【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与平面向量学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与平面向量学案

‎3.三角函数与平面向量 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1.三角函数的定义:‎ 在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).‎ 特别地,当r=1时,sin α=y,cos α=x,tan α=.‎ ‎[应用1] 已知角α的终边经过点P(3,-4),则sin α+cos α的值为________.‎ ‎[答案] - ‎2.弧长公式:l=|α|R,扇形面积公式:S=lR=|α|R2,1弧度(1 rad)=≈57.3°.‎ ‎[应用2] 已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积.‎ ‎[解] 设扇形的半径为r, 弧长为l,则有,解得 .‎ 故扇形的面积为S=rl=4 cm2.‎ ‎3.关于函数y=Asin(ωx+φ),( A,ω>0)‎ ‎①五点法作图;‎ ‎[应用3] 函数f(x)=sin x+2|sin x|, x∈(0,2π)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________.‎ ‎[答案] (1,3).(要作出y=f(x)的图象,运用数形结合的思想求解. )‎ ‎② 周期T=.一般 说,周期函数加绝对值或平方,其周期减半.如y=sin2x, y=|cos x|,但y=|tan x|的周期是π,y=|sin x|+|cos x|的周期是;函数y=sin(x2), y=sin|x|都不是周期函数.‎ ‎[应用4] 函数y=|sin x|cos x-1的最小正周期与最大值分别为________. ‎ ‎【导 号:07804168】‎ ‎[解析] y= 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2π,最大值为- ‎. ‎ ‎[答案] 2π;- ‎③ 单调性和对称性:‎ y=sin x的单调递增区间为(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z);‎ 对称轴为x=kπ+(k∈Z);对称中心为(kπ,0)(k∈Z).‎ y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π, 2kπ](k∈Z);单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z);‎ 对称轴为x=kπ(k∈Z);对称中心为(kπ+,0)(k∈Z).‎ y=tan x的单调递增区间为(k∈Z);对称中心为(k∈Z).‎ ‎[应用5] 函数f(x)=2sin,x∈[-π,0]的单调递减区间为________.‎ ‎[解析] ∵x∈[-π,0],∴x-∈,令z=x-,则z∈,‎ ‎∵正弦函数y=sin z在上单调递增,‎ ‎∴由-≤x-≤-得:-≤x≤0.‎ ‎∴函数f(x)=2sin在x∈[-π,0]的单调递增区间为.‎ ‎∴函数f(x)=2sin在x∈[-π,0]的单调递减区间为.‎ ‎[答案]  ‎[应用6] 求函数y=sin4x+2sin xcos x-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在 [0,π]上的单调递增区间.‎ ‎[解] ∵函数y=sin4x+2sin xcos x-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+sin2x ‎ ‎=sin2x-cos2x=2sin(2x-).‎ 故该函数的最小正周期是π.‎ 当2x-=2kπ-时,即x=kπ-时,y有最小值.‎ 由于函数y=2sin,∴ymin=-2,‎ 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.‎ 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 令k=0时,- ≤x≤.‎ 又∵0≤x≤π,∴0≤x≤, k=1时, π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π.‎ 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是,.‎ ‎④ 变换:‎ y=sin xy=siny=sin y=sin xy=sin(2x)y=sin 你知道上述两种变换过程的区别吗?‎ ‎[应用7] 要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=sin的图象上所有的点(  )‎ A.横坐标缩短到原 的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 ‎ B.横坐标缩短到原 的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 ‎ C.横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 ‎ D.横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 ‎[解析] 将函数y=sin(2x+)图象上所有的点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变),得函数y=sin(x+)的图象;再向左平行移动个单位长度后便得y=sin(x++)=cos x的图象.故选C.‎ ‎[答案] C ‎[应用8] 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为________. ‎ ‎【导 号:07804169】‎ A.   B. C.0 D.- ‎[解析] y=sin(2x+φ)y=sin=sin,‎ 由于所得函数为偶函数,则 f(0)=sin=±1,‎ φ+=kπ+⇒φ=kπ+,k∈Z,取k=0得φ=,故选A.‎ ‎[答案] A ‎⑤用待定系数法求函数y=Asin(ωx+φ)解析式.‎ 由图中的最大值或最小值确定A,再由周期确定ω,由图象上“特殊点”的坐标 确定φ.‎ 特别提醒:将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.‎ ‎[应用9] 已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图4所示,则φ=________.‎ 图4‎ ‎[解析] 由图象可得T=2=π=,解之得ω=.将代入y=sin,得sin=-1,则π+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.‎ 又∵φ∈[-π,π),∴φ=π. ‎ ‎[答案] π.‎ ‎4.三角恒等变换的切入点 ‎(1)角的变换:可利用和、差、倍、半角公式;‎ ‎(2)名的互换:诱导公式、正切化正余弦公式;‎ ‎(3)次的变换:利用升、降幂公式;‎ ‎(4)形的变换:统一函数形式.‎ 值得注意的是:‎ ‎①在三角恒等变换中,要特别注意角的各种变换.如:β=(α+β)-α,α=(α-β)+β, =-;‎ ‎[应用10] 已知sin(-α)=,则sin(π+2α)=________.‎ ‎[解] -.(提示:设-α=β)‎ ‎②注意sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ三者间的关系.‎ ‎[应用11] 已知θ∈,sin θ-cos θ=,求的值.‎ ‎[解] ===,‎ ‎ 因为θ∈,sin θ-cos θ=,所以sin θcos θ=,sin θ+cos θ=,所以原式=.‎ ‎③在三角函数的求值问题中,要特别关注角的范围,通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围,以确定所求值的符号,这是此类问题中的难点.‎ ‎[应用12] 设α为第四象限的角,若=,则tan2α=________. ‎ ‎【导 号:07804170】‎ ‎[解析] ∵===cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=.又∵α为第四象限角,即2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z,‎ ‎∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,k∈Z,即2α为第三、四象限角.‎ ‎∴sin2α=-=-=-.‎ ‎∴tan2α===-.‎ ‎[答案] - ‎④注意二倍角公式的变形,如: sin2α=,cos2α=.‎ 辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tanφ=.‎ ‎[应用13] 已知函数f(x)=sincos+cos2 .‎ ‎(1) 将f(x)写成Asin(ωx+φ)+k的形式.并求其图象对称中心的横坐标;‎ ‎(2) 如果△ABC的三边,a,b,c成等比数列,且边b所对的角为x,试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域.‎ ‎[解] (1)f(x)=sin+,‎ 由sin=0,即x +=kπ(k∈Z).‎ 得x=π,k∈Z.‎ 即对称中心的横坐标为π,k∈Z.‎ ‎(2)由已知b2=ac,cos x== ‎=-≥,‎ 又x=B∈(0,π),‎ ‎∴0<x≤,‎ ‎∴x+∈(,].‎ ‎∴sin<sin≤1.‎ ‎∴b>csin B知,C有两解.也可依已知条件,画出△ABC(图略),由图知有两解.故选C.‎ ‎[答案] C ‎6.向量共线基本定理:a∥b⇔存在实数λ,使得b=λa(a≠0)⇔x1y2-x2y1=0‎ ‎[应用16] 若a=(2,-2),则与a平行的单位向量的坐标为________.‎ ‎[答案] , ‎7.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ 特别地,=λ1+λ2,则λ1+λ2=1是三点P,A,B共线的充要条件.‎ ‎[应用17] 如图6,在△ABC中,H为BC上异于B,C的任一点,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 图6‎ ‎[解析] 由B,H,C三点共线,可令=x+(1-x).又M是AH的中点,所以==x+(1-x).又=λ+μ,所以λ+μ=x+(1-x)=.‎ ‎[答案]  ‎8.夹角与数量积的关系 ‎(1)当θ为锐角时,a·b>0,且a、b不同向,a·b>0是θ为锐角的必要不充分条件;‎ ‎(2)当θ为直角时,a·b=0,但由a·b=0,不能得到a⊥b,还可能a=0或b=0.‎ ‎(3)当θ为钝角时,a·b<0,且a、b不反向,a·b<0是θ为钝角的必要不充分条件.‎ ‎[应用18] 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是________.‎ ‎[解析] 由θ为锐角,得a·b>0,且a、b不同向.‎ ‎∴0<≠1,∴,解得 ‎∴λ的取值范围是{λ|λ>-且λ≠2}.‎ ‎[答案] {λ|λ>-且λ≠2}‎ ‎9.解决向量问题有两条途径:‎ 数的角度:①利用平面向量基本定理,用两个基向量表示所求向量; ②建系,利用坐标运算.‎ 形的角度:利用向量运算的几何意义.‎ ‎[应用19] 如图7在△ABC中,∠BAC=120°,AB=1,AC=2,D为BC边上一点,=2,则·=________.‎ 图7‎ ‎[答案]  ‎10.向量中常用的结论:‎ ‎(1)=λ+μ (λ,μ为实数),若λ+μ=1,则三点A、B、C共线;‎ ‎(2)在△ABC中,若D是BC边的中点,则=(+);‎ ‎(3)已知O,N,P在△ABC所在平面内.若||=||=||,则O为△ABC的外心;若++=0,则N为△ABC的重心;若·=·=·,则P为△ABC的垂心.‎ ‎[应用20] 已知O是边长为1的正三角形ABC的中心,则(+)·(+)=________. ‎ ‎【导 号:07804172】‎ ‎[解析] 取边长为1的等边△ABC的边AB的中点为D,边AC的中点为E,‎ 则+=2,+=2,‎ 而由等边三角形的性质可得,OA=2OD,OD⊥AB,‎ 所以∠AOD=,‎ 同理可得∠AOE=,‎ 再根据OD=OE=·=,可得(+)·(+)=2·2=4·=4××cos=-.‎ ‎[答案] - ‎■查缺补漏…………………………………………………………………………·‎ ‎1.点A(sin 2 018°,cos 2 018°)位于(  )‎ A.第一象限  B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C [因为sin2 018°=sin(11×180°+38°)=-sin 38°<0,cos 2‎ ‎ 018°=cos(11×180°+38°)=-cos 38°<0,所以点A(sin 2 018°,cos 2 018°)位于第三象限,选C.]‎ ‎2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为(  )‎ A. B. C. D. A [(a-b)⊥(3a+2b)⇒(a-b)·(3a+2b)=0⇒3a2-2b2-a·b=0⇒a·b=b2.‎ ‎∴cos〈a,b〉===⇒〈a,b〉=.选A.‎ ‎3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B为(  )‎ ‎【导 号:07804173】‎ A. B. C. D. A [因为bsin B-asin A=asin C,所以b2-a2=ac,‎ ‎∵c=2a,∴a2+c2-b2=4a2-ac=3a2,‎ ‎∴cos B===,‎ 由于00,ω>0,|φ|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:‎ x x1‎ x2‎ x3‎ ωx+φ ‎0‎ π ‎2π Asin(ωx+φ)+B ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若<α<π,f=,求f的值. ‎ ‎【导 号:07804175】‎ ‎[解] (1)由题意可得,即.‎ 由题意可得,即 ‎∴函数f(x)的解析式为:f(x)=3sin+1‎ ‎(2)由f=可得3sin+1=,化简得sin=,‎ ‎∵f=3sin+1‎ ‎=3sin+1 =-3sin+1‎ ‎=-6sin·cos+1.‎ 又∵α∈,∴α+∈,‎ ‎∴cos=-,‎ f=-6sincos+1=-6××+1=.‎ ‎12.(2017·青岛模拟)已知向量,a=,b=,实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为.‎ ‎(1)求k的值;‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若
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