专题21+分类与整合思想、化归与转化思想（仿真押题）-2019年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1.等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值是( )
A.1 B.－
C.1或－ D.－1或
解析 当公比q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求.当q≠1时，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去).综上可知，q＝1或－.
答案 C
2.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知函数f(x)＝ln x－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈(0，2)，任意的x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围是( )
A. B.(1，＋∞)
C. D.
解析 依题意，问题等价于f(x1)min≥g(x2)max，
f(x)＝ln x－x＋－1，
所以f′(x)＝－－＝.
由f′(x)＞0，解得1＜x＜3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理得f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数f(x)的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f(x1)min＝f(1)＝－.
函数g(x2)＝－x＋2bx2－4，x2∈[1，2].
当b＜1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；
当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；
当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.
故问题等价于
或或
解第一个不等式组得b＜1，
解第二个不等式组得1≤b≤，
第三个不等式组无解.
综上所述，b的取值范围是.故选A.
答案 A
4．定义函数y＝f(x)，x∈D，若存在常数c，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)＝lg x，x∈[10，100]，则函数f(x)＝lg x在[10，100]上的均值为( )
A. B. C. D．10
【答案】A 【解析】由题意可知x1x2＝1000，所以x2＝∈[10，100]，所以函数f(x)＝lg x在[10，100]上的均值为＝＝＝.
5．已知g(x)＝ax＋a，f(x)＝对∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立，则a的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，1]
C．(0，1] D．(－∞，1]
【答案】B 【解析】对∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使g(x1)＝f(x2)成立等价于当x∈[－2，2]时，函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．易知当x∈[－2，2]时，函数f(x)的值域为[－3，3]．
当a>0时，函数g(x)在[－2，2]上的值域为[－a，3a]，由[－a，3a]⊆[－3，3]，得－a≥－3且3a≤3，得a≤1，此时0
2π，对于C，D两个选项的图像，选项D中图像的最小正周期小于2π，故f(x)的图像不可能是选项D中的图像．
9.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A.a1a8>a4a5 B.a1a8a4＋a5 D.a1a8＝a4a5
答案 B
解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a1a80，函数单调递增，所以当x＝时，y＝xln x有最小值－，即－<－m<0，即0f(－2)的解集为( )
A.[－，－1] B.[－，]
C.[－，－1)∪(1，] D.(－，－1)∪(1，)
答案 C
17.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
答案 －
解析 当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解.当0|PF2|，则的值为________.
答案 或2
解析 若∠PF2F1＝90°，
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
所以|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.
若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，且|PF1|>|PF2|，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
综上知，＝或2.
19.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
答案 4 2
解析 设a，b的夹角为θ，
∵|a|＝1，|b|＝2，
∴|a＋b|＋|a－b|＝＋＝＋.
令y＝＋，
则y2＝10＋2.
∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，
∴y2∈[16，20]，
∴y∈[4，2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4，2].
∴|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
20.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，则椭圆C离心率的取值范围是______________.
答案
解析 当点P在短轴端点时，∠F1PF2达到最大值，
即∠F1BF2≥120°时，椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，
当∠F1BF2＝120°时，e＝＝sin 60°＝，
而椭圆越扁，∠F1BF2才可能越大，
椭圆越扁，则其离心率越接近1，
所以椭圆C离心率的取值范围是.
21．已知α为钝角，且cos(＋α)＝－，则sin 2α＝________．
【答案】－
【解析】cos(＋α)＝－，即sin α＝，又α为钝角，∴cos α＝－，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－.
22．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥外接球的表面积等于________cm2.
【答案】14π
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥A BCD.把该三棱锥补成长方体，可得外接球的直径2r＝，故外接球的表面积为14π.
23．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．
【答案】
【解析】方法一：令y＝tx，则t>0，代入不等式得x2＋2tx2≤a(x2＋t2x2)，消掉x2得1＋2t≤a(1＋t2)，即at2－2t＋a－1≥0对任意t>0恒成立，显然a>0，故只要Δ＝4－4a(a－1)≤0，即a2－a－1≥0，又a>0，所以
a≥.
方法二：令y＝tx(t>0)，则a≥＝对任意的t>0恒成立．令m＝1＋2t>1，则t＝，
则a≥＝＝＝.
又≤＝(当且仅当m＝时，等号成立)，所以a≥.
24．如图所示，已知△ABC是等腰直角三角形，CA＝1，点P是△ABC内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分)．当点P在△ABC内运动时，以P为顶点的三个三角形面积和取最小值时，以CP为半径的球的表面积为________．
【答案】
【解析】如图所示，以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)．
设过点P且平行于直线AB的直线GE的方程为x＋y＝a(00)．
(1)若对任意x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合；
(2)证明：(1＋)na时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)，
所以f(x)min＝f(a)＝a－1－aln a．由题意得f(x)min≥0，即a－1－aln a≥0.
令g(a)＝a－1－aln a，可得g′(a)＝－ln a，因此g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(a)max＝g(1)＝0，故当a－1－aln a≥0时，a＝1，
故实数a的取值集合为{1}．
(2)证明：要证明(1＋)nf(1)＝0，即ln x0，所以φ(x)在(1，2]上单调递增，因此φ(x)>φ(1)＝0，即ln x＋－1>0.综上可知原不等式成立．
29.数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0.
(1)求数列的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
解 (1)an＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，
所以{an＋1－an}为常数列，
所以{an}是以a1为首项的等差数列，
设an＝a1＋(n－1)d，a4＝a1＋3d，
所以d＝＝－2，所以an＝10－2n.
(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n＞5时，an＜0；当n＝5时，an＝0；当n＜5时，an＞0.
所以当n＞5时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝n2－9n＋40，
Tn＝a1＋a2＋…＋an，
当n≤5时，
Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.
所以Sn＝
30.已知函数g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x).
(1)若函数g(x)过点(1，1)，求函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程；
(2)判断函数f(x)的单调性.
解 (1)因为函数g(x)过点(1，1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y＝3x.
(2)因为f(x)＝ln(x＋1)＋(x＞－1)，
所以f′(x)＝＋＝.
①当a≥0时，因为x＞－1，所以f′(x)＞0，
故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
②当a＜0时，由得－1＜x＜－1－a，
故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；
由得x＞－1－a，
故f(x)在(－1－a，＋∞)上单调递增.
综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，
在(－1－a，＋∞)上单调递增.
31.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与点F构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点(1，0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点E(m，0)，使·恒为定值？若存在，求出E的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F(，0)，
所以c＝＝.
因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形，
所以b＝×＝1.
可求得a＝2，故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在满足条件的点E，当直线l的斜率存在时设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1).
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则＝(m－x1，－y1)，＝(m－x2，－y2)，
所以·＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2
＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)
＝m2－＋＋k2
＝
＝
＝(4m2－8m＋1)＋.
要使·为定值，令2m－＝0，
即m＝，此时·＝.
当直线l的斜率不存在时，
不妨取P，Q，
由E，可得＝，＝，
所以·＝－＝.
综上，存在点E，使·为定值.
