2020届二轮复习三角恒等变换教案（全国通用）

2020届二轮复习三角恒等变换教案（全国通用）

2020 届二轮复习 三角恒等变换 教案（全国通用） 例 1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1) 2 2sin 13 cos 17 sin13 cos17    (2) 2 2sin 15 cos 15 sin15 cos15    (3) 2 2sin 18 cos 12 sin18 cos12    (4) 2 2sin ( 18 ) cos 48 sin( 18 )cos48       (5) 2 2sin ( 25 ) cos 55 sin( 25 )cos55       Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【思路点拨】注意到（2）中可以转换为30 的函数值，从（2）计算入手. 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 2 2 1 3sin 15 cos 15 sin15 cos15 1 sin302 4         Ⅱ.证明: 2 2sin cos (30 ) sin cos(30 )       2 2sin (cos30 cos sin30 sin ) sin (cos30 cos sin30 si n )              2 2 2 23 3 1 3 1sin cos sin cos sin sin cos sin4 2 4 2 2              2 23 3 3sin cos4 4 4     【总结升华】例 1 是对公式的正用．本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角 公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 举一反三： 【变式 1】若 tan + 1 tan =4,则 sin2 =（ ） A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 【答案】D 【解析】因为 2 21 sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22                 ,所以 1sin 2 2   . 【变式 2】已知 1tan 2 2  ，求sin( )6   的值。 【答案】 3 4 3 10  【解析】 6sincos6cossin)6sin(   2 213sin cos (cos sin )2 2 2 2 2       2 2 2 2 1 13sin cos cos sin2 2 2 2 2 2 cos sin2 2           2 2 1 13 tan tan2 2 2 2 1 tan 2        3 4 3 10  例 2．不查表求 2 2sin 20 cos 80 3sin20 cos80    的值. 【思路点拨】用二倍角公式进行降次后出现 40，160 ，再将160 120 40     ，80 60 20     ，运 用三角函数的和差公式变形. 【解析】 2 2sin 20 cos 80 3sin20 cos80    2 1 1(1 cos40 ) (1 cos160 ) 3sin20 cos(60 20 )2 2 1 11 cos40 (cos120 cos40 sin120 sin40 ) 3sin20 (cos 60 cos20 sin60 sin20 )2 2 1 1 3 3 31 cos40 cos40 sin40 sin40 sin 202 4 4 4 2 3 3 11 cos40 (1 cos40 )4 4 4                                     . 【总结升华】化简求值问题，要注意条件和所求式子之间的相互关系，常从“角度”“名称”及“运算结 构”上进行分析，找到已知和未知之间的联系． 举一反三： 【变式】已知 为第二象限的角，且 15sin 4   ，则 sin( )4 sin 2 cos2 1       的值为 . 【答案】 - 2 【解析】 2 π π πsin(α+ ) sinαcos +cosαsin4 4 4=sin2α+cos2α+1 2sinαcosα+2cos α 2 2(sinα+cosα)2 2= = 2cosα(sinα+cosα) 2cosα 又 为第二象限的角，且 15sin 4   ，所以 2 1cosα=- 1-sin α=- 4 ，所以原式 2 2= =- 2. 2cosα 类型二：角的变换与求值 例 3.已知 7 7(0 ) ( ) cos2 sin( ) .2 2 9 9            ， ， ， ， ， （1）求 cos 的值；（2）求sin 的值. 【思路点拨】（1）已知倍角的余弦值，求该角的余弦值，可以选用降幂扩角公式，但应注意角的范围；（2） 使用配角技巧      . 【解析】(1) 2 71 ( )1 cos2 19cos 2 2 9      ，又 ( )2   ， ，所以 1cos 3    . (2)由（1）知 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( ) .3 3        3(0 ) ( ) ( )2 2 2 2           由 ， ， ， ，得 ， ， 所以 2 27 4 2cos( ) 1 sin ( ) 1 ( )9 9              ， 所以 7 1 4 2 2 2 1sin sin( ) sin( )cos cos( )sin ( ) ( ) .9 3 9 3 3                        【总结升华】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例 2 中应用了 2 ( ) ( )        的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧 还有 ( ) ,      , 1[( ) ( )]2         , 2 ( ) ( )        , ( )4 2 4        等. 2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角 的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等. 对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三： 【变式 1】已知 3 2 4       ， 12cos( ) 13    , 3sin( ) 5     ，求 sin 2 的值. 【答案】 56 65  【解析】 3 2 4       , 30 ,4 2             ， 2 212 5sin( ) 1 cos ( ) 1 ( )13 13            ， 2 23 4cos( ) 1 sin ( ) 1 ( )5 5               ， sin 2 sin[( ) ( )] sin( )cos( ) cos( )sin( ) 3 12 4 5 56( )5 13 5 13 65                                 【变式 2】函数 2 3sin(70 ) 2cos(10 )y x x     的最大值为（ ） A． 2 3 B． 4 C． 2 D． 2 2 3 【答案】C； 【解析】∵ 70 60 (10 )x x      ， 2 3[sin 60 cos(10 ) cos60 sin(10 )] 2cos(10 ) cos(10 ) 3sin(10 ) 2sin(40 ) x x x x x x                      原式 . 所以其最大值为 2，故选 C. 【变式 3】已知 4cos( ) cos 2 .12 5 2 12          ，且 ，求 （ ＋ ）的值 【答案】 31 2 50 【解析】角的关系式： 4)12(2122   （和差与倍半的综合关系） ∵ 4cos( )12 5 2        ，且 ，∴ 5 3)12sin(   ∴ 25 24)12cos()12sin(2)12(2sin   25 71)12(cos2)12(2cos 2   ∴ ]4)12(2cos[.122cos  ）＋（ ＝ )]12(2sin)12(2[cos2 2   2 7 24 31 2( )2 25 25 50    【变式 4】已知  4 3 4  ， 40   ， 5 3)4cos(  ， 13 5)4 3sin(   ，求sin( )  的值。 【答案】 56 65 【解析】∵ 042   ， ∴ 5 4)4sin(  ， ∵   4 3 4 3 ， ∴ 13 12)4 3cos(   。 ∴ )](2cos[)sin(   65 56)5 4(13 5 5 3 13 12 )]4sin()4 3sin()4cos()4 3[cos( )]4()4 3cos[(      例 4. 求值： （1） cos36 cos72  ；（2）  7 3cos7 2cos7cos 【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值. 【解析】 （1）原式= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 sin36 cos36 cos72 1 sin 72 cos72 1 sin144 1 sin36 2 sin36 4 sin36 4      ； （2）原式=  7 4cos7 2cos7cos)7 4cos(7 2cos7cos  2 4sin cos cos cos7 7 7 7 sin 7 2 2 4sin cos cos7 7 7 2sin 7 8sin 7... 8sin 7 1 8                    【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的 2 倍；③最大角 的 2 倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意 2 的个数。应看到掌握了这些方法后可 解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。 举一反三： 【变式】求值： （1） cos20 cos40 cos80   ；（2）sin10 sin30 sin50 sin 70    . 【答案】（1） 1 8 ；（2） 1 16 【解析】 （1）原式= 2sin 20 cos20 cos40 cos80 2sin 20      = 0 00 0 000 20sin8 80cos80sin2 20sin22 80cos40cos40sin2   = 8 1 20sin8 160sin 0 0  （2） 0 0 0 0 0 01 1 1sin10 sin30 sin50 sin70 cos80 cos40 cos20 cos20 cos40 cos802 2 16          类型三：三角恒等变换的综合 例 5．已知 1tan( ) 2    ， 1tan 7    ，且 , (0, )   ，求 2  的值. 【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑 2  正切值的计算，同时通过估算 2  的区间 求出正确的值. 【解析】 tan( ) tan 1tan tan( ) 1 tan( ) tan 3                 ， 而 (0, )  ，故 (0, )2   ， 又 1tan 7    ， (0, )  ，故 ( , )2   ， 从而 0      ， 而 1tan( ) 02     ， 2        ，而 0 2   ， 2 ( ,0)            ， 又 tan tan( )tan(2 ) tan[ ( )] 11 tan tan( )                   ， 32 4      【总结升华】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑 角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算 2  的区间，给值求角一定要将 所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，       ， 2        ，这些都要予以注意. 举一反三： 【变式 1】已知 1 1tan ,tan7 3    ， ,  为锐角，则 2  的值是（ ） A. 4  B. 5 4  C. 4  或 5 4  D.  【答案】A 【变式 2】已知 3 2)sin(   ， 5 1)sin(   ，求 tan tan   。 【解析】∵ 3 2sincoscossin)sin(   ， 5 1sincoscossin)sin(   ， 解得 30 13cossin  , 30 7sincos  ， ∴ tan sin cos 13 tan cos sin 7        . 例 6.已知 A B C、 、 是 ABC 的三个内角，向量 (1 3) (cos sin )A A  m n  ， , ， ，且 1.  m n   （1）求角 A 的大小； （2）若 sin cos 3sin cos B B B B   ，求 tanC 的值. 【思路点拨】（1）先利用向量的数量积公式转化为三角方程再求角 A ；（2）先解方程求出 tan B ，再 利用内角和定理及正切公式求得 tanC 的值. 【解析】（1）因为 (1 3) (cos sin )A A  m n  ， , ， ， 1.  m n   所以 cos 3sin 1A A   ，即 1sin( )6 2A   又 5 6 6 6A      ，所以 6 6A    ，故 .3A  （2）因为 sin cos 3sin cos B B B B   ， cos 0B  ，所以 tan 1 3tan 1 B B   ，即 tan 2B  ， 所以     tan tantan tan[ ] tan 1 tan tan A BC A B A B A B           3 2 8 5 3 .111 2 3     = 【总结升华】三角问题常和向量知识综合在一起，求解的关键是“脱去”向量包装，将其转化为相应 的三角问题进行求解；倍角公式及其变形课实现三角函数的升、降幂变化，也可以实现角的形式的转化； 关于正余弦的齐次式，一般化为正切来处理. 举一反三： 【高清课堂：三角恒等变换 397881 例 2】 【变式】在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 1cos2 4C   (I)求 sinC 的值； (Ⅱ)当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长． 【答案】(I) 10sin 4C  (Ⅱ) 4, 2 6 6c b  或