2018届二轮复习立体几何大题课件（全国通用）

2018届二轮复习立体几何大题课件（全国通用）

5.3　立体几何大题 -2- -3- -4- -5- -6- 1.证明线线平行和线线垂直的常用方法 (1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两条直线同 时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三 角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质 定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即 高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两直线垂直,只 需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a. -7- 2.证明线面平行和线面垂直的常用方法 (1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理把证明 线面平行转化为证明线线平行;②利用面面平行的性质定理把证明 线面平行转化为证明面面平行. (2)证明线面垂直的常用方法:①利用线面垂直的判定定理把线面 垂直转化为证明线线垂直;②利用面面垂直的性质定理把证明线面 垂直转化为证明面面垂直;③利用常见结论,如两条平行线中的一 条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等. -8- 3.证明面面平行和面面垂直的常用方法 (1)证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个平面内两条相交直 线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平 行,再转化为证明线线平行. (2)证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个 面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般从现有 直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加 辅助线解决. -9- 4.利用空间向量证明平行与垂直 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为 μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则: (1)线面平行:l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. (2)线面垂直:l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行:α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直:α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0. -10- 5.利用空间向量求空间角 (1)线线夹角的计算:设l,m的方向向量分别为a,b,且它们的夹角为 (2)线面夹角的计算:设平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成 的角为θ,如下图, -11- (3)面面夹角的计算:设平面α,β的法向量分别为n1,n2,α与β的夹角 为θ,如下图, 6.求点到平面的距离 5.3.1　空间中的平行与垂直 -13- 考向一 考向二 平行与垂直关系的证明 解题策略一　几何法  例1(2017江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平 面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且 EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. -14- 考向一 考向二 证明 (1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD, 所以EF∥AB. 又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC. -15- 考向一 考向二 解题心得从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂 直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿 着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径 进行. -16- 考向一 考向二 对点训练1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点. (1)求证:PB∥平面FAC; (2)求三棱锥P-EAD的体积; (3)求证:平面EAD⊥平面FAC. -17- 考向一 考向二 (1)证明 连接BD,与AC交于点O,连接OF, 在△PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OF∥PB. 又因为OF⊂平面FAC,PB⊄平面FAC,所以PB∥平面FAC. (2)解 因为PA⊥平面ABCD,所以PA为三棱锥P-ABD的高. 因为PA=AB=2,底面ABCD是正方形, 因为E为PB的中点, 所以S△PAE=S△ABE, -18- 考向一 考向二 (3)证明 易知AD⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB,所以AD⊥PB.在 等腰直角三角形PAB中,AE⊥PB.又AE∩AD=A,AE⊂平面EAD,AD⊂ 平面EAD,所以PB⊥平面EAD. 又OF∥PB,所以OF⊥平面EAD.又OF⊂平面FAC,所以平面EAD⊥ 平面FAC. -19- 考向一 考向二 解题策略二　解析法  例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱 形,PA=AB=2,∠BAD=60°,E是PA的中点. 求证:(1)直线PC∥平面BDE; (2)BD⊥PC. -20- 考向一 考向二 证明 设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°,AB=2,底面ABCD为菱形, 所以BO=1,AO=CO= ,AC⊥BD.如图,以O为坐标原点,以OB,OC所 在直线分别为x轴、y轴,过点O且平行于PA的直线为z轴,建立空间 -21- 考向一 考向二 (1)设平面BDE的法向量为n1=(x1,y1,z1), -22- 考向一 考向二 解题心得向量坐标法:利用空间向量证明空间的平行或垂直关系, 首先建立空间直角坐标系,然后用坐标表示直线的方向向量及平面 的法向量,最后利用向量的数量积或数乘运算证明.用向量方法证 明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)(其中a,b分别是直线a,b的方 向向量);证直线和平面垂直,只需证直线的方向向量与平面的法向 量共线;证直线和平面平行,除证直线的方向向量与平面的法向量 垂直外,还需强调直线在平面外. -23- 考向一 考向二 对点训练2(2017北京海淀一模,理18)如图,由直三棱柱ABC- A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体 中,∠BAC=90°,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD= ,平面CC1D⊥平面 ACC1A1. (1)求证:AC⊥DC1; (2)若M为DC1的中点,求证:AM∥平面DBB1; -24- 考向一 考向二 (1)证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,故AC⊥CC1. 因为平面CC1D⊥平面ACC1A1,且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1, 所以AC⊥平面CC1D. 又C1D⊂平面CC1D,所以AC⊥DC1. (2)证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC, 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC, 又∠BAC=90°,所以建立如图空间直角坐标系Axyz, -25- 考向一 考向二 依据已知条件可得 所以AM与平面DBB1所成角为0°, 又AM⊄平面DBB1,即AM∥平面DBB1. -26- 考向一 考向二 -27- 考向一 考向二 与平行、垂直有关的存在性问题 例3如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面 ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (1)求证:PD⊥平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值; (3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求 的 值;若不存在,请说明理由. -28- 考向一 考向二 (1)证明 因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB. (2)解 取AD的中点O,连接PO,CO. 因为PA=PD,所以PO⊥AD. 又因为PO⊂平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD. 因为CO⊂平面ABCD,所以PO⊥CO. 因为AC=CD,所以CO⊥AD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz. 由题意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1). 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), -29- 考向一 考向二 -30- 考向一 考向二 解题心得1.先假设题中的数学对象存在(或结论成立),再在这个 前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定 结论. 2.空间向量最适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的 作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或 方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”,即通过坐标 运算进行判断,这就是计算推理法. -31- 考向一 考向二 对点训练3(2017北京海淀二模,理17)如图,在三棱锥P-ABC中,侧 棱PA=2,底面△ABC为正三角形,边长为2,顶点P在平面ABC上的射 影为D,AD⊥DB,且DB=1. (1)求证:AC∥平面PDB; (2)求二面角P-AB-C的余弦值; (3)在线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE?若存在,求 的 值;若不存在,请说明理由. -32- 考向一 考向二 (1)证明 因为AD⊥DB,且DB=1,AB=2,所以AD= ,所以 ∠DBA=60°.因为△ABC为正三角形,所以∠CAB=60°.又由已知 可知ACBD为平面四边形,所以DB∥AC.因为AC⊄平面PDB,DB⊂平 面PDB,所以AC∥平面PDB. (2)解 由点P在平面ABC上的射影为D,可得PD⊥平面ACBD,所 以PD⊥DA,PD⊥DB. 如图,以D为原点,DB为x轴,DA为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标 系, -33- 考向一 考向二 易知平面ABC的一个法向量n=(0,0,1). 设m=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量, 所以在线段PC上不存在点E使得PC⊥平面ABE.