【数学】2018届一轮复习人教A版笔记五数列学案

【数学】2018届一轮复习人教A版笔记五数列学案

笔记五　数　列 易错点26　奇、偶项的变化规律归纳错误 典例26　数列{an}中,an+1+an=3n-54(n∈N ).若a1=-20,求数列的通项公式.‎ ‎【错因分析】将n分为奇数和偶数进行讨论时,辨别不清其奇、偶项的变化规律导致推理运算错误.‎ ‎【正确解答】由a2+a1=3-54=-51,得a2=-31.‎ 又an+1+an=3n-54,an+2+an+1=3n-51,‎ ‎∴an+2-an=3.‎ 当n为奇数时,an=;当n为偶数时,an=,‎ 即an=‎ 数列中奇、偶项问题是数列中一种常见题型,每年在各地的模拟试题及高考试题中都是“热点”,解决此类问题的关键是分清奇偶、数清个数.‎ 易错点27　an与Sn关系不清楚 典例27　已知数列{an}的首项a1=3,通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1(n≥2).‎ ‎(1)求证是等差数列,并求公差;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎【错因分析】第(1)问中,对数列的通项an与前n项和Sn的关系,即当n≥2时恒有an=Sn-Sn-1理解不清导致出错;第(2)问中,由Sn求an的过程中,忽视了对n=1的分类讨论,导致最后只求出了对n≥2成立的结果.‎ ‎【正确解答】(1)∵2an=SnSn-1(n≥2),‎ ‎∴2(Sn-Sn-1)=SnSn-1,‎ 两边同时除以SnSn-1,得2=1,‎ ‎∴=-,‎ ‎∴是等差数列,公差d=-.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴+(n-1)×=-n+,‎ ‎∴Sn=.‎ 当n=1时,a1=S1=3,‎ 当n≥2时,an=SnSn-1=,‎ ‎∴an=‎ 易错点28　求最值时忽视n的取值要求 典例28　在等差数列{an}中,a1=25,S9=S16,求此数列的前多少项和最大.‎ ‎【错因分析】本题易出现以下两个错误:①解题不细心,在用等差数列前n项和公式求解时,解得n=12.5,误认为n=12.5.②考虑不全面,在用等差数列性质求解得出a13=0时,误认为只有S13最大.数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数,要善于用函数的观点认识和理解数列问题.但是考生很容易忽视n为正整数的特点,有时即使考虑了n为正整数,但对于n为何值时,能够取到最值的讨论中出错.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定.‎ ‎【正确解答】∵S9=S16,a1=25,设公差为d,由求和公式可得:‎ ‎9×25+d=16×25+d,‎ 解得d=-,‎ ‎∴Sn=25n+=-n2+n.‎ ‎∴当n=12或n=13时,此数列前12项和与前13项和一样大.‎ 易错点29　用错位相减法求和时项数处理不当 典例29　已知数列{an}是公比为q的等比数列,a1=1,an+2=(n∈N ).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=nan,求{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【错因分析】用错位相减法求数列{bn}的前n项和时,易出现三个错误:①出现某些项的遗漏;②项数的计算错误;③两式相减时,等比数列前面的系数出错.‎ ‎【正确解答】(1)∵数列{an}是公比为q的等比数列,a1=1,an+2=(n∈N ),‎ ‎∴a3=,∴a1q2=,‎ ‎∴2q2-q-1=0,‎ 解得q=1或q=-,‎ ‎∴an=1或an=.‎ ‎(2)当an=1时,bn=n,Sn=1+2+…+n=.‎ 当an=时,bn=nan=n·,‎ ‎∴Sn=+2·+3·+…+n·,①‎ ‎-Sn=+2·+3·+…+n·,②‎ ‎①-②,得Sn=+…+-n·-n·,‎ ‎∴Sn=.‎ 易错点30　数列的递推关系转换不当 典例30　已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=,an+1=f(an),bn=,n∈N ,则{bn}的通项公式为bn=　　　　. ‎ ‎【错因分析】对递推式转换不当,在变换中方向不明确,导致思维混乱,致使其转换错误.‎ ‎【正确解答】∵函数f(x)=,数列{an}满足a1=,an+1=f(an),‎ ‎∴an+1=,∴,‎ ‎∵bn=,∴-1,‎ ‎∴-1=-1=,‎ ‎∴是首项为,公比为的等比数列,∴,∴bn=2n.‎