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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教B版 平面向量与复数学案
第五章 平面向量与复数 1.平面向量 (1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景. ②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. (2)向量的线性运算 ①掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (4)平面向量的数量积 ①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (5)向量的应用 ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 2.数系的扩充和复数的引入 (1)理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. (2)了解复数的代数表示法及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量 表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示. (3)能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义. 5.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 (1)向量:既有____________又有____________的量叫做向量,向量的大小,也就是向 量的____________(或称模).AB→的模记作____________. (2)零向量:____________的向量叫做零向量,其方向是________的. (3)单位向量:长度等于__________________的向量叫做单位向量. a |a| 是一个与 a 同向的 ____________.- a |a| 是一个与 a________的单位向量. (4)平行向量:方向________或________的________向量叫做平行向量.平行向量又叫 ____________,任一组平行向量都可以移到同一直线上. 规定:0 与任一向量____________. (5)相等向量:长度____________且方向____________的向量叫做相等向量. (6)相反向量:长度____________且方向____________的向量叫做相反向量. (7)向量的表示方法:用________表示;用____________表示;用________表示. 2.向量的加法和减法 (1)向量的加法 ①三角形法则:以第一个向量 a 的终点 A 为起点作第二个向量 b,则以第一个向量 a 的 起点 O 为________以第二个向量 b 的终点 B 为________的向量OB→就是 a 与 b 的________(如 图 1). 推广:A1A2 → +A2A3 → +…+An-1An=____________. 图 1 图 2 ②平行四边形法则:以同一点 A 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边作ABCD,则以 A 为起点的__________就是 a 与 b 的和(如图 2).在图 2 中, BC→=AD→=b,因此平行四边形 法则是三角形法则的另一种形式. ③加法的运算性质: a+b=____________(交换律); (a+b)+c=____________(结合律); a+0=____________=a. (2)向量的减法 已知向量 a,b,在平面内任取一点 O,作OA→=a,OB→=b,则BA→=____________,即 a- b 表示从向量 b 的终点指向向量 a(被减向量)的终点的向量(如图). 3.向量的数乘及其几何意义 (1)定义:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作____________,它的长度与方向规定 如下: ①|λa|=____________; ②当λ>0 时,λa 与 a 的方向____________; 当λ<0 时,λa 与 a 的方向____________; 当λ=0 时,λa=____________. (2)运算律:设λ,μ∈R,则: ①λ(μa)=____________; ②(λ+μ)a=____________; ③λ(a+b)=____________. 4.两个向量共线定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得____________. 自查自纠: 1.(1)大小 方向 长度 |AB→| (2)长度为 0 任意 (3)1 个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标 2.(1)①起点 终点 和 A1An → ②对角线AC→ ③b+a a+(b+c) 0+a (2)a-b 3.(1)λa ①|λ||a| ②相同 相反 0 (2)①μ(λa) ②λa+μa ③λa+λb 4.b=λa 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 的模相同,但方向不一定相同,故①是 假命题;若 a 与 a0 平行,则当 a 为零向量时,a 的方向任意;当 a 不为零向量时,a 与 a0 的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所 述,假命题的个数是 3.故选 D. 设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC→=3CD→,则( ) A.AD→=-1 3 AB→+4 3 AC→ B.AD→=1 3 AB→-4 3 AC→ C.AD→=4 3 AB→+1 3 AC→ D.AD→=4 3 AB→-1 3 AC→ 解:AD→=AC→+CD→=AC→+1 3 BC→=AC→+1 3 (AC→-AB→)=-1 3 AB→+4 3 AC→.故选 A. (2015·东北三省联考)在四边形 ABCD 中,若AC→=AB→+AD→,则四边形 ABCD 一定是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 解:依题意得AC→=AB→+BC→=AB→+AD→,则BC→=AD→,因此 BC∥AD 且 BC=AD,故四边形 ABCD 一定是平行四边形.故选 D. 在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点,AM→=mAB→,AN→=nAD→(mn≠0),若MN→∥BE→, 则n m =________. 解:MN→=AN→-AM→=nAD→-mAB→,BE→=BC→+ CE→=AD→-1 2 AB→,因为MN→∥BE→,且向量AD→和AB→不 共线,所以n 1 = -m -1 2 ,解得n m =2.故填 2. 直角三角形 ABC 中,斜边 BC 长为 2,O 是平面 ABC 内一点,点 P 满足OP→=OA→+1 2 (AB→ +AC→),则|AP→|=________. 解:如图, 取 BC 边中点 D,连接 AD,则1 2 (AB→+AC→)=AD→,OP→=OA→+1 2 (AB→+AC→)⇒OP→=OA→+AD→⇒OP→-OA→ =AD→⇒AP→=AD→,因此|AP→|=|AD→|=1.故填 1. 类型一 向量的基本概念 给出下列命题: ①两个向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; ②若|a|=|b|,则 a=b; ③若AB→=DC→,则四点 A,B,C,D 构成平行四边形; ④在▱ ABCD 中,一定有AB→=DC→; ⑤若 m=n,n=p,则 m=p. 其中不正确的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解:两个向量起点相同,终点也相同,则两个向量相等;但两个相等向量,不一定有相 同的起点和终点,故①不正确.若|a|=|b|,由于 a 与 b 方向不确定,所以 a,b 不一定相 等,故②不正确.若 AB→=DC→,可能有 A,B,C,D 在一条直线上的情况,所以③不正确.正 确的是④⑤.故选 B. 点拨: 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察.(1)向量定义的关键 是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的 关键是方向相同且长度相等.(4)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(5)向量可以 平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈. 下列命题中,正确的是________.(填序号) ①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③向量AB→与向量CD→共线,则 A,B,C,D 四点共线; ④如果 a∥b,b∥c,那么 a∥c; ⑤两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 解:①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量; ②不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量,零向量的方向是任意的,故两向量方向不一定 相同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,如果 b 为零向量,则 a 与 c 不一定平行; ⑤正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.故 填⑤. 类型二 向量的线性运算 在△ABC 中,E,F 分别为 AC,AB 的中点,BE 与 CF 相交于 G 点,设AB→=a,AC→= b,试用 a,b 表示AG→. 解法一:AG→=AB→+BG→=AB→+2 3 BE→=AB→+ 2 3 (AE→-AB→)=AB→+2 3 1 2 AC→-AB→ =1 3 AB→+1 3 AC→= 1 3 a+1 3 b. 解法二:由于 G 是△ABC 的中线 BE 与 CF 的交点,所以 G 为△ABC 的重心.延长 AG 交 BC 于 H,由重心的性质知,AG→=2 3 AH→=2 3 ×1 2 (AB→+AC→)=1 3 a+1 3 b. 点拨: (1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的 基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.(2)除了充分利用 相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应 边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.(3) 在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时,可以利用共线向量定理,将共线向量用参数 表示,再利用平面向量基本定理,建立参数的方程(组)求解参数,最后得出结论. (1)设 P 是△ABC 所在平面内一点,BC→+BA→=2BP→,则( ) A.PA→+PB→=0 B.PC→+PA→=0 C.PB→+PC→=0 D.PA→+PB→+PC→=0 解:如图, 根据向量加法的几何意义有BC→+BA→=2BP→⇔P 是 AC 的中点,故PC→+PA→=0.故选 B. (2)(2014·全国Ⅰ)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则EB→+FC→= ( ) A.AD→ B.1 2 AD→ C.BC→ D.1 2 BC→ 解:EB→+FC→=1 2 (AB→+CB→)+1 2 (AC→+BC→) =1 2 (AB→+AC→)=AD→.故选 A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用 已知 A,B,C 是平面内三个不相同的点,O 是平面内任意一点,求证:向量OA→, OB→,OC→的终点 A,B,C 共线的充要条件是存在实数λ,μ,使得OC→=λOA→+μOB→,且λ+μ =1. 证明:(1)先证必要性. 若OA→,OB→,OC→的终点 A,B,C 共线,则AB→∥BC→, 所以存在实数 m 使得BC→=mAB→,即OC→-OB→=m(OB→-OA→), 所以OC→=-mOA→+(1+m)OB→. 令λ=-m,μ=1+m, 则λ+μ=-m+1+m=1, 即存在实数λ,μ,使得OC→=λOA→+μOB→, 且λ+μ=1. (2)再证充分性. 若OC→=λOA→+μOB→,且λ+μ=1, 则OC→=λOA→+(1-λ)OB→, 所以OC→-OB→=λ(OA→-OB→),即BC→=λBA→, 所以BC→∥BA→,又 BC 与 BA 有公共点 B, 所以 A,B,C 三点共线. 综合(1)(2)可知,原命题成立. 点拨: 证明三点 A,B,C 共线,借助向量,只需证明由这三点 A,B,C 所组成的向量中有两个 向量共线,即证明存在一个实数λ,使AB→=λBC→.但证明两条直线 AB∥CD,除了证明存在一 个实数λ,使AB→=λCD→外,还要说明两直线不重合.注意:本例的结论可作定理使用. (1)已知向量 a,b,且AB→=a+2b,BC→=-5a+6b,CD→=7a-2b,则一定共线 的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解:BD→=BC→+CD→=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2AB→,所以 A,B,D 三 点共线.故选 A. (2)设两个非零向量 a 与 b 不共线,若 ka+b 和 a+kb 共线,则实数 k=________. 解:因为 ka+b 和 a+kb 共线,所以存在实数λ,使 ka+b=λ(a+kb),即 ka+b= λa+λkb.所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为 a,b 是两个不共线的非零向量,所以 k-λ= λk-1=0,所以 k2-1=0.所以 k=±1.故填±1. (3)如图,在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点.若AN→=λAB→+μAC→,则 λ+μ的值为( ) A.1 2 B.1 3 C.1 4 D.1 解:由 N 为 AM 的中点, 可得AN→=1 2 AM→=λAB→+μAC→, 整理得AM→=2λAB→+2μAC→,由 B,M,C 三点共线可得 2λ+2μ=1,即λ+μ=1 2 .故选 A. 1.准确理解向量的概念,请特别注意以下几点: (1)a∥b,有 a 与 b 方向相同或相反两种情形; (2)向量的模与数的绝对值有所不同,如|a|=|b|⇒/a=±b; (3)零向量的方向是任意的,并不是没有,零向量与任意向量平行; (4)对于任意非零向量 a, a |a| 是与 a 同向的单位向量,这也是求单位向量的方法; (5)向量平行,其所在直线不一定平行,两向量还可能在一条直线上; (6)只要不改变向量 a 的大小和方向,可以自由平移 a,平移后的向量与 a 相等,所以 线段共线与向量共线是有区别的,当两向量共线且有公共点时,才能得出线段共线,向量的 共线与向量的平行是一致的. 2.向量具有大小和方向两个要素,既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意 义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量,因此,在研究向量的有关问题时,一定要结 合图形进行分析、判断,这是研究平面向量最重要的方法与技巧. 3.向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接,指向终点”;减法法则可简记为“起 点重合,指向被减向量”;加法的平行四边形法则可简记 “起点重合,指向对角顶点”. 4.平面向量的三种线性运算的结果仍为向量,在三种线性运算中,加法是最基本、最 重要的运算,减法运算与数乘运算都以加法运算为基础,都可以归结为加法运算. 5.对于两个向量共线定理(a(a≠0)与 b 共线⇔存在唯一实数λ使得 b=λa)中条件 “a≠0”的理解: (1)当 a=0 时,a 与任一向量 b 都是共线的; (2)当 a=0 且 b≠0 时,b=λa 是不成立的,但 a 与 b 共线. 因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求 a≠0.换句话说,如果 不加条件“a≠0”,“a 与 b 共线”是“存在唯一实数λ使得 b=λa”的必要不充分条件. 1.设 a,b 都是非零向量,下列四个条件中,使 a |a| = b |b| 成立的充分条件是( ) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b 且|a|=|b| 解:由题意 a |a| = b |b| 表示与向量 a 和向量 b 同向的单位向量相等,故 a 与 b 同向共线.故 选 C. 2.已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 解:因为 c∥d,所以存在实数λ,使得 c=λd,即 ka+b=λ(a-b),所以 k=λ, 1=-λ, 解得 k=-1, λ=-1. 此时 c=-d.所以 c 与 d 反向.故选 D. 3.已知 O,A,M,B 为平面上四点,且OM→=λOB→+(1-λ)OA→,实数λ∈(1,2),则 ( ) A.点 M 在线段 AB 上 B.点 B 在线段 AM 上 C.点 A 在线段 BM 上 D.O,A,M,B 四点一定共线 解:由题意得OM→-OA→=λ(OB→-OA→),即AM→=λAB→.又λ∈(1,2),所以点 B 在线段 AM 上.故选 B. 4.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 的中点,且 2OA→+OB→+OC→=0,则( ) A.AO→=2OD→ B.AO→=OD→ C.AO→=3OD→ D.2AO→=OD→ 解:因为 D 为 BC 的中点,所以由 2OA→+OB→+OC→=0 得OB→+OC→=-2OA→=2AO→,即 2OD→=2AO→, 所以AO→=OD→.故选 B. 5.在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2 3,BC=2,点 E 在线段 CD 上, 若 AE→=AD→+μAB→,则μ的取值范围是( ) A. B. C. 0,1 2 D. 1 2 ,2 解:由题意可求得 AD=1,CD= 3, 所以AB→=2DC→. 因为点 E 在线段 CD 上, 所以DE→=λDC→(0≤λ≤1). 且AE→=AD→+DE→, 又AE→=AD→+μAB→=AD→+2μDC→,即DE→=2μDC→, 所以λ=2μ.因为 0≤λ≤1, 所以 0≤μ≤1 2 .故选 C. 6.如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB,AC 两边分别交于 M,N 两 点,且 AM→=xAB→,AN→=yAC→,x,y∈R,则 xy x+y 的值为( ) A.3 B.1 3 C.2 D.1 2 解法一:由点 G 是△ABC 的重心,知AG→=2 3 ×1 2 (AB→+AC→)=1 3 (AB→+AC→).又 M,N,G 三点 共线(A 不在直线 MN 上),于是存在λ,μ∈R,使得 AG→=λAM→+μAN→(且λ+μ=1),则 AG→=λxAB→+ μyAC→=1 3 (AB→+AC→),所以 λ+μ=1, λx=μy=1 3 , 于是得1 x +1 y =3,所以 xy x+y = 1 1 x +1 y =1 3 . 解法二:特殊化法,取 MN∥BC,易得 xy x+y =1 3 .故选 B. 7.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD→=1 2 AB→,BE→=2 3 BC→.若DE→=λ1AB→+λ2AC→(λ1, λ2 为实数),则λ1+λ2 的值为________. 解:DE→=BE→-BD→=2 3 BC→-1 2 BA→=2 3 (AC→- AB→)+1 2 AB→=-1 6 AB→+2 3 AC→, 因为DE→=λ1AB→+λ2AC→,所以λ1=-1 6 ,λ2=2 3 , 从而λ1+λ2=1 2 .故填1 2 . 8.已知|OA→|=1,|OB→|= 3,OA→·OB→=0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设OC→=mOA→ +nOB→(m,n∈R+),则m n =________. 解:如图, 设 mOA→=OF→,nOB→=OE→,则OC→=OF→+OE→,因为∠AOC=30°, 所以|OC→|cos30°=|OF→|=m|OA→|=m, |OC→|sin30°=|OE→|=n|OB→|= 3n,两式相 除得 m 3n = |OC→|cos30° |OC→|sin30° = 1 tan30° = 3,所以m n =3.另外此题也可用坐标求解.故填 3. 9.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M,N 分别是 DC 和 AB 的中点, 若AB→=a,AD→=b,试用 a,b 表示BC→和MN→. 解:BC→=BA→+AD→+DC→=-a+b+1 2 a=b-1 2 a. MN→=MD→+DA→+AN→=-1 4 a+(-b)+1 2 a=1 4 a-b. 10.设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. (1)如果AB→=e1-e2,BC→=3e1+2e2,CD→= -8e1-2e2,求证:A,C,D 三点共线; (2)如果AB→=e1+e2,BC→=2e1-3e2,CD→= 2e1-ke2,且 A,C,D 三点共线,求 k 的值. 解:(1)证明:因为AB→=e1-e2,BC→=3e1+2e2,CD→=-8e1-2e2,所以AC→=AB→+BC→=4e1 +e2= -1 2 (-8e1-2e2)=-1 2 CD→, 所以AC→与CD→共线. 又因为AC→与CD→有公共点 C,所以 A,C,D 三点共线. (2)AC→=AB→+BC→=(e1+e2)+(2e1-3e2)= 3e1-2e2, 因为 A,C,D 三点共线, 所以AC→与CD→共线,从而存在实数λ使得AC→=λCD→, 即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2), 得 3=2λ, -2=-λk, 解得λ=3 2 ,k=4 3 .故 k 的值为4 3 . 11.如图所示,在△ABO 中,OC→=1 4 OA→,OD→=1 2 OB→,AD 与 BC 相交于点 M,设OA→=a,OB→= b.试用 a 和 b 表示向量OM→. 解:因为 A,M,D 三点共线, 所以OM→=λ1OD→+(1-λ1)OA→ =1 2 λ1b+(1-λ1)a,① 因为 C,M,B 三点共线, 所以OM→=λ2OB→+(1-λ2)OC→=λ2b+1-λ2 4 a,② 由①②可得 1 2 λ1=λ2, 1-λ1=1-λ2 4 , 解得 λ1=6 7 , λ2=3 7 . 故OM→=1 7 a+3 7 b. 设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3 → =λA1A2 → (λ∈R), A1A4 → =μA1A2 → (μ∈R),且 1 λ + 1 μ =2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知平面上的点 C,D 调和 分割点 A,B,则下面说法正确的是( ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解:若 C,D 调和分割点 A,B,则AC→=λAB→(λ∈R),AD→=μAB→(μ∈R),且 1 λ + 1 μ =2. 对于选项 A,若 C 是线段 AB 的中点,则AC→=1 2 AB→⇒λ=1 2 ⇒ 1 μ =0,故 A 选项错误;同理 B 选 项错误;对于选项 C,若 C,D 同时在线段 AB 上,则 0<λ<1,0<μ<1⇒ 1 λ + 1 μ >2,C 选项错误;对于选项 D,若 C,D 同时在线段 AB 的延长线上,则λ>1,μ>1⇒ 1 λ + 1 μ <2, 故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上,D 选项正确.故选 D. 5.2 平面向量的基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数λ1,λ2,使_________________________. 我们把不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组__________. 2.向量的夹角 (1)已知两个________向量 a 和 b,作OA→=a,OB→=b,则∠AOB=θ叫做向量 a 与 b 的夹 角(如图). (2)向量夹角θ的范围是_______________.a 与 b 同向时,夹角θ=________;a 与 b 反向时,夹角θ=____________. (3)如果向量 a 与 b 的夹角是____________,我们就说 a 与 b 垂直,记作____________. 3.平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个____________的向量,叫做向量的正交分解. (2)在平面直角坐标系内,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底.任 作一个向量 a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x,y,使得 a=xi+yj.则实数 对__________叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a=__________,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐 标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,该式叫做向量的坐标表示.与 a 相等的向量的坐标也为 ________.显然,i=_____________, j=_____________,0=_____________. 4.平面向量的坐标运算 (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a±b=__________________________. (2)如果 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=_________________________. (3)若 a=(x,y),则λa=____________. (4)如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则 a∥b 的充要条件是____________________. 自查自纠: 1.a=λ1e1+λ2e2 基底 2.(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a⊥b 3.(1)互相垂直 (2)(x,y) (x,y) (x,y) (1,0) (0,1) (0,0) 4.(1)(x1±x2,y1±y2) (2)(x2-x1,y2-y1) (3)(λx,λy) (4)x1y2-x2y1=0 (2015·全国Ⅰ)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC→=(-4,-3),则向量BC→=( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解:AB→=(3,1),BC→=AC→-AB→=(-4, -3)-(3,1)=(-7,-4).故选 A. 在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)线性表示出来的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解:一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的一组基底,它能表示出平面内 的其他向量.A 中,e1=0,且 e2 与 a 不共线;C,D 中的两个向量都是共线向量且不与 a 共 线,故表示不出 a.B 中的两个向量不共线,可以作为平面的一组基底,故可以表示出 a.故 选 B. 已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实数 m 等于( ) A.- 2 B. 2 C.- 2或 2 D.0 解:由 a∥b 知 1×2-m2=0,所以 m=± 2.故选 C. (2015·江苏)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n∈R), 则 m-n 的值为________. 解:因为 ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9, -8),所以 2m+n=9, m-2n=-8, 解得 m=2, n=5, 故 m-n=-3.故填-3. 已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限内,且∠AOC=135°, 设 OC→=-OA→+λOB→(λ∈R),则λ的值为________. 解:由∠AOC=135°知,点 C 在射线 y= -x(x<0)上,设点 C 的坐标为(a,-a), a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得 a=-1+λ, -a=λ, 消掉 a 得λ=1 2 .故填1 2 . 类型一 向量共线充要条件的坐标表示 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k 的值; (3)若 n≠0,且 ma+nb 与 a-2b 共线,求m n 的值. 解:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 所以 -m+4n=3, 2m+n=2, 解得 m=5 9 , n=8 9 . (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得 k=-16 13 . (3)ma+nb=(3m-n,2m+2n), a-2b=(5,-2), 由题意得-2(3m-n)-5(2m+2n)=0, 解得m n =-1 2 . 点拨: 解决此类题目,我们只需要牢记:(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若 a =(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y2- x2y1=0;②a∥b(a≠0),当 且仅当唯一一个实数λ,使 b=λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可 以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. (1)已知向量 a= 8,1 2 x ,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则 x 的值为________. 解:a-2b= 8-2x,1 2 x-2 ,2a+b=(16+x,x+1), 因为(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0, 所以存在唯一的实数λ使得 8-2x,1 2 x-2 =λ(16+x,x+1), 所以 8-2x=λ(16+x), 1 2 x-2=λ(x+1), 解得 x=4(x>0).故填 4. (2)已知向量OA→=(1,-3),OB→=(2,-1),OC→=(k+1,k-2),若 A,B,C 三点不能 构成三角形,则实数 k=________. 解:若点 A,B,C 不能构成三角形,则向量AB→,AC→共线.AB→=OB→-OA→=(2,-1)-(1, -3)=(1,2),AC→=OC→-OA→=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1).因为AB→∥AC→,AC→≠0, 所以 1×(k+1)- 2k=0,解得 k=1.故填 1. 类型二 平面向量基本定理及其应用 在ABCD 中,AB=8,BC=6,AE→= 1 3 EB→,BF→+2CF→=0,设AB→=a,AD→=b. (1)设DB→=λDE→+μDF→(λ,μ∈R),求λ+μ的值; (2)设 AF 与 DE 交于点 G,用 a,b 表示AG→. 解:(1)因为AE→=1 3 EB→,AB→=AE→+EB→=a, 所以AE→=1 4 a,所以DE→=AE→-AD→=1 4 a-b. 因为BF→+2CF→=0,BC→=AD→=b, 所以CF→=-1 3 b, 所以DF→=DC→+CF→=a-1 3 b, DB→=DC→+DA→=a-b. 因为DB→=λDE→+μDF→=λ 1 4 a-b +μ a-1 3 b = 1 4 λ+μ a- λ+1 3 μ b, 即 a-b= 1 4 λ+μ a- λ+1 3 μ b. 由于 a,b 为不共线的非零向量,因此由平面向量基本定理知 1 4 λ+μ=1, λ+1 3 μ=1, 所以 λ= 8 11 , μ= 9 11 , 则λ+μ=17 11 . (2)设DG→=mDE→,AG→=nAF→,m,n∈R,则 DG→=m 1 4 a-b =1 4 ma-mb,AG→=n(AD→+DF→)= n(b +a-1 3 b)=na+2n 3 b,由于AG→=AD→+DG→=b+ 1 4 ma-mb=1 4 ma+(1-m)b,即 na+2n 3 b=1 4 ma+ (1-m)b. 由于 a,b 为不共线的非零向量,因此由平面向量基本定理知 n=1 4 m, 2n 3 =1-m, 所以 m=6 7 , n= 3 14 . 则AG→=1 4 ×6 7 a+ 1-6 7 b= 3 14 a+1 7 b. 点拨: 应用平面向量基本定理的关键点:(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的 向量.(2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用 这一组基底表示出来.(3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借 助图形的几何性质,如平行、相似等.提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给 解题带来方便. (1)在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB→=a,CA→=b,|a|=1, |b|=2,则CD→=( ) A.1 3 a+2 3 b B.2 3 a+1 3 b C.3 5 a+4 5 b D.4 5 a+3 5 b 解法一:因为 CD 平分∠ACB,由角平分线定理,得AD DB =AC BC =|b| |a| =2,所以AD→=2DB→=2 3 AB→. 所以CD→=CA→+AD→=CA→+2 3 AB→=CA→+2 3 (CB→-CA→)=2 3 CB→+1 3 CA→=2 3 a+1 3 b. 解法二:(特殊值法)构造直角三角形,令 CB=1,CA=2,AB= 3,则∠DCB=30°, 所以 BD= 3 3 .故BD→=1 3 BA→,CD→=CB→+BD→=a+1 3 (b- a)=2 3 a+1 3 b.故选 B. (2)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ μ =________. 解:设 i,j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量,则 a=-i+j,b=6i+2j,c= -i-3j,所以-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j),即-i-3j=(-λ+6μ)i+(λ+ 2μ)j,根据平面向量基本定理得 -1=-λ+6μ, -3=λ+2μ, 解得 λ=-2, μ=-1 2 . 所以λ μ =4.故填 4. 类型三 求向量的坐标 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四 个顶点的坐标. 解:如图所示,令 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),D(x,y). (1)若四边形 ABCD1 为平行四边形, 则AD1 →=BC→, 且AD1 →=(x+1,y),BC→=(-2,-5). 所以 x+1=-2, y=-5, 解得 x=-3, y=-5. 所以 D1(-3,-5). (2)若四边形 ACD2B 为平行四边形,则AB→=CD2 →,且AB→=(4,0),CD2 →=(x-1,y+5). 所以 x-1=4, y+5=0, 解得 x=5, y=-5. 所以 D2(5,-5). (3)若四边形 ACBD3 为平行四边形, 则AD3 →=CB→, 且AD3 →=(x+1,y),CB→=(2,5), 所以 x+1=2, y=5, 解得 x=1, y=5. 所以 D3(1,5). 综上所述,平行四边形第四个顶点的坐标为 (-3,-5)或(5,-5)或(1,5). 点拨: 平面向量坐标运算的技巧:(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上, 若已知有向线段两端点的坐标,则应考虑坐标运算.(2)解题过程中,常利用“向量相等, 则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)进行求解. 已知 A,B,C 三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且AE→=1 3 AC→, BF→=1 3 BC→. (1)求 E,F 的坐标; (2)求证:EF→∥AB→. 解:(1)设 E,F 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则依题意得AC→=(2,2),BC→=(- 2,3),AB→=(4,-1). 所以AE→=1 3 AC→= 2 3 ,2 3 ,BF→=1 3 BC→= -2 3 ,1 . 因为AE→=(x1,y1)-(-1,0)=(x1+1,y1), BF→=(x2,y2)-(3,-1)=(x2-3,y2+1). 所以 x1+1=2 3 , y1=2 3 , 解得 x1=-1 3 , y1=2 3 . x2-3=-2 3 , y2+1=1, 解得 x2=7 3 , y2=0. 所以 E 的坐标为 -1 3 ,2 3 ,F 的坐标为 7 3 ,0 . (2)证明:由(1)知 E -1 3 ,2 3 ,F 7 3 ,0 , 所以EF→= 8 3 ,-2 3 ,且AB→=(4,-1), 又 4× -2 3 -(-1)×8 3 =0,所以EF→∥AB→. 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据, 也是向量坐标表示的基础. (2)平面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R, e1,e2 为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸. (4)如果 e1,e2 是同一平面内的一组基底,且 λ1e1+λ2e2=0(λ1,λ2∈R),那么λ1 =λ2=0. 2.对两向量夹角的理解 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角.若起点 不同,则应通过平移,使其起点相同. 3.向量的坐标表示 向量用坐标表示后,向量的计算和证明都归结为数的运算,这使问题大大简化.一个向 量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标,当且仅当向量的起点为原 点时,向量的坐标才等于其终点的坐标.两个向量相等,当且仅当其坐标相同. 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A.a=(1,2),b=(0,0) B.a=(1,-2),b=(3,5) C.a=(3,2),b=(9,6) D.a= -3 4 ,1 2 , b=(3,-2) 解:在平面内,根据向量基底的定义知,两个向量不共线即可作为基底.故选 B. 2.已知平面向量 a=(2m+1,3),b=(2,m),且 a 与 b 反向,则|b|等于( ) A.10 2 7 B.2 2 C.5 2 D.5 2 或 2 2 解:根据题意 a∥b 知 m(2m+1)-3×2=0,解得 m=-2 或 m=3 2 .当 m=3 2 时,a=(4, 3),b= 2,3 2 ,则 a=2b,此时两向量同向,与已知不符,故 m=-2,此时 b=(2,-2), 故|b|=2 2.故选 B. 3.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,向量 a,b 如图,则向量 a-b 可表示为( ) A.3e2-e1 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 解:由图易知 a-b=-3e2+e1=e1-3e2.故选 C. 4.(2015·江西检测)已知向量 a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a +b)”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解:由题意得 a+b=(2,2+m).由 m=-6 得 a+b=(2,-4)=-1 2 a,所以 a∥(a+ b);由 a∥ (a+b)得-1×(2+m)=2×2,所以 m=-6.故 “m=-6”是“a∥(a+b)”的 充要条件.故选 A. 5.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相 接能构成三角形,则向量 c 为( ) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) 解:由题知 4a=(4,-12),3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由 4a+(3b -2a)+ c=0,知 c=(4,-6).故选 D. 6.如图,设向量OA→=(3,1),OB→=(1,3),若OC→=λOA→+μOB→,且λ≥μ≥1,则用阴 影表示 C 点所有可能的位置区域正确的是( ) 解:设OC→=(x,y),则由OC→=λOA→+μOB→得(x,y)=λ(3,1)+μ(1,3),即 x=3λ+μ, y=λ+3μ, 可得 λ=3x-y 8 , μ=3y-x 8 . 因为λ≥μ≥1,所以 3x-y 8 ≥3y-x 8 , 3y-x 8 ≥1, 化简得 x-y≥0, x-3y+8≤0. 作出可行域 知选项 D 正确.故选 D. 7.(2015·全国)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数λ= ________. 解:由于λa+b 与 a+2b 平行,且 a+2b≠0,所以存在唯一的实数μ∈R,使得λa+b =μ(a+2b),即(λ-μ)a+(1-2μ)b=0.因为 a,b 不平行,所以 λ-μ=0, 1-2μ=0, 解得λ =μ=1 2 .故填1 2 . 8.设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 a○×b=(a1b1,a2b2),已知向量 m = 2,1 2 ,n= π 3 ,0 ,点 P(x,y)在 y=sinx 的图象上运动.Q 是函数 y=f(x)图象上的点, 且满足OQ→=m○×OP→+n(其中 O 为坐标原点),则函数 y=f(x)的值域是________. 解 : 设 Q(c , d) , 由 新 的 运 算 可 得 OQ→ = m ○× OP→ + n = 2x,1 2 sinx + π 3 ,0 = 2x+π 3 ,1 2 sinx , 所以 c=2x+π 3 , d=1 2 sinx, 消去 x 得 d=1 2 sin 1 2 c-π 6 . 所以 y=f(x)=1 2 sin 1 2 x-π 6 ,易知 y=f(x)的值域是 -1 2 ,1 2 .故填 -1 2 ,1 2 . 9.已知向量 a=(1,0),b=(2,1). (1)当实数 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线? (2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb 且 A,B,C 三点共线,求实数 m 的值. 解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为 ka-b 与 a+2b 共线, 所以 2(k-2)-(-1)×5=0, 即 2k-4+5=0,得 k=-1 2 . (2)解法一:因为 A,B,C 三点共线, 所以存在实数λ使得AB→=λBC→, 即 2a+3b=λ(a+mb), 所以 2=λ, 3=mλ, 解得 m=3 2 . 解法二:AB→=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), BC→=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). 因为 A,B,C 三点共线, 所以AB→∥BC→,又BC→≠0,所以 8m-3(2m+1)=0, 即 2m-3=0,得 m=3 2 . 10.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及 OP→=OA→+tAB→,试问: (1)当 t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第三象限内? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出 t 的值;若不能,请说明理由. 解:(1)依题意,得AB→=(3,3), 所以OP→=OA→+tAB→=(1+3t,2+3t), 即 P(1+3t,2+3t). 若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,所以 t=-2 3 ; 若 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,所以 t=-1 3 ; 若 P 在第三象限内,则 1+3t<0, 2+3t<0, 所以 t<-2 3 . (2)因为OA→=(1,2),PB→=(3-3t,3-3t), 若 OABP 是平行四边形,则OA→=PB→, 所以 3-3t=1, 3-3t=2. 此方程无解. 故四边形 OABP 不可能成为平行四边形. 11.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 AP∶PM 的值. 解:设BM→=e1,CN→=e2,则AM→=AC→+CM→= -3e2-e1,BN→=BC→+CN→=2e1+e2. 因为 A,P,M 和 B,P,N 分别共线, 所以存在λ,μ∈R,使AP→=λAM→=-λe1-3λe2, BP→=μBN→=2μe1+μe2. 故BA→=BP→-AP→=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2, 而BA→=BC→+CA→=2e1+3e2, 所以由平面向量基本定理得 λ+2μ=2, 3λ+μ=3, 所以 λ=4 5 , μ=3 5 . 所以AP→=4 5 AM→,即 AP∶PM=4∶1. 如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外的一点 D,若OC→=mOA→+nOB→,则 m+n 的取值范围是________. 解:由题意得,OC→=kOD→(k<0),又|k|= |OC→| |OD→| <1,所以-1查看更多
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