【数学】2019届文科一轮复习人教A版8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案

第章　平面解析几何 第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．‎ ‎(对应学生用书第109页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．直线的倾斜角 ‎ (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.‎ ‎ (2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．‎ ‎2．斜率公式 ‎ (1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.‎ ‎ (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.‎ ‎3．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0)‎ 不含直线x＝x0‎ 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)‎ 截距式 ＋＝1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，‎ A2＋B2≠0‎ 平面内所有直线都适用 ‎[知识拓展]‎ ‎1．直线恒过定点问题 ‎ 在直线方程中，若x或y的系数含有字母参数，则直线恒过定点 ‎ 如直线l：(‎2m＋1)x＋(m＋1)y－‎7m－4＝0，可将方程化为 ‎ m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，令，得，即直线恒过定点(3,1)．‎ ‎2．直线“陡”、“缓”与斜率k的关系 ‎ 在平面直角坐标系中，直线越“陡”，|k|越大．‎ ‎3．直线在x，y轴上的截距问题 ‎ 当直线在x，y轴上的截距相等或互为相反数时，应分两种情况讨论：一是直线过原点；二是直线不过原点(待定系数法)．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　)‎ ‎ (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)‎ ‎ (3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)‎ ‎ (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)‎ ‎ A．30°　　　 B．60°　　　‎ ‎ C．150°　　　 D．120°‎ ‎ B　[直线的斜率为k＝tan α＝，‎ ‎ 又因为0°≤α＜180°，则α＝60°.]‎ ‎3．(2018·泉州模拟)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)‎ ‎ 【导学号：79170264】‎ ‎ A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0‎ ‎ C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0‎ ‎ D　[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]‎ ‎4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.‎ ‎ 1或－2　[令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋.‎ ‎ 依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.]‎ ‎5．(2017·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．‎ ‎ 3x－2y＝0或x－y＋1＝0　[当直线过原点时，方程为y＝x，即3x－2y＝0.‎ ‎ 当直线l不过原点时，设直线方程为－＝1.‎ ‎ 将P(2,3)代入方程，得a＝－1，‎ ‎ 所以直线l的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎ 综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]‎ ‎(对应学生用书第110页)‎ 直线的倾斜角和斜率 ‎　(1)直线x－ycos θ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎ (2)(2018·郑州模拟)若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ ‎ (1)　(2)　[(1)当θ＝kπ＋(k∈Z)时，cos θ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为.‎ ‎ 当θ≠kπ＋(k∈Z)时，直线l的斜率为 ‎ tan α＝∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ ‎ 所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.‎ ‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎ (2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝＝－5，‎ ‎ kPB＝＝－.‎ ‎ 如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]‎ ‎ [规律方法]　　1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.‎ ‎ (2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．‎ ‎ 2．第(2)问求解要注意两点：‎ ‎ (1)斜率公式的正确应用；‎ ‎ (2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－.‎ ‎[变式训练1]　(1)(2018·长沙模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)‎ ‎ A．－1＜k＜　　　　　　 B．k＞1或k＜ ‎ C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1‎ ‎ (2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．‎ ‎ 【导学号：79170265】‎ ‎ (1)D　(2)　[(1)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在 x轴上的截距为1－.‎ ‎ 令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.‎ ‎ (2)直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1.‎ ‎ 又y＝tan α在上是增函数，因此≤α＜.]‎ 求直线的方程 ‎　(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为________．‎ ‎ (2)△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，则BC边上的中线AD所在直线的方程为________．‎ ‎ (3)若A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．‎ ‎ (1)x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0　(2)2x－3y＋6＝0　[(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．‎ ‎ 设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α＜π)，‎ ‎ 从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.‎ ‎ 故所求直线方程为y＝±(x＋4)．‎ ‎ 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.‎ ‎ (2)设BC中点D的坐标为(x，y)，‎ ‎ 则x＝＝0，y＝＝2.‎ ‎ BC边上的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，‎ ‎ 由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.‎ ‎ (3)法一：设直线l在x轴、y轴上的截距均为A．‎ ‎ 由题意得M(3,2)．‎ ‎ 若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，‎ ‎ 所以直线l的方程为y＝x，‎ ‎ 即2x－3y＝0.‎ ‎ 若a≠0，设直线l的方程为＋＝1，‎ ‎ 因为直线l过点M(3,2)，所以＋＝1，‎ ‎ 所以a＝5，此时直线l的方程为＋＝1，‎ ‎ 即x＋y－5＝0.‎ ‎ 综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.‎ ‎ 法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，则直线l的方程为y－2＝k(x－3)．‎ ‎ 令y＝0，得x＝3－；令x＝0，得y＝2－3k.‎ ‎ 所以3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝.‎ ‎ 所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，‎ ‎ 即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.]‎ ‎ [规律方法]　　1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为‎0”‎的情况，以防漏解．‎ ‎ 2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式直线方程的适用条件，选择适当的形式至关重要．‎ ‎[变式训练2]　(1)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．‎ ‎ 【导学号：79170266】‎ ‎ (2)求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．‎ ‎ (1)4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0　[由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋‎ ＝1，又直线过点(－3,4)，‎ ‎ 从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.‎ ‎ 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.]‎ ‎ (2)设直线y＝3x的倾斜角为α，‎ ‎ 则所求直线的倾斜角为2α.‎ ‎ ∵tan α＝3，‎ ‎ ∴tan 2α＝＝－.‎ ‎ 又直线经过点A(－1，－3)，‎ ‎ 因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.]‎ 直线方程的综合应用 ‎　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．‎ ‎ (1)证明：直线l过定点；‎ ‎ (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；‎ ‎ (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．‎ ‎ [解]　(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，‎ ‎ 令解得 ‎ ∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．‎ ‎ (2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；‎ ‎ 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎ (3)由题意可知k≠0，再由l的方程，‎ ‎ 得A，B(0,1＋2k)．‎ ‎ 依题意得 ‎ 解得k＞0.‎ ‎ ∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|‎ ‎ ＝·＝ ‎ ≥×(2×2＋4)＝4，‎ ‎ “＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，‎ ‎ ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.‎ ‎ [规律方法]　　在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．‎ ‎[变式训练3]　已知直线l1：ax－2y＝‎2a－4，l2：2x＋a2y＝‎2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？‎ ‎ [解]　直线l1的方程可化为a(x－2)－2y＋4＝0.直线l2的方程可化为2x－4＋a2(y－2)＝0，因此直线l1，l2恒过定点A(2,2)．(如图)‎ ‎ 易知|OB|＝a2＋2，|OC|＝2－a，‎ ‎ 则S四边形OBAC＝S△AOB＋S△AOC＝×2(a2＋2)＋×2(2－a)＝a2－a＋4＝2＋，a∈(0,2)，‎ ‎ ∴当a＝时，四边形OBAC的面积最小．‎