数学文卷·2018届山东省桓台第二中学高三4月月考（2018

数学文卷·2018届山东省桓台第二中学高三4月月考（2018

‎2018届山东省桓台第二中学高三4月月考 数学（文）试题 本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟． ‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，,若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎3．已知等比数列满足，，则 A． B． C． D．‎ ‎4．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎5．下列四个结论中错误的个数是 ‎①若，则 ‎②“命题和命题都是假命题”是“命题是假命题”的充分不必要条件 ‎③若平面内存在一条直线垂直于平面内无数条直线，则平面与平面垂直 ‎④已知数据的方差为，若数据的方差为则的值为 A． B． 　 　 C． D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知向量，若 ‎，则实数的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．某程序框图如右图所示，运行该程序输出的值是 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．若直线上存在点满足，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知偶函数的导函数为且满足．当时，则使得成立的的取值范围是 A． B．‎ C．【来源：全,品…中&高*考+网】D．‎ 第Ⅱ卷(共100分)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．在区间上随机选取两个数和，则满足的概率为 ．‎ ‎12．观察下列各式：，，，，…，由此推得： ．‎ ‎13．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14．已知，若，则的最小值是 ．‎ ‎15．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过做轴的垂线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．（本小题满分12分）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 已知函数为奇函数，且，其中．‎ ‎（Ⅰ）求的值；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖一次．抽奖方法是：从装有标号为的个红球和标号为的个白球的箱中，随机摸出个球，若摸出的两球号码相同，可获一等奖；若两球颜色不同且号码相邻，可获二等奖，其余情况获三等奖．已知某顾客参与抽奖一次．‎ ‎（Ⅰ）求该顾客获一等奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该顾客获三获奖的概率．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，为等边三角形， 为内部一点，点在的延长线上，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面平面．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 已知数列和满足．若是各项为正数的等比数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求与；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和为．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知椭圆，如图所示点为椭圆上任意三点．‎ ‎（Ⅰ）若，是否存在实数，使得代数式 为定值．若存在，求出实数和的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（Ⅱ）若，求三角形面积的最大值；‎ ‎（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形面积取得最大值的前提下，若线段与椭圆长轴和短轴交于点（不是椭圆的顶点）．判断四边形的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知，函数（是自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）函数是否存在极大值，若存在，求极大值点，若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：对任意，．‎ 高三文科数学试题参考答案及评分说明 ‎1-5 BCABB 6-10 BCBBC ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13.‎ ‎14. ‎ ‎15. ‎ ‎16. 解：（Ⅰ）因为是奇函数，‎ 所以， ‎ 整理得，，即 ……………………………………2分 又得 ……………………3分 所以 ……………………4分 由，得，即 ……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ……………………………………7分 因为 所以 又，所以或 …………………9分 ①由 所以 ……………………………10分【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎②由，‎ 得 所以 ……………………………………11分 综上，或 …………………12分 D ‎17. 证明：（Ⅰ）因为，，两两垂直，‎ 所以， ……………………………………3分 又△为等边三角形，‎ 所以 …………………4分 故 ………………………………5分 ‎（Ⅱ）因为，，两两垂直 所以平面 …………………………6分 平面，所以 ……………7分 取的中点,连接、…………………9分 因为，，所以 ‎ ‎,所以平面 所以 ……………………………… 11分 又,所以平面 ‎ 因为平面,所以平面平面 ………………………………12分 ‎18. 解：标号为的个红球记为，标号为的个白球记为．‎ 从中随机摸出个球的所有结果有： ‎ ‎，， ，，，，，，‎ ‎，，，，，，，共15个．这些基本事件的出现是等可能的． ……………………5分 ‎（Ⅰ）摸出的两球号码相同的结果有：，，共个．‎ 所以“该顾客获一等奖”的概率．…………………………………8分 ‎（Ⅱ）摸出的两球颜色不同且号码相邻的结果有：,,，共个．‎ 则“该顾客获二等奖”的概率． ………………………10分 所以“该顾客获三等奖”的概率． ………………………12分 ‎19. 解：（Ⅰ）解：由题意，‎ 知又由，得公比（，舍去） ………………3分 所以数列的通项为 ……………………………………4分 所以 ‎ 故数列的通项为 …………………………………6分（Ⅱ）　 ……………………………8分所以 ‎ ‎………………12分 ‎20. 解析：（Ⅰ）由于，且；‎ 得：‎ ‎………………………2分 所以，即 ………………………3分 故，存在实数使得．‎ ‎（Ⅱ）当直线斜率不存在时，可设为；‎ 联立方程组，得；‎ 由，得，即，；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎………………………4分 当直线斜率存在时，可设为；‎ 联立方程组，得；‎ ‎ ………………………6分 由，得，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 即，……7分 ‎，；‎ 等号成立时，，即．‎ 所以的最大值为1． …………………………………………9分 ‎（Ⅲ）取得最大值时，，此时直线与坐标轴的交点恰好分别是椭圆长轴和短轴各一个端点；‎ 不妨取，，若线段与椭圆长轴和短轴交于点（不是椭圆与坐标轴的交点）．‎ 此时点定在第三象限，即；‎ 直线的方程为，令，得…………10分 同理，得 ………………………………………………11分 四边形的面积为：‎ ‎………………………………………………13分