数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期期中考试(2017

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数学卷·2018届河北省定州中学高三上学期期中考试(2017

‎ 河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期中考试试题 一、选择题 ‎1.已知函数,则的值为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.定义在上的函数与其导函数满足,则下列不等式一定成立的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设满足,且在上是增函数,且,若函数对所有的,当时都成立,则的取值范围是( )‎ A. B. 或或 C. 或或 D. ‎ ‎4.已知函数(其中为自然对数底数)在取得极大值,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知为奇函数, ,若对恒成立,则的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数有三个不同的零点, , (其中),则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数, ,则下列说法正确的是( )‎ A. 函数是周期函数且最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 函数在区间上的值域为 D. 函数在是增函数 ‎8.设双曲线: 的右焦点为,过作渐近线的垂线,垂足分别为, ,若是双曲线上任一点到直线的距离,则的值为( )‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的10段,记第段的重量为,且,若,则( )‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ ‎10.设函数(),为自然对数的底数,若曲线上存在点,使得,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值为( )‎ A. B. ‎3 C. D. ‎ ‎12.已知为奇函数, 与图像关于对称,若,则( )‎ A. 2 B. ‎-2 C. 1 D. -1‎ 二、填空题 ‎13.函数,,若使得,则__________.‎ ‎14.如图,在正方形中,分别是的中点,是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形,使三点重合,重合后的点记为.下列说法错误的是__________(将符合题意的选项序号填到横线上).‎ ‎①所在平面;②所在平面;③所在平面;④所在平面.‎ ‎15.已知函数,,则的取值范围是__________.‎ ‎16.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上,球心在此三棱锥内部,且,点为线段的中点,过点作球的截面,则所得截面圆面积的最小值是_________.‎ 三、解答题 ‎17.设函数, .‎ ‎(1) 关于的方程在区间上有解,求的取值范围;‎ ‎(2) 当时, 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎18.设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积.‎ ‎(1)求点的轨迹方程;‎ ‎(2)在点的轨迹上有一点且点在轴的上方, ,求的范围.‎ ‎19.设等比数列的公比为,前项和.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)设,记的前项和为,试比较与的大小.‎ ‎20.如图,圆: .‎ ‎(1)若圆与轴相切,求圆的方程;‎ ‎(2)求圆心的轨迹方程;‎ ‎(3)已知,圆与轴相交于两点(点在点的左侧).过点任作一条直线与圆: 相交于两点.问:是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由。‎ 参考答案 BABDA DCBCA ‎ ‎11.A ‎12.B ‎13.‎ ‎14.①③④‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎17.(1) 的取值范围为;(2) 的取值范围为.‎ ‎(1)方程在一个区间上有解,可以转化为有解,研究该函数的单调性和图像使得常函数和该函数有交点即可。(2)该题可以转化为当时, 恒成立,令研究这个函数的单调性和最值即可。‎ ‎(1)方程即为 令 则.‎ ‎∴当时, 随变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∵, , ,‎ ‎∴当时, ,‎ ‎∴的取值范围为 ‎(2)依题意,当时, 恒成立 令,‎ 则 ‎ 令,则当时, ,‎ ‎∴函数在上递增,∵, ,‎ ‎∴存在唯一的零点,‎ 且当时, ,当时, ,‎ 则当时, ,当时, .‎ ‎∴在上递减,在上递增,从而.‎ 由得,两边取对数得,‎ ‎∴,∴,∴‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎18.(1);(2).‎ 设点的坐标为 因为点坐标为,所以直线的斜率 同理,直线的斜率 由已知有 化简,得点的轨迹方程为 方法一:设点的坐标为,过点作垂直于轴,垂足为,‎ 因为点的坐标为在点的轨迹上,所以 得 ‎, ‎ 因为, ,‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法二:设点的坐标为,点的坐标分别为 直线的斜率,直线的斜率 由得 所以(1)‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上,所以 得,代入(1)得 ‎.‎ 因为, ,‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法三设点的坐标为,点的坐标分别为 直线的斜率,直线的斜率 由得 所以(1)‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上,所以 代入(1)得, ,‎ ‎, ,‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法四:设点的坐标为,点的坐标分别为 直线的斜率,直线的斜率 由得 所以(1)‎ 将代入(1)得, , .‎ 因为, ,‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法五设点的坐标为,点的坐标分别为 直线的斜率,直线的斜率 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以解得.‎ ‎19.(1);‎ ‎(2)或时, ; 或时, ; ,或时, .‎ ‎(1)因为是等比数列, 可得.‎ 当时, ,‎ 当时, ,‎ 即 上式等价于不等式组: ①‎ 或②‎ 解①式得;解②,由于可为奇数、可为偶数,得.‎ 综上, 的取值范围是.‎ ‎(2)由得 ‎, .‎ 于是.‎ 又因为,且或,所以,‎ 当或时, ,即;‎ 当或时, ,即;‎ 当,或时, ,即.‎ ‎20.(1);(2)(3)存在,使得 ‎(1)由圆与轴相切,可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆的方程化成标准方程为: ,由求得.即可得到所求圆的方程为: ;‎ ‎(2)求圆心点坐标为,则 圆心点的轨迹方程为 ‎(3)令,得,即所以 假设存在实数,当直线AB与轴不垂直时,设直线AB的方程为,‎ 代入得, ,设从而 因为 而 ‎ ‎ 因为,所以,即,得.‎ 当直线AB与轴垂直时,也成立.故存在,使得
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