数学理卷·2018届贵州省凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试（2018

数学理卷·2018届贵州省凯里一中高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试（2018

‎2018届贵州省凯里市第一中学高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试理数试题 命题学校:凯里一中(试题研究中心)‎ 第I卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知复数，则（ ）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎2. 已知，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 函数的最小值为（ ）‎ A． 3 B． 4 C． 6 D． 8‎ ‎4. 直线和圆的位置是（ ）‎ A．相交且过圆心 B． 相交但不过圆心 C. 相离 D. 相切 ‎5. 某几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 设，，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.‎ ‎2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（ ）种 A. 5040 B. 4800 C. 3720 D. 4920‎ ‎8. 已知抛物线的焦点是椭（）的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于、两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数除以正整数后的余数为，则记为（），例如.我国南北朝时代名著《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图（2）的程序框图，则输出的（ ）‎ A． 16 B． 18 C. 23 D．28 ‎ ‎10.如图（3）所示，在半径为的内有半径均为的和与其相切，与 外切，为与的公切线.某人向投掷飞镖，假设每次都能击中，且击中内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在中，，若，则函数的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知偶函数，且，则函数在区间的零点个数为（ ）‎ A． 2020 B．2016 C. 1010 D．1008‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（本题共4小题每题5分，共20分）‎ ‎13. 已知，，，若，则 ．‎ ‎14. 已知等比数列的前项和为，且，，则 ．‎ ‎15. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于 ‎(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为 .‎ ‎16.已知球是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知在中，角、、的对边分别是、、，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，求周长的最大值.‎ ‎18.2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查，随机抽取80名群众进行调查，将他们的年龄分成6段：,,,，，，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）求这80名群众年龄的中位数；‎ ‎（Ⅱ）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中年龄在的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，及数学期望.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，,. ‎ ‎（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点，为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若、、三个点满足，求直线的方程.‎ ‎21. 已知函数 ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线， (为参数，为倾斜角).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为、，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知、、均为正实数.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：‎ ‎（Ⅱ）若，求证：‎ 凯里一中2018届《黄金卷》第二套模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5: CBBAD 6-10: ADCCB 11、12：DA 二、填空题 ‎13. -3 14. 2018 15. 2 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）∵ ∴‎ 由正弦定理得 即∴，在中， ∴‎ ‎∴， ∵,∴‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得：‎ 即∴∴ ∴，‎ 当且仅当时取等号，∴周长的最大值为6+3=9‎ ‎18. 解：（Ⅰ）设80名群众年龄的中位数为，则 ‎，解得，【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 即80名群众年龄的中位数55． ‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，任意抽取1名群众，年龄恰在的概率为,‎ 由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.或者 ‎ ‎19. 解：（Ⅰ）连接交于，连接.在三角形中，中位线 ，‎ 且平面,平面，∴平面 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设，则，且.分别以为轴的正方向建立坐标系，则 ‎∴，设平面的一个法向量为，则,令，则，∴∴ ‎ 设直线与平面所成的角为，则 所以与平面所成角的正弦值为 ‎20. 解：（Ⅰ）解由曲线，可得，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，得，所抛物线的方程为 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，消去得 ‎ ，设，由根与系数的关系得，‎ 因为，故，得，由及，‎ 解得或，代入，解得或 故的方程为或，化简得或 另解：如图，由，可设，则 ‎，因为，所以 解得，，所以，在中，‎ ‎，即（为直线的斜率），所以 直线的方程为，即，由于对称性知另一条直线的方程为.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21. 解：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以，，切点为.‎ 由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即 ‎（Ⅱ）由，令，‎ 则（当且仅当取等号）.故在 上为增函数.‎ ‎①当时，,故在上为增函数，‎ 所以恒成立，故符合题意；‎ ‎②当时，由于，，根据零点存在定理，‎ 必存在，使得，由于在上为增函数，‎ 故当时，,故在上为减函数， ‎ 所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为 ‎（III）证明：由 由（Ⅱ）知当时，，故当时，， ‎ 故，故.下面证明：‎ 因为 而，‎ 所以，，即：‎ ‎22. 解：（Ⅰ）由及，得，即 所以曲线的极坐标方程为 ‎（II）将的参数方程代入，得 ‎∴ 所以，又，‎ 所以，且 所以 由，得，所以.‎ 故的取值范围是 ‎23. 证明（Ⅰ）∵，三式相加可得 ‎ ‎∴‎ 又均为正整数，∴成立． ‎ ‎（Ⅱ）：，，∴， ‎ ‎∴‎ 当且仅当，即时，“=”成立