河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三上学期第一次质检数学（文）试题

河北省承德市隆化县存瑞中学2020届高三上学期第一次质检数学（文）试题

存瑞中学2019-2020学年第一学期第一次质检 高三数学（文）‎ 一、选择题。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，直接利用交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数分子分母同乘以化简可得，求出对应坐标即可得结果.‎ ‎【详解】复数，‎ 则对应的点为，位于第三象限.故选C.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3.若角满足,,则角是（ ）‎ A. 第三象限角 B. 第四象限角 C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的符号，可直接得出结果.‎ ‎【详解】因为时，角可以是第三、第四象限角，或终边在轴负半轴上；‎ 又时，角可以是第二、第四象限角；‎ 因此角是第四象限角.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义即可，属于基础题型.‎ ‎4.在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.‎ 详解：根据向量的运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.‎ ‎5.己知数列满足递推关系：，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ an+1=，a1=，可得1．再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】∵an+1=，a1=，∴1．‎ ‎∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．‎ ‎∴2+2016＝2018．‎ 则a2017．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平方运算可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎7.若数列的通项公式为,则数列的前n项和为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列与等差数列的求和公式，用分组求和的方法，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以数列的前n项和 ‎.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查数列的求和，根据分组求和的方法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎8.已知的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,则此三角形必是（ ）‎ A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件，根据正弦定理得到，再化为，再由两角和的正弦公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，由正弦定理得到，‎ 即，‎ 所以，‎ 即，可得sin（A-B）=0‎ 又在三角形中，A-B，‎ 所以，因此三角形为等腰三角形.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查三角形性质的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎9.等比数列前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为( )‎ A. 54 B. ‎64 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质：等比数列中 成等比数列即可求解。‎ ‎【详解】等比数列中 成等比数列 ‎ ，解得：.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查等比数列的性质,解题的关键是理解并能熟练运算等比数列前n项和的性质解题.‎ ‎10.如图所示是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图像，只要将的图象上所有的点 ( )‎ A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．‎ ‎【详解】由图象可知函数的周期为π，振幅为1，‎ 所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．‎ 代入（﹣，0）可得φ的一个值为，‎ 故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），‎ 所以只需将y=cos（x﹣）=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象与图象变换的基础知识，根据图象求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求φ．三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的，属于中档题．‎ ‎11.已知，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 本题选择C选项.‎ ‎12.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（ ）‎ A. 1 B. -5或‎3 ‎C. D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于，故函数的一条对称轴是，故是的一个零点，故．‎ 考点：三角函数图象与性质．‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知向量,,且,则______．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据向量垂直，得到坐标之间的关系，列出等式，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为向量,,且,‎ 所以，‎ 解得.‎ 故答案为12‎ ‎【点睛】本题主要考查根据向量垂直求参数的问题，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.‎ ‎14.若数列的前n项和,则通项______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据求出与的关系，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 故数列是以为公比的等比数列，‎ 又，所以，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查根据递推关系求等比数列的通项公式，熟记等比数列的定义与等比数列的通项公式即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知等差数列，满足，其中，，三点共线，则数列的前项和_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量基本定理先得到，再由等差数列的性质，以及求和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，其中，，三点共线，‎ 所以；‎ 因为为等差数列，所以，‎ 因此数列的前项和.‎ 故答案为8‎ ‎【点睛】本题主要考查求数列的前项和，熟记平面向量基本定理，等差数列的性质以及求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎16.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,已知的面积为,,,则a的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积，以及，求出，再结合余弦定理，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 又的面积为,‎ 所以，‎ 故，‎ 由余弦定理可得，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形的面积公式与余弦定理即可，属于常考题型.‎ 三、解答题。‎ ‎17.已知命题实数x满足,命题实数x满足 ‎ ‎（1）当时,若“p且q”为真,求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若q是p的充分条件,求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意得到,，再由“p且q”为真，即可得出结果；‎ ‎（2）根据q是p的充分条件，得到是的子集,列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】解：由题意,,‎ ‎“p且q”为真,‎ ‎, 都为真命题,得 又是p的充分条件,则是的子集,‎ ‎【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记复合命题真假的判断即可，属于常考题型.‎ ‎18.在三角形中，角，，所对的边分别是，，．已知，．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）已知两边一角求第三边，一般利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入条件即得，（Ⅱ）同（Ⅰ）可先利用余弦定理，将角化为边的条件：，代入，可得，再利用余弦定理求，也可先利用正弦定理，将边的条件转化为角的关系，再根据正弦定理求的值 试题解析：（1）由余弦定理，，…………………3分 将，代入，解得：．…………………6分 ‎（2）由正弦定理，，‎ 化简得：，‎ 则，…………………8分 因为，，所以，，‎ 所以或（舍去），则．………………10分 由正弦定理可得，，‎ 将，代入解得．……………………14分 考点：正余弦定理 ‎【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎19.已知函数在处有极值．‎ ‎（1）求a,b的值；‎ ‎（2）求的单调区间．‎ ‎【答案】(1),．(2) 单调减区间是,单调增区间是．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，得到，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）由（1）的结果，得到，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.‎ ‎【详解】解：（1）又在处有极值,‎ 即解得,．‎ ‎（2）由（1）可知,其定义域是,‎ ‎．‎ 由,得；由,得．‎ 函数的单调减区间是,单调增区间是．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知数列为等差数列，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用已知条件建立方程组，求出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】（Ⅰ）数列为等差数列，．‎ 设数列的首项为，公差为，‎ 则：，‎ 解得：,‎ 故：，‎ ‎（Ⅱ）由于：，‎ 所以：，‎ 所以：，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎21.已知向量,设函数 ‎ ‎（1）求的最小正周期．‎ ‎（2）求函数单调递减区间．‎ ‎（3）求在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1)；(2)．(3) 最大值为1,最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到；‎ ‎（1）根据周期计算公式，即可求出结果；‎ ‎（2）根据正弦函数的单调区间得到 ‎，求解，即可得出结果；‎ ‎（3）先由题意得到，结合正弦函数的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】由已知可得：‎ ‎,‎ ‎（1）的最小正周期；‎ ‎（2）由,可得,‎ 的单调递减区间为．‎ ‎（3）,,‎ ‎,‎ 的最大值为1,最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查求三角函数周期、单调区间，以及最值等，熟记正弦函数的性质即可求解，属于常考题型.‎ ‎22.设数列的前n项和为,,满足,,．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由，结合题意得到，化简整理，结合等比数列的定义，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先由（1）求出，再由错位相减法，即可求出结果.‎ ‎【详解】证明 ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 数列是以1为首项,以2为公比的等比数列 解：由可知,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由错位相减得,‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及数列的求和问题，熟记等比数列的概念，以及错位相减法求和即可，属于常考题型.‎