎ 共种选法； ‎ C中元素有个． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎6．设，则“”是“直线与平行”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由直线与平行，求出的范围，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与平行，所以，‎ 解得或，‎ 又当时，与重合，不满足题意，舍去；‎ 所以；‎ 由时，与分别为，，显然平行；‎ 因此“”是“直线与平行”的充要条件；‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查由直线平行求参数，以及充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎7．设，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解出集合和，根据交集的结果可确定的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎8．已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由，可得，由，可得，解得.因为为假命题，所以与都是假命题，若是假命题，则有，若是假命题，则由或，所以符合条件的实数 的取值范围为，故选D.‎ 考点：命题真假的判定及应用.‎ ‎9．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.9‎ ‎5‎ ‎6.1‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出样本的中心点，计算出，从而求出回归直线方程，个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。‎ ‎【详解】‎ 由题可得，‎ 因为线性回归方程过样本中心点，所以，所以，‎ 所以，‎ 故个点中落在回归直线上方有 ， ，，共个，所以概率为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程和古典概型，解题的关键是求出线性回归方程，属于一般题。‎ ‎10．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由直线（为参数），可得直线的普通方程为，‎ 由曲线，可得曲线普通方程为，‎ 设直线与椭圆的交点为，，则，，‎ 两式相减，可得.‎ 所以，即直线的斜率为，所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）人．‎ ‎（K2≥k0）‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ A．12 B．6 C．10 D．18‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，设男生人数x，然后列联表，求得观测值，可得x的范围，再利用人数比为整数，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设男生人数为，则女生人数为，‎ 则列联表如下：‎ 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 女生 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 总计 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则 ‎ 即 解得 ‎ 又因为为整数，所以男生至少有12人 故选A ‎【点睛】‎ 本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中 为坐标原点，对于下列结论：‎ 符合的点的轨迹围成的图形面积为8；‎ 设点是直线：上任意一点，则；‎ 设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；‎ 设点是椭圆上任意一点，则．‎ 其中正确的结论序号为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义由，讨论、的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值；根据等于1或都能推出最小的点有无数个可判断其错误；把的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得的最大值说明命题正确．‎ ‎【详解】‎ 由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：‎ 四边形为边长是的正方形，面积等于8，故正确；‎ 为直线上任一点，可得，‎ 可得，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；‎ ‎，当时，，满足题意；‎ 而，当时，，满足题意，即都能 “使最小的点有无数个”，不正确；‎ 点是椭圆上任意一点，因为求最大值，所以可设，，，，，，正确．‎ 则正确的结论有：、、，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“如果，那么且”的逆否命题是______．‎ ‎【答案】如果 或 ，则 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由四种命题之间的关系，即可写出结果.‎ ‎【详解】‎ 命题“如果，那么且”的逆否命题是“如果 或 ，则 ”.‎ 故答案为：如果 或 ，则 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎14．已知直线l的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线的参数方程，设，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，‎ 则到直线的距离，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎15．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得命题，又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，‎ 得出不等式组，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，命题，命题.又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，‎ 设，则满足，解得，‎ 经验证当适合题意，‎ 所以的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16．设函数和函数，若对任意都有使得，则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的单调性求出的值域A，分类讨论求得的值域B，再将条件转化为A，进行判断求解即可．‎ ‎【详解】‎ 是上的递减函数，‎ ‎∴的值域为，令A=，‎ 令的值域为B，‎ 因为对任意都有使得，则有A，‎ 而，当a=0时，不满足A；‎ 当a>0时，，∴解得；‎ 当a<0时，，∴不满足条件A,‎ 综上得.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的值域及单调性的应用，关键是将条件转化为两个函数值域的关系，运用了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知集合，其中，集合．‎ 若，求；‎ 若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出二次不等式以及分式不等式得到集合和，根据并集的定义求并集；由集合是集合的子集，可得，根据包含关系列出不等式，求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 集合，‎ 由，则，‎ 解得，‎ 即，‎ ‎，则，‎ 则．‎ ‎，即，‎ 可得，解得，‎ 故m的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题．在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎18．已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：不等式对于任意恒成立.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由命题得命题由命题为真，得为真命题或为真命题，列m的不等式求解即可；‎ ‎（2）由命题为真，为假判断均为真命题或均为假命题，分情况列出m的不等式组求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎（1）由于为真命题，故为真命题或为真命题，从而有或，即.‎ ‎（2）由于为真命题，为假命题，所以均为真命题或均为假命题，从而有或，解得 即：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假，注意命题p焦点在y轴上审题要注意，对于命题p,q的真假判断要准确.‎ ‎19．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：‎ ‎60分及以下 ‎61～70分 ‎71～80分 ‎81～90分 ‎91～100分 甲班（人数）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎9‎ 乙班（人数）‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎16‎ ‎12‎ ‎6‎ 现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.‎ ‎（1）由以上统计数据填写列联表，并判断是否有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助；‎ ‎（2）对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导，一个月后从中抽取3人课堂检测，表示抽取到的甲班学生人数，求及至少抽到甲班1名同学的概率.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到列联表，然后由列联表中的数据得到的值，再结合临界值表可得结论．（2）由题意得到随机变量的所有可能取值，并分别求出对应的概率，进而得到的分布列，于是可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得列联表如下:‎ 优秀人数 非优秀人数 总计 甲班 ‎21‎ ‎24‎ ‎45‎ 乙班 ‎27‎ ‎18‎ ‎45‎ 合计 ‎48‎ ‎42‎ ‎90‎ 由表中数据可得，‎ 所以没有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．‎ ‎（2）由题意得60分以下共有7人，其中甲班有3人，所以随机变量显然的所有可能取值为．‎ ‎，，，，‎ 所以随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以，‎ 至少抽到1名甲班学生概率为．‎ ‎【点睛】‎ 在独立性检验中，再求出后查临界值表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，临界值表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．‎ ‎20．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积。‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 其普通方程为，化为极坐标方程为 ‎（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为 ‎ 联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离， ‎ 故的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题。‎ ‎21．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中 ， =‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润与、的关系为.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎(ⅰ)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎(ⅱ)年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；‎ ‎（Ⅲ）(ⅰ) 年销售量及年利润的预报值分别是576.6，66.32；‎ ‎(ⅱ) 时，年利润的预报值最大。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由散点图结合函数性质，可以观察得出适宜；‎ ‎（Ⅱ）通过换元法，由最小二乘法求出回归方程；‎ ‎（Ⅲ）(ⅰ)根据回归方程及题目条件，求值；(ⅱ)利用换元法，对二次函数求最值。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由散点图结合函数性质，可知适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型。‎ ‎（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程.由题知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以关于的线性回归方程为，‎ 关于的线性回归方程为.‎ ‎（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，，当时，‎ 年销售量的预报值为，‎ 年利润的预报值为.‎ ‎(ⅱ) ‎ 令，，当即时，年利润的预报值最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查学生的数学建模、数据分析、数学运算能力，能通过数据建立适当模型，结合换元法可用最小二乘法解决非线性回归模型问题。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.‎ ‎（1）当时，求及l的极坐标方程；‎ ‎（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；‎ ‎（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点在曲线上，‎ 所以；‎ 即，所以，‎ 因为直线l过点且与垂直，‎ 所以直线的直角坐标方程为，即；‎ 因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；‎ ‎（2）设，则， ，‎ 由题意，，所以，故，整理得，‎ 因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.‎