2019届二轮复习解三角形的实际应用课件（51张）（全国通用）

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§4.7 　解三角形的实际应用 第四章　三角函数、解三角形 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 测量中的有关几个术语 知识梳理 ZHISHISHULI 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角 . 方位角 θ 的范围是 0° ≤ θ <360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北 ( 南 ) 偏 东 ( 西 ) α 例 ： (1) 北偏东 α ： ( 2) 南偏西 α ： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度， θ 为坡角；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比，即 i ＝ ＝ tan θ 在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？ 提示　 实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形 ( 建模 ) ，利用正弦定理、余弦定理解决问题 . 【 概念方法微思考 】 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 从 A 处望 B 处的仰角为 α ，从 B 处望 A 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系为 α ＋ β ＝ 180°.( 　　 ) (2) 俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围 为 ( 　　 ) (3) 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系 .( 　　 ) (4) 方位角大小的范围是 [0,2π) ，方向角大小的范围一般 是 ( 　　 ) × × √ √ 基础自测 JICHUZICE 1 2 3 4 5 6 题组二　教材改编 2 . 如 图所示，设 A ， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C ，测出 A ， C 的距离为 50 m ， ∠ ACB ＝ 45° ， ∠ CAB ＝ 105° 后，就可以计算出 A ， B 两点的距离为 ________ m. 1 2 3 4 5 6 又 B ＝ 30° ， 3 . 如 图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30° ，沿倾斜角为 15° 的斜坡 向 上 走 a 米到 B ，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60° ，则山高 h ＝ _____ 米 . 解析　 由题图可得 ∠ PAQ ＝ α ＝ 30° ， ∠ BAQ ＝ β ＝ 15° ，在 △ PAB 中， ∠ PAB ＝ α － β ＝ 15° ， 又 ∠ PBC ＝ γ ＝ 60° ， 1 2 3 4 5 6 题组三　易错自纠 4. 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° ，在 D 点测得塔顶 A 的仰角 30° ，并测得水平面上的 ∠ BCD ＝ 120° ， CD ＝ 40 m ，则电视塔的高度为 在 △ BCD 中，由余弦定理得 3 x 2 ＝ x 2 ＋ 40 2 － 2 × 40 x × cos 120° ， 即 x 2 － 20 x － 800 ＝ 0 ，解得 x ＝－ 20( 舍去 ) 或 x ＝ 40 . 故 电视塔的高度为 40 m. √ 1 2 3 4 5 6 5. 在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60° ， C 点的俯角是 70° ，则 ∠ BAC ＝ ________. 130° 解析 　 60° ＋ 70° ＝ 130°. 1 2 3 4 5 6 6. 海上有 A ， B ， C 三个小岛， A ， B 相距 海里 ，从 A 岛望 C 和 B 成 45° 视角，从 B 岛望 C 和 A 成 75° 视角，则 B ， C 两岛间的距离是 ________ 海里 . 1 2 3 4 5 6 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　测量距离问题 1.(2018· 长春检测 ) 江岸边有一炮台高 30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ，而且两条船与炮台底部连线成 30° 角，则两条船相距 _ __ ___ m. 解析　 如图， OM ＝ AO tan 45° ＝ 30(m) ， 自主演练 解析　 ∵∠ ADC ＝ ∠ ADB ＋ ∠ CDB ＝ 60° ， ∠ ACD ＝ 60° ， ∴∠ DAC ＝ 60° ， 在 △ BCD 中， ∠ DBC ＝ 45° ， 解析　 由已知，得 ∠ QAB ＝ ∠ PAB － ∠ PAQ ＝ 30°. 又 ∠ PBA ＝ ∠ PBQ ＝ 60° ， ∴∠ AQB ＝ 30° ， ∴ AB ＝ BQ . 又 PB 为公共边， ∴ △ PAB ≌ △ PQB ， ∴ PQ ＝ PA . 在 Rt △ PAB 中， AP ＝ AB ·tan 60° ＝ 900 ，故 PQ ＝ 900 ， ∴ P ， Q 两点间的距离为 900 m. 3. 如图，为了测量两座山峰上 P ， Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 300 m 且和 P ， Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测得 ∠ PAB ＝ 90° ， ∠ PAQ ＝ ∠ PBA ＝ ∠ PBQ ＝ 60° ，则 P ， Q 两点间的距离为 ________ m. 900 求距离问题的两个策略 (1) 选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 . (2) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 . 思维升华 例 1 　 (2018· 福州测试 ) 如图，小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在 A 处测得公路上 B ， C 两点的俯角分别为 30° ， 45° ，且 ∠ BAC ＝ 135° ，若山高 AD ＝ 100 m ，汽车从 B 点到 C 点历时 14 s ，则这辆汽车的速度约为 ______ m/s.( 精确到 0.1 ，参考数据 ： 题型二　测量高度问题 师生共研 22.6 解析　 因为小明在 A 处测得公路上 B ， C 两点的俯角分别为 30° ， 45° ， 所以 ∠ BAD ＝ 60° ， ∠ CAD ＝ 45° ，设这辆汽车的速度为 v m/s ， 在 △ ABC 中，由余弦定理，得 BC 2 ＝ AC 2 ＋ AB 2 － 2 AC · AB ·cos ∠ BAC ， (1) 高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度 ( 某线段的长度 ) 纳入到一个可解的三角形中 . (2) 在实际问题中，可能会遇到空间与平面 ( 地面 ) 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错 . 思维升华 跟踪训练 1 　 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α ，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β . 已知铁塔 BC 部分 的 高为 h ，则山高 CD ＝ ____________. 解析　 由已知得 ∠ BCA ＝ 90° ＋ β ， ∠ ABC ＝ 90° － α ， ∠ BAC ＝ α － β ， ∠ CAD ＝ β . 题型三　角度问题 例 2 　 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15°( ∠ BAC ＝ 15°) 的方向，匀速向北航行 20 分钟后到达 B 处，测得山顶 P 位于北偏东 60° 的方向，此时测得山顶 P 的仰角为 60° ，已知山 高为 千米 . (1) 船的航行速度是每小时多少千米 ？ 师生共研 (2) 若该船继续航行 10 分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处南偏东多少度的方向？ 所以，山顶位于 D 处南偏东 45° 的方向 . 解决测量角度问题的注意事项 (1) 首先应明确方位角和方向角的含义 . (2) 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 . (3) 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的 “ 联袂 ” 使用 . 思维升华 跟踪训练 2 　 如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° 的方向上，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° 的方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ______ _ ____ 的方向上 . 北偏西 10° 解析　 由已知得 ∠ ACB ＝ 180° － 40° － 60° ＝ 80° ， 又 AC ＝ BC ， ∴∠ A ＝ ∠ ABC ＝ 50° ， 60° － 50° ＝ 10° ， ∴ 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10° 的方向上 . 3 课时作业 PART THREE 1.(2018· 武汉调研 ) 已知 A ， B 两地间的距离为 10 km ， B ， C 两地间的距离为 20 km ，现测得 ∠ ABC ＝ 120° ，则 A ， C 两地间的距离为 解析　 如图所示，由余弦定理可得 AC 2 ＝ 100 ＋ 400 － 2 × 10 × 20 × cos 120° ＝ 700 ， √ 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 如图所示，在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ，向山顶前进 100 m 到达 B 处，又测得 C 对于山坡的斜度为 45° ，若 CD ＝ 50 m ，山坡对于地平面的坡度为 θ ，则 cos θ 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3. 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70° ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65° ，那么 B ， C 两点间的距离是 解析　 如图所示，易知， 在 △ ABC 中， AB ＝ 20 ， ∠ CAB ＝ 30° ， ∠ ACB ＝ 45° ， 根据正弦定理得 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB ， CD 的高度分别为 20 m ， 50 m ， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 A.30° B.45 ° C.60 ° D.75 ° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又 CD ＝ 50 ，所以在 △ ACD 中， 又 0°< ∠ CAD <180° ，所以 ∠ CAD ＝ 45° ， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 5.(2018· 郑州质检 ) 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D ，测得 ∠ BCD ＝ 15° ， ∠ BDC ＝ 30° ， CD ＝ 30 ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ，则塔高 AB 等于 解析　 在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ 180° － 15° － 30° ＝ 135°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故选 D. 6.(2018· 广州模拟 ) 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ， C 的俯角分别为 75° ， 30° ，此时气球的高是 60 m ，则河流的宽度 BC 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 如图， ∠ ACD ＝ 30° ， ∠ ABD ＝ 75° ， AD ＝ 60 m ， 在 Rt △ ACD 中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2018· 哈尔滨模拟 ) 如图，某工程中要将一长为 100 m ，倾斜角为 75° 的斜坡改造成倾斜角为 30° 的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 ________m. 解析　 设坡底需加长 x m ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救 . 信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ 的 值 为 ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 在 △ ABC 中， AB ＝ 40 ， AC ＝ 20 ， ∠ BAC ＝ 120° ， 由余弦定理得 BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC ·cos 120° ＝ 2 800 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 ∠ BAC ＝ 120° ，知 ∠ ACB 为锐角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 θ ＝ ∠ ACB ＋ 30° ，得 cos θ ＝ cos( ∠ ACB ＋ 30°) 9.(2018· 青岛模拟 ) 一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60° ，另一灯塔在船的南偏西 75° ，则这艘船的速度是每小时 _____ 海里 . 10 解析　 如图所示，依题意有 ∠ BAC ＝ 60° ， ∠ BAD ＝ 75° ， 所以 ∠ CAD ＝ ∠ CDA ＝ 15° ，从而 CD ＝ CA ＝ 10 ， 在 Rt △ ABC 中，得 AB ＝ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2018· 泉州质检 ) 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB ， C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD . 已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟 . 若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为 ______ 米 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 如图，连接 OC ，在 △ OCD 中， OD ＝ 100 ， CD ＝ 150 ， ∠ CDO ＝ 60 °. 由 余弦定理得 OC 2 ＝ 100 2 ＋ 150 2 － 2 × 100 × 150 × cos 60° ＝ 17 500 ，解得 OC ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 如图，在山底 A 点处测得山顶仰角 ∠ CAB ＝ 45° ，沿倾斜角为 30° 的斜坡 走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角 ∠ DSB ＝ 75° ，则山高 BC 为 ______ 米． 解析 　 由题图知 ∠ BAS ＝ 45° － 30° ＝ 15° ， ∠ ABS ＝ 45° － (90° － ∠ DSB ) ＝ 30° ， ∴∠ ASB ＝ 135° ， 1 000 12. 如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 . (1) 求渔船甲的速度 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 依题意知， ∠ BAC ＝ 120° ， AB ＝ 12 ， AC ＝ 10 × 2 ＝ 20 ， ∠ BCA ＝ α . 在 △ ABC 中，由余弦定理， 得 BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC ·cos ∠ BAC ＝ 12 2 ＋ 20 2 － 2 × 12 × 20 × cos 120° ＝ 784 ， 解得 BC ＝ 28. (2) 求 sin α 的值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 在 △ ABC 中，因为 AB ＝ 12 ， ∠ BAC ＝ 120° ， BC ＝ 28 ， ∠ BCA ＝ α ， 13. 如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA 1 和 BB 1 . 已知从塔 AA 1 的底部看塔 BB 1 顶部的仰角是从塔 BB 1 的底部看塔 AA 1 顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔 BB 1 的底部看塔 AA 1 顶部 的仰角的正切值为 ____ ；塔 BB 1 的高为 _____ m. 45 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 设从塔 BB 1 的底部看塔 AA 1 顶部的仰角为 α ， 则 AA 1 ＝ 60tan α ， BB 1 ＝ 60tan 2 α . ∵ 从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ AA 1 · BB 1 ＝ 900 ， ∴ 3 600tan α tan 2 α ＝ 900 ， 14. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45° 方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，求该码头将受到热带风暴影响的时间 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　 记现在热带风暴中心的位置为点 A ， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在 △ OAB 中， OA ＝ 600 ， AB ＝ 20 t ， ∠ OAB ＝ 45° ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 某舰艇在 A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东 40° 的方向距离 A 处 10 海里的 C 处，此时得知，该渔船正沿南偏东 80° 的方向以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，若舰艇的时速为 21 海里，求舰艇追上渔船的最短时间 . 解　 如图所示，设舰艇追上渔船的最短时间是 t 小时，经过 t 小时渔船到达 B 处，则舰艇也在此时到达 B 处 . 在 △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 40° ＋ 80° ＝ 120° ， CA ＝ 10 ， CB ＝ 9 t ， AB ＝ 21 t ， 由余弦定理得 (21 t ) 2 ＝ 10 2 ＋ (9 t ) 2 － 2 × 10 × 9 t × cos 120° ，即 36 t 2 － 9 t － 10 ＝ 0 ， 16. 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 . 一种是从 A 沿直线步行到 C ，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ，然后从 B 沿直线步行到 C ，现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m /min. 在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B ，在 B 处停留 1 min 后，再匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/ min ，山路 AC 长为 1 260 m ，经测量得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) 问乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 得 AB ＝ 1 040 m ， 设乙出发 t min 后，甲、乙距离为 d ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16