- 2021-06-30 发布 |
- 37.5 KB |
- 18页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与平面向量学案
3.三角函数与平面向量 ■要点重温…………………………………………………………………………· 1.三角函数的定义: 在平面直角坐标系中,设α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 特别地,当r=1时,sin α=y,cos α=x,tan α=. [应用1] 已知角α的终边经过点P(3,-4),则sin α+cos α的值为________. [答案] - 2.弧长公式:l=|α|R,扇形面积公式:S=lR=|α|R2,1弧度(1 rad)=≈57.3°. [应用2] 已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积. [解] 设扇形的半径为r, 弧长为l,则有,解得 . 故扇形的面积为S=rl=4 cm2. 3.关于函数y=Asin(ωx+φ),( A,ω>0) ①五点法作图; [应用3] 函数f(x)=sin x+2|sin x|, x∈(0,2π)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________. [答案] (1,3).(要作出y=f(x)的图象,运用数形结合的思想求解. ) ② 周期T=.一般 说,周期函数加绝对值或平方,其周期减半.如y=sin2x, y=|cos x|,但y=|tan x|的周期是π,y=|sin x|+|cos x|的周期是;函数y=sin(x2), y=sin|x|都不是周期函数. [应用4] 函数y=|sin x|cos x-1的最小正周期与最大值分别为________. 【导 号:07804168】 [解析] y= 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2π,最大值为- . [答案] 2π;- ③ 单调性和对称性: y=sin x的单调递增区间为(k∈Z);单调递减区间为(k∈Z); 对称轴为x=kπ+(k∈Z);对称中心为(kπ,0)(k∈Z). y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π, 2kπ](k∈Z);单调递减区间为[2kπ,2kπ+π](k∈Z); 对称轴为x=kπ(k∈Z);对称中心为(kπ+,0)(k∈Z). y=tan x的单调递增区间为(k∈Z);对称中心为(k∈Z). [应用5] 函数f(x)=2sin,x∈[-π,0]的单调递减区间为________. [解析] ∵x∈[-π,0],∴x-∈,令z=x-,则z∈, ∵正弦函数y=sin z在上单调递增, ∴由-≤x-≤-得:-≤x≤0. ∴函数f(x)=2sin在x∈[-π,0]的单调递增区间为. ∴函数f(x)=2sin在x∈[-π,0]的单调递减区间为. [答案] [应用6] 求函数y=sin4x+2sin xcos x-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在 [0,π]上的单调递增区间. [解] ∵函数y=sin4x+2sin xcos x-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-). 故该函数的最小正周期是π. 当2x-=2kπ-时,即x=kπ-时,y有最小值. 由于函数y=2sin,∴ymin=-2, 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z. 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 令k=0时,- ≤x≤. 又∵0≤x≤π,∴0≤x≤, k=1时, π≤x≤π 又∵0≤x≤π.∴π≤x≤π. 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;单调递增区间是,. ④ 变换: y=sin xy=siny=sin y=sin xy=sin(2x)y=sin 你知道上述两种变换过程的区别吗? [应用7] 要得到函数y=cos x的图象,只需将函数y=sin的图象上所有的点( ) A.横坐标缩短到原 的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 B.横坐标缩短到原 的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 C.横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 D.横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 [解析] 将函数y=sin(2x+)图象上所有的点的横坐标伸长到原 的2倍(纵坐标不变),得函数y=sin(x+)的图象;再向左平行移动个单位长度后便得y=sin(x++)=cos x的图象.故选C. [答案] C [应用8] 将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为________. 【导 号:07804169】 A. B. C.0 D.- [解析] y=sin(2x+φ)y=sin=sin, 由于所得函数为偶函数,则 f(0)=sin=±1, φ+=kπ+⇒φ=kπ+,k∈Z,取k=0得φ=,故选A. [答案] A ⑤用待定系数法求函数y=Asin(ωx+φ)解析式. 由图中的最大值或最小值确定A,再由周期确定ω,由图象上“特殊点”的坐标 确定φ. 特别提醒:将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可. [应用9] 已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图4所示,则φ=________. 图4 [解析] 由图象可得T=2=π=,解之得ω=.将代入y=sin,得sin=-1,则π+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z. 又∵φ∈[-π,π),∴φ=π. [答案] π. 4.三角恒等变换的切入点 (1)角的变换:可利用和、差、倍、半角公式; (2)名的互换:诱导公式、正切化正余弦公式; (3)次的变换:利用升、降幂公式; (4)形的变换:统一函数形式. 值得注意的是: ①在三角恒等变换中,要特别注意角的各种变换.如:β=(α+β)-α,α=(α-β)+β, =-; [应用10] 已知sin(-α)=,则sin(π+2α)=________. [解] -.(提示:设-α=β) ②注意sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ三者间的关系. [应用11] 已知θ∈,sin θ-cos θ=,求的值. [解] ===, 因为θ∈,sin θ-cos θ=,所以sin θcos θ=,sin θ+cos θ=,所以原式=. ③在三角函数的求值问题中,要特别关注角的范围,通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围,以确定所求值的符号,这是此类问题中的难点. [应用12] 设α为第四象限的角,若=,则tan2α=________. 【导 号:07804170】 [解析] ∵===cos2α+2cos2α=2cos2α+1=∴cos2α=.又∵α为第四象限角,即2kπ+<α<2kπ+2π,k∈Z, ∴4kπ+3π<2α<4kπ+4π,k∈Z,即2α为第三、四象限角. ∴sin2α=-=-=-. ∴tan2α===-. [答案] - ④注意二倍角公式的变形,如: sin2α=,cos2α=. 辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),其中tanφ=. [应用13] 已知函数f(x)=sincos+cos2 . (1) 将f(x)写成Asin(ωx+φ)+k的形式.并求其图象对称中心的横坐标; (2) 如果△ABC的三边,a,b,c成等比数列,且边b所对的角为x,试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域. [解] (1)f(x)=sin+, 由sin=0,即x +=kπ(k∈Z). 得x=π,k∈Z. 即对称中心的横坐标为π,k∈Z. (2)由已知b2=ac,cos x== =-≥, 又x=B∈(0,π), ∴0<x≤, ∴x+∈(,]. ∴sin<sin≤1. ∴查看更多
相关文章
- 当前文档收益归属上传用户