【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第6讲函数的奇偶性与周期性学案
第6讲 函数的奇偶性与周期性
1.函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有 ,那么函数f(x)是偶函数
都有 ,那么函数f(x)是奇函数
图像特征
关于 对称
关于 对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期.
常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式:
(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
2.设f(x)的最小正周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.
3.对称性与周期性之间的常用结论:
(1)若函数f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函数f(x)的图像关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函数f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.
4.关于函数图像的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图像关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图像关于直线x=a+b2对称;
(3)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图像关于点a+b2,0对称;
(4)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图像关于点a+b2,c2对称.
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=x2-1,f(x)=x3,f(x)=x2+cos x,f(x)=1x+|x|中,偶函数的个数是 .
2.[教材改编] 若奇函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则它在[-b,-a]上是 函数;若偶函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则它在[-b,-a]上是 函数.
3.[教材改编] 已知f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x-1,则f(-2)= .
4.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=log4(x2+4),则f(2019)= .
题组二 常错题
◆索引:判定奇偶性时,不化简解析式导致出错;奇偶性不能有效变化;找不到周期函数的周期从而求不出结果;利用奇偶性求解析式时忽略定义域.
5.函数f(x)=lg(1-x2)|x+3|-3是 函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”)
6.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图像关于直线 对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图像关于点 成中心对称.
7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-fx+32,且f(2)=2,则f(2018)= .
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x-3,则函数f(x)的解析式为f(x)= .
探究点一 函数奇偶性及其延伸
微点1 函数奇偶性的判断
例1 (1)[2018·杭州模拟] 设函数f(x)=2ax-1+b(a>0且a≠1),则函数f(x)的奇偶性 ( )
A.与a无关,且与b无关
B.与a有关,且与b有关
C.与a有关,但与b无关
D.与a无关,但与b有关
(2)下列函数中奇函数、偶函数的个数分别是 ( )
①f(x)=1-x1+x;②f(x)=log3(x2+1+x);
③f(x)=x2-1,x<0,-x2+1,x>0;④f(x)=x2+cos x.
A.1,1 B.2,2
C.3,1 D.2,1
[总结反思] 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
微点2 函数奇偶性的应用
例2 (1)[2018·北京东城区模拟] 若函数f(x)=3·e|x-1|-sin(x-1)e|x-1|在区间[-3,5]上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为 ( )
A.2 B.1
C.6 D.3
(2)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)= .
[总结反思] 利用函数奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图像:利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像.
(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.
微点3 奇偶性延伸到其他对称性问题(从平移角度说说其他对称性问题)
例3 (1)[2018·广东七校联考] 已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论不成立的是 ( )
A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2)
C.f(1)>f(2) D.f(1)>f(3)
(2)设函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,f(3)=0,且g(x)=f(x+1)为偶函数,则不等式g(2-2x)<0的解集为 .
[总结反思] 由奇偶性延伸所得对称性问题的常见形式有:
(1)若函数y=f(x)为奇函数(偶函数),则函数y=f(x+a)的图像关于点(-a,0)对称(关于直线x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(偶函数),则函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称(关于直线x=a对称).
应用演练
1.【微点1】下列函数中为偶函数的是 ( )
A.f(x)=x2sin x B.f(x)=2-x
C.f(x)=sinxx D.f(x)=|log0.5x|
2.【微点1】已知a>0且a≠1,对任意的实数λ,函数f(x)=ax+λa-x不可能 ( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
3.【微点3】[2018·吕梁模拟] 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≤1的x的取值范围是 ( )
A.[-2,2]
B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[4,+∞)
D.[0,4]
4.【微点2】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-6,则当x>0时,f(x)= .
5.【微点2】若函数f(x)=kx+log3(1+9x)为偶函数,则k= .
探究点二 函数的周期性及其应用
例4 (1)已知函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x),当x∈(0,π)时,f(x)=2sinx2,则f19π3=( )
A.12 B.32
C.1 D.3
(2)[2018·山西45校联考] 函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在区间[-1,1]上f(x)=ax+2,-1≤x≤0,(a-2x)ex,0
f(x2)的形式,再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式,如x1x2)求解.
微点2 奇偶性与周期性的结合
例6 (1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )
A.-50 B.0
C.2 D.50
(2)[2018·南昌二模] 已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,都有f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且x∈[-3,0]时,f(x)=log12(6+x),则f(2018)的值为 ( )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
[总结反思] 周期性与奇偶性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性将所求函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值.
微点3 奇偶性、周期性与单调性的结合
例7 (1)[2018·泉州5月质检] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=-f(x),且在[0,2]上单调递减,则 ( )
A.f(8)0
B.减函数,且f(x)<0
C.增函数,且f(x)<0
D.减函数,且f(x)>0
[总结反思] 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
应用演练
1.【微点1】[2018·衡水中学月考] 下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上的单调性也相同的是 ( )
A.y=1-x2 B.y=log2|x|
C.y=-1x D.y=x3-1
2.【微点2】已知f(x)为定义在R上且周期为2的奇函数,当-1≤x<0时,f(x)=x(ax+1),若f52=-1,则a=( )
A.6 B.4
C.-1425 D.-6
3.【微点1】[2019·长春实验中学检测] 已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为 ( )
A.(2,+∞) B.0,12∪(2,+∞)
C.0,22∪(2,+∞) D.(2,+∞)
4.【微点3】[2018·天津9校联考] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1.设a=ln1π,b=e-ln 25,c=13-0.1,则 ( )
A.f(a)0,|x+3|-3≠0,得-10)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图像,则y=f(x+a)图像的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图像关于点(b,0)成中心对称.
7.2 [解析] ∵f(x)=-fx+32,∴f(x+3)=fx+32+32=-fx+32=f(x),∴f(2018)=f(3×672+2)=f(2)=2.
8.x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0 [解析] 设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)-3]=x+3(x<0).由奇函数的定义可知f(0)=0,
所以f(x)=x-3,x>0,0,x=0,x+3,x<0.
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)考虑f(x)=f(-x)或f(-x)=-f(x)成立时,a,b的取值情况;(2)根据函数奇偶性的定义进行判断.
(1)D (2)D [解析] (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.由f(x)=2ax-1+b=b·ax+2-bax-1,
得f(-x)=2a-x-1+b=(b-2)ax-bax-1.若f(x)=f(-x)成立,则b=b-2,舍去;若f(-x)=-f(x)成立,则b-2=-b,解得b=1,此时函数为奇函数;若b≠1,则函数为非奇非偶函数.所以函数f(x)的奇偶性与b有关,与a无关.
(2)对于①,定义域为(-1,1],所以函数不具有奇偶性;对于②,定义域为R,且f(-x)=log3(x2+1-x)=log31x2+1+x=-log3(x2+1+x)=-f(x),所以函数为奇函数;对于③,当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-1=-(-x2+1)=-f(x),同理当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x2+1=-(x2-1)=-f(x),所以函数为奇函数;对于④,定义域为R,f(-x)=(-x)2+cos(-x)=f(x),函数为偶函数.所以选D.
例2 [思路点拨] (1)观察函数结构,可整理成一个奇函数及一个常数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值的和为0求解;(2)奇函数的定义域中若有0,则f(0)=0,求出m,再根据奇函数的定义求值.
(1)C (2)-7 [解析] (1)令x-1=t,则f(t)=3e|t|-sinte|t|=3-sinte|t|,t∈[-4,4],
∴y=f(t)-3是奇函数,
则f(t)min-3+f(t)max-3=0,即f(t)min+f(t)max=6,
∴函数f(x)在区间[-3,5]上的最大值、最小值之和为6,
即p+q=6,故选C.
(2)函数f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,当x≥0时,f(x)=2x-1,
所以f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7.
例3 [思路点拨] (1)由函数y=f(x+2)为偶函数可知函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再结合单调性比较大小;(2)根据函数图像的平移关系得到函数g(x)的单调递增区间,根据偶函数的单调性解不等式即可得到结论.
(1)D (2)(0,2) [解析] (1)函数y=f(x+2)为偶函数,将函数y=f(x+2)的图像向右平移2个单位长度得到函数y=f(x)的图像,所以y=f(x)的图像关于直线x=2对称,则函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(0)>f(1),f(0)>f(2),f(1)>f(2)都成立,f(1)>f(3)不成立.故选D.
(2)f(x)在[1,+∞)上为增函数,
将f(x)的图像向左平移1个单位长度得到f(x+1)的图像,则f(x+1)在[0,+∞)上为增函数,
即g(x)在[0,+∞)上为增函数,
且g(2)=f(2+1)=f(3)=0.
不等式g(2-2x)<0等价为g(2-2x)0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-6,∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴-f(x)=f(-x)=x2-6,故f(x)=-x2+6,x>0.
5.-1 [解析] 由偶函数的定义得到kx+log3(1+9x)=-kx+log3(1+9-x),即2kx=log31+9-x1+9x=-2x,即(2k+2)x=0恒成立,所以k=-1.
例4 [思路点拨] (1)由题知函数f(x)的周期为2π,利用周期性将所求函数值转化到已知定义区间求解;(2)由条件可得出函数的周期为2,利用f(-1)=f(1)求出a,再求f(2017)+f(2018)的值.
(1)C (2)C [解析] (1)由f(x+2π)=f(x)可知函数f(x)的周期为2π,所以f19π3=f6π+π3=fπ3,又当x∈(0,π)时,f(x)=2sinx2,所以fπ3=2sinπ6=1,故选C.
(2)由f(x+1)=f(x-1)可知f(x)是周期为2的函数,故f(-1)=f(1),代入解析式,得-a+2=(a-2)e,解得a=2,从而f(x)=2x+2,-1≤x≤0,(2-2x)ex,0f(0)>f(1),
所以f(11)0,
∴当x∈(-1,0)时,f(x)<0,
∴f(x)在(2017,2018)上满足f(x)<0,
故f(x)在(2017,2018)上是增函数,且f(x)<0,故选C.
应用演练
1.A [解析] 函数y=-3|x|为偶函数,且在(-∞,0)上为增函数.
对于选项A,函数y=1-x2为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,符合题意;
对于选项B,函数y=log2|x|是偶函数,在(-∞,0)上为减函数,不符合题意;
对于选项C,函数y=-1x为奇函数,不符合题意;
对于选项D,函数y=x3-1为非奇非偶函数,不符合题意.
故选A.
2.A [解析] 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f52=f12=-f-12=--12×-12a+1=-1,解得a=6,故选A.
3.B [解析] f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(log2x)>2,即f(|log2x|)>f(1),即|log2x|>1,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或00,则f(a)=fln1π=-fln π<0,
f(b)=fe-ln 25=f52=-f12<0,
f(c)=f13-0.1=f(30.1)=-f(30.1-2)=f(2-30.1)>0,
又2>ln π>lne=12,且f(x)=2x-1在[0,2]上单调递增,
∴f(ln π)>f12,∴f(a)b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
[解析] A 函数y=f(x+1)的图像关于直线x=-1对称,将y=f(x+1)的图像向右平移1个单位长度,得到y=f(x)的图像,则f(x)的图像关于直线x=0,即y轴对称,则函数f(x)是偶函数.
当x≤0时,f(x)=-x3+ln(1-x),为减函数,
∴当x≥0时,f(x)为增函数.易知log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,
∵log32=1log23,log42=1log24,log52=1log25,
且01log24>1log25>0,
即log32>log42>log52>0,
则1+log32>1+log42>1+log52>1,
即log36>log48>log510>1,
∴f(log36)>f(log48)>f(log510),
即a>b>c.
例3 [配合例4使用] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(4)=2-3,且对任意的x都有f(x+2)=1-f(x),则f(2018)= ( )
A.-2-3 B.-2+3
C.2-3 D.2+3
[解析] A 由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f(2),又f(2+2)=1-f(2),所以f(2)=-1f(4)=-12-3=-2-3,即f(2018)=-2-3.
例4 [配合例7使用] [2018·河南林州一中调研] 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,满足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-4.令函数g(x)=f(x)-m,若g(x)在区间[-10,2]上有6个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6= .
[答案] -24
[解析] 不妨设x1>x2>x3>x4>x5>x6.因为函数y=f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2).因为f(x+2)=f(x-2)+f(2),所以令x=0,可得f(2)=0,因此f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(4-x)=f(-x)=f(x),所以直线x=2是函数f(x)图像的对称轴,周期T=4,又函数f(x)是偶函数,其图像关于y轴对称,因此直线x=4也是其图像的对称轴.因为当x∈[0,2]时,f(x)单调递增,所以g(x)=f(x)-m在区间[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,只有一个零点x1,同理在区间[-2,0)上只有一个零点x2,则x1+x2=0.同理x3+x4=-8,x5+x6=-16,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6=-24,故答案为-24.
