【数学】河南省周口市中英文学校2019-2020学年高二下学期第一次月考(理)

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【数学】河南省周口市中英文学校2019-2020学年高二下学期第一次月考(理)

河南省周口市中英文学校2019-2020学年 高二下学期第一次月考(理)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分;每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是( )‎ A.1 B.-1‎ C.±1 D.以上都不对 ‎2.要证明+<2可选择的方法有以下几种,其中最合理的是(  )‎ A.综合法 B.分析法 C.类比法 D.归纳法3. 函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13.若f(1)=2,则f(99)等于( )‎ A.13 B. ‎2 ‎ C. D. ‎4.曲线在点处的切线方程是 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5. 演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=是对数函数,所以y=是增函数”所得结论错误的原因是(  )‎ A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误 ‎6. 已知函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上既有极大值,也有极小值,则实数a 的取值范围为(  )‎ A.a> B.a≥ C.a<且a≠0 D.a≤且a≠0‎ ‎ ‎ ‎7.观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,则可归纳出一般式子为(  )‎ A.1+++…+< (n≥2)‎ B.1+++…+< (n≥2)‎ C.1+++…+< (n≥2)‎ D.1+++…+< (n≥2)‎ ‎8.观察,由归纳推理可得.若定义在上的函数满足,记为的导函数,则等于(  )‎ ‎ A . B . C . D . ‎ ‎9.函数的导数为(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是(  )‎ A. (2,3) B. (3,+∞)‎ C. (2,+∞) D. (-∞,3)‎ ‎11. 在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第四象限 C.第三象限 D.第二象限 ‎12.函数在区间上的值域是(  )‎ ‎ A . B. C . D. ‎ ‎ ‎ 二.填空题: 本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.观察数列、3、、、3,…,写出该数列的一个通项公式an=______________. ‎ ‎14.函数y=xex+1的单调减区间为________.‎ ‎15.如果f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则+++…+++ ‎=_______.‎ ‎16. 如图1是的导函数的图像,现有四种说法.‎ ‎(1)在上是增函数(2) 是的极小值点 ‎(3) 在上是增函数(4)x=2是的极小值点 以上说法正确的序号是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2 4‎ ‎ 0 1 3 ‎ ‎ ‎ ‎ 图1‎ 三.解答题:(本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分).已知∈R,复数,当为何值时,‎ ‎(1)∈R; (2)是虚数 ‎18.(本小题满分12分)设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程.‎ ‎19. (本小题满分12分)已知复数z1=2-3i,z2=.‎ 求:(1)z1+2;(2)z1·z2;(3).‎ ‎20. (本小题满分12分)在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形.‎ ‎21. (本小题满分12分) 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)=x2+ln x.‎ ‎(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;‎ ‎(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方.‎ 参考答案 一.选择题:‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10 ‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C A A C C D A B ‎ D A 二.填空题:‎ ‎13. 14 . (-∞,-1) 15. 2010 16. (2),(3) ‎ 三.解答题:‎ ‎17.解(1)须满足解之得:=-3.‎ ‎(2)须满足2+2-3≠0且-1≠0,解之得:≠1且≠-3.‎ ‎18.解  (1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+‎6a.‎ ‎∵f(x)在x=3处取得极值,‎ ‎∴f′(3)=6×9-6(a+1)×3+‎6a=0,‎ 解得a=3.‎ ‎∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.‎ ‎(2)A点在f(x)上,‎ 由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,‎ f′(1)=6-24+18=0,‎ ‎∴切线方程为y=16.‎ ‎19. 解 z2=== ‎==1-3i.‎ ‎(1)z1+2=(2-3i)+(1+3i)=3.‎ ‎(2)z1·z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i.‎ ‎(3)== ‎==+i.‎ ‎20证明:由A、B、C成等差数列,有2B=A+C. ①‎ 因为A、B、C为△ABC的内角,‎ 所以A+B+C=π. ②‎ 由①②得,B=. ③‎ 由a、b、c成等比数列,有b2=ac. ④‎ 由余弦定理及③可得,‎ b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.‎ 再由④得,a2+c2-ac=ac.‎ 即(a-c)2=0,因此a=c.‎ 从而有A=C. ⑤‎ 由②③⑤得,A=B=C=. ‎ 所以△ABC为等边三角形 ‎ ‎21.f′(x)=3ax2-b.‎ ‎(1)由题意得,‎ 解得,‎ 故所求函数的解析式为f(x)=x3-4x+4.‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),‎ 令f′(x)=0,得x=2或x=-2.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎   ‎-  因此,当x=-2时,f(x)有极大值,‎ 当x=2时,f(x)有极小值-,‎ 所以函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如右图所示.‎ 若f(x)=k有3个不同的根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-1时,f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)在[1,e]上是增函数,‎ ‎∴f(x)的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.‎ ‎(2)证明 令F(x)=f(x)-g(x)‎ ‎=x2-x3+ln x,‎ ‎∴F′(x)=x-2x2+= ‎==.‎ ‎∵x>1,∴F′(x)<0,‎ ‎∴F(x)在(1,+∞)上是减函数,‎ ‎∴F(x)
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