2013-2017高考数学分类汇编-第4章 三角函数-4 解三角形（理科）

2013-2017高考数学分类汇编-第4章 三角函数-4 解三角形（理科）

第四节 解三角形 题型55 正弦定理的应用 ‎1. (2013天津理6）在中， 则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2. (2013湖南理3）在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ）.‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.(2013安徽12)设的内角所对边的长分别为.若，则角 .‎ ‎4.（2013浙江理16）中，，是的中点，若，则 ________.‎ ‎5.（2014 北京理 15）如图所示，在中，，，点在边上，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的长.‎ ‎6.（2015广东）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，则 ．‎ ‎6.解析 解法一：因为且，所以或．‎ 又，所以，所以，且．‎ 又，由余弦定理得，‎ 所以．又，解得，所以．‎ 解法二：因为且，所以或．又，所以，‎ ‎．又，由正弦定理得．故应填1.‎ ‎7.（2015湖南）设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎7.解析（1）由及正弦定理，得,所以，‎ 即，又为钝角，因此，故，即.‎ ‎（2）由（1）知，，所以，‎ 于是 ‎，因为,所以,‎ 因此，由此可知的取值范围是 .‎ ‎8.（2016全国甲理13）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ．‎ ‎8. 解析 解法一：由题可知，.由正弦定理可得.由射影定理可得.‎ 解法二：同解法一，可得.又 ‎.由余弦定理可得.‎ 解法三：因为，，，，‎ ‎.由正弦定理得，解得．‎ ‎9.（2016江苏15）在中，，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎9. 解析 （1）因为，而，所以.‎ 由正弦定理，故．‎ ‎（2）因为，所以.‎ 又，所以，‎ 故．‎ ‎10.（2016浙江理16）在中，内角所对的边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若的面积，求出角的大小.‎ ‎10.解析 （1）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是又，，故，所以 或，因此（舍去）或，所以 ‎（2）由，得.由正弦定理得，‎ 因为，得．又，，所以．‎ 当时，由，，得；‎ 当时，由，，得．‎ 综上所述，或．‎ ‎11.（2017天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，，.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎11.解析 （1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.‎ 由正弦定理，得.‎ ‎（2）由（Ⅰ）及，得，所以，‎ ‎，故.‎ ‎12.（2017山东理9）在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎12.解析 因为，所以，又，得，即.故选A.‎ 题型56 余弦定理的应用 ‎1. (2013重庆理20）在中，内角的对边分别是，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，求的值.‎ ‎2.（2013山东理17）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎3.（2014 江苏理 14）若的内角满足，则的最小值是 ．‎ ‎4.（2014 天津理 12）在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.‎ ‎5.（2014 湖南理 18）如图所示，在平面四边形中，，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ ‎6.（2015安徽）在中，,点在边上，，求的长．‎ ‎6.解析 解法一：设的内角，，所对边的长分别是，，，由余弦定理得 ‎，所以，所以由正弦定理得，由题设知，所以．‎ 在中，由正弦定理得．‎ 解法二：如图所示，设．由余弦定理得 ‎，‎ 所以．‎ 在中，设，则，‎ 故，即 ①‎ ‎，‎ 即 ②‎ 由式①，式②得，即．‎ ‎7.（2015福建）若锐角 的面积为 ，且 ，则 ．‎ ‎7.解析 由已知得的面积为，‎ 所以．又因为，所以．‎ 由余弦定理得，所以．‎ ‎8.（2015江苏）在中，已知，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎8.解析 （1）由余弦定理，‎ 解得．‎ ‎（2）.‎ 因为，故，‎ 故．‎ 评注 在运算的过程中类似，可不化简，有时候会利于下面的运算．‎ ‎9.（2015陕西）的内角所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎9.解析 （1）由可知， ，‎ 由正弦定理，得.‎ ‎(2)由余弦定理，得.‎ 所以.‎ ‎10.（2016天津理3）在中，若，， ，则（ ）.‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎10.A解析 由余弦定理得，解得.故选A.‎ ‎11.（2016全国丙理8）在中，，边上的高等于，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎11. C 解析 如图所示.依题意，，.‎ 在中，由余弦定理得 故选C.‎ ‎12.（2016北京理15）在中，.‎ ‎（1）求的大小；（2）求的最大值.‎ ‎12. 解析 （1）由题设可得.‎ 由余弦定理，可得.又，所以.‎ ‎（2）由（1）可得，，.‎ 再由，得，‎ 所以 ‎.由，得，所以当且仅当，即时， 取到最大值，且最大值是1.‎ 题型57 判断三角形的形状 ‎1. (2013陕西理7） 设的内角所对的边分别为，若，则 的形状为（ ）.‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 题型58 解三角形的综合应用 ‎1. (2013陕西理9） 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位）的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.（2014 江西理4）在中，内角所对应的边分别为 ‎.若，，则的面积是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.（2014 新课标2理4）钝角三角形的面积是，， ，则 （ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014 重庆理 10）已知的内角满足 ‎，面积满足，记分别为所对的边，则下列不等式成立的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.（2014 福建理 12）在中，，，，则的面积等于 .‎ ‎6.（2014 广东理 12）在中，角所对应的边分别为.已知，则 . ‎ ‎7.（2014 山东理 12）在中，已知，当时，的面积为.‎ ‎8.（2014 四川理 13）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）‎ ‎9.（2014 新课标1理16）已知分别为的三个内角的对边，，且 ‎，则面积的最大值为 .‎ ‎10.（2014 浙江理 17）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，则的最大值 .‎ ‎11.（2014 大纲理 17） 的内角的对边分别为，已.求.‎ ‎12.（2014 江苏理 18）‎170 m ‎60 m 东 北 O A B M C 如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆．且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于．经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），．‎ ‎ （1）求新桥的长；‎ ‎ （2）当多长时，圆形保护区的面积最大？‎ ‎13.（2014 山东理 16）已知向量，函数，且的图像过点和点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.‎ ‎14.（2014 浙江理 18）（本题满分14分）在中，内角所对的边分别为，已知，，‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若求的面积.‎ ‎15. (2013福建理13）如图，在中，已知点在边上，， ‎ ‎ ，，, 则的长为 .‎ ‎16．（2013湖北理17）在中，对应的边分别是 ．已知．‎ ‎(1) 求角的大小 ‎(2) 若的面积，，求的值．‎ ‎17．（2013江西理16） 在中，角所对的边分别为，已知()．‎ ‎(1) 求角的大小；(2) 若，求的取值范围．‎ ‎18．（2013四川理17） 在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求向量在方向上的投影．‎ ‎19. （2013江苏18）C B A 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，.‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？‎ ‎20. (2013全国新课标卷理17）在内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎21.（2015北京）在中，，，，则 .‎ ‎21.解析 在中，，由正弦定理得，‎ 由余弦定理得，因此.‎ ‎22.（2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎22.解析 在中，，，所以，‎ 因为，由正弦定理可得，即，‎ 在中，因为，， ‎ 所以，所以. ‎ ‎23.（2015全国1）在平面四边形中，，，则的取值范围是 .‎ ‎23.解析 解法一：如图所示，，延长，交于点，‎ 则可知，且在中，，，．‎ 在中，由正弦定理可得，‎ 所以由题意可得．‎ 在中，由正弦定理可得 ，‎ 所以．又因为，‎ 所以的取值范围是．‎ ‎ ‎ ‎（解法一图） （解法二图）‎ 解法二（构造法）：如图所示，构造，使得，‎ 则，取边上一点，边上一点，使得．‎ 若平移使点与点重合，此时四边形退化为，且可在中利用正弦定理求得；‎ 若平移使点与点重合，此时四边形退化为，‎ 且可在中利用正弦定理求得．‎ 又因为是平面四边形，所以点应在点与点之间，且不与点与点重合，所以的取值范围是．‎ ‎24.（2015天津）在中，内角，， 所对的边分别为，， ，已知 的面积为 ，，，则的值为 .‎ ‎24.解析 因为，所以，‎ 又，所以，‎ 解方程组得，‎ 由余弦定理得，所以.‎ ‎25.（2015全国2）在中，是上的点，平分，是面积的2倍．‎ ‎(1)求 ；‎ ‎(2)若 ，求和的长.‎ ‎25.分析 (1)用正弦定理求面积的方法写出面积，然后根据已知条件中面积为2倍关系、角相等进行代换；(2)由(1)的结论得高相同，面积比等于边长比，再由余弦定理建立等式来求解.‎ 解析 (1)根据题意可得右图，由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又因为， ‎ 所以得.‎ 由正弦定理得.‎ (1) 由题意知，，所以. 又因为，所以．‎ 在和中，由余弦定理得，，‎ ‎．‎ 故．由(1)知，所以．‎ 即所求为，.‎ ‎26.（2015山东）设.‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)在锐角△中，角的对边分别为. 若，，求△面积的最大值.‎ ‎26.解析（1）由题意知．‎ 由，，可得，；‎ 由，，可得，．‎ 所以的单调递增区间是；‎ 单调递减区间是．‎ ‎（2）由，得，由题意知为锐角，所以．‎ 由余弦定理，可得，即，‎ 且当时等号成立，因此．所以面积的最大值为．‎ ‎27.（2015四川）如图所示，为平面四边形的四个内角.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎（2）若，，，，，‎ 求的值.‎ ‎27.分析（1）首先切化弦得，为了将半角变为单角，可在分子分母同时乘，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可；（2）由题设知，该四边形的两对角互补. 再结合（1）的结果，有，所以只需求出即可. 由于已知四边，且，，故考虑用余弦定理列方程组求，从而求出.‎ 解析 （1）.‎ ‎（2）由，得，.‎ 由（1），有 ‎.‎ 连接，在中，有，‎ 在中，有 所以，‎ 则，‎ 所以.‎ 连接，同理可得，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎28.（2015浙江）在中，内角所对的边分别为．已知，‎ ‎=.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若的面积为，求的值．‎ ‎28.（1）解析 解法一：由余弦定理，‎ 又，所以消去得，‎ 所以，所以.‎ 解法二: 由及正弦定理得，‎ 所以 ，，所以．‎ ‎（2）由得.又，所以．‎ 由正弦定理得，，（或由（1）知）‎ 所以，所以，所以．‎ ‎29.（2015重庆）在中，，，的角平分线，则 ‎_______.‎ ‎29.解析 如图所示，由正弦定理易得,即，‎ 故,即，在，知，‎ 即．由于是的角平分线，故．‎ 在中，，易得．‎ 在中，由正弦定理得，即，‎ 所以．‎ ‎30.（2016上海理9）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．‎ ‎30．解析 不妨设，，，则，‎ 故，因此．‎ ‎31.（2016全国乙理17）的内角，，的对边分别为，，，已知 ‎（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎31.解析 （1）由已知及正弦定理得，，‎ 即，故，可得，所以.‎ ‎（2）由已知得，.又，所以.‎ 由已知及余弦定理得，，故，‎ 从而.所以的周长为.‎ ‎32.（2016山东理16）在中，角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求证：；（2）求的最小值.‎ ‎32.解析 （1）由题意知，，‎ 化简得，即.‎ 因为，所以.‎ 从而.由正弦定理得.‎ ‎（2）由（1）知，所以 ，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.‎ ‎33.（2016四川理17）在中，角，， 所对的边分别是， ， ，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎33.解析（1）根据正弦定理，可设，‎ 则，，.代入中，有，可变形得 在中，由，有，所以 ‎（2）由已知，，根据余弦定理，有.所以.‎ 由（1）得，，所以，故 ‎ ‎34.（2016全国丙理21）设函数，其中，记 的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）证明 ‎34.解析 （1）.‎ ‎（2）当时，.因此.‎ 当时，将变形为.‎ 令，则是在上的最大值，，‎ ‎，且当时，取得极小值，‎ 极小值为.令，解得且，所以.‎ ‎（i）当时，在内无极值点，‎ ‎，，，所以.‎ ‎（ii）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.由如图所示的图形可知，我们得到如下结论当时，.‎ 综上可知，.‎ ‎（3）由（1）得.‎ 当时，；‎ 当时，，所以；‎ 当时，.所以；‎ 综上所述有.‎ ‎35.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为，容器的底面对角线的长为，容器的两底面对角线，的长分别为和． 分别在容器和容器中注入水，水深均为． 现有一根玻璃棒，其长度为（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.‎ ‎（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；‎ ‎（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．‎ ‎ ‎ ‎35.解析 （1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处，如图所示为截面的平面图形．因为，，所以，从而.记与水面的交点为， 过点作，为垂足，则平面，故，从而．‎ 答：玻璃棒没入水中部分的长度为．‎ ‎（2）如图所示为截面的平面图形，，是正棱台两底面的中心．‎ 由正棱台的定义，平面， 所以平面平面，．‎ 同理，平面平面，．‎ 记玻璃棒的另一端落在上点处．‎ 过作，为垂足，则．‎ 因为，，所以，‎ 从而．‎ 设，，则．‎ 因为，所以．‎ 在中，由正弦定理可得，解得． ‎ 因为，所以，‎ 于是 ‎．‎ 记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而．‎ 答：玻璃棒没入水中部分的长度为．‎ 评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．‎ 也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：‎ ‎，，所以，，‎ 所以由，，即，解得．‎ 答：玻璃棒没入水中部分的长度为．‎ ‎36.(2017北京理15)在中，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎36.解析 （1）在中，因为，，所以由正弦定理得.‎ ‎（2）因为，所以.由余弦定理，得，解得或（舍）.所以的面积.‎ ‎37.（2017全国1理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎37.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.‎ 解析 （1）因为的面积且，所以，‎ 即.‎ 由正弦定理得，由，得.‎ ‎（2）由（1）得，又，因为，‎ 所以.‎ 又因为，所以，，.‎ 由余弦定理得 ①‎ 由正弦定理得，，所以 ②‎ 由①，②，得，所以，即周长为.‎ ‎38.（2017全国2理17）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若，的面积为2，求 ‎ ‎38.解析 （1）依题得．‎ 因为，所以，所以，得（舍去）或.‎ ‎（2）由⑴可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而 ‎，即，解得．‎ ‎39.（2017全国3理17）的内角的对边分别为 ，已知，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎39.解析 （1）由，得，即，‎ 又，所以，得.由余弦定理得.‎ 又因为代入并整理得，解得.‎ ‎（2）因为，由余弦定理得.‎ 因为，即为直角三角形，则，得.‎ 从而点为的中点，.‎ ‎40.(2017浙江理14)已知，，. 点为延长线上的一点，，联结，则的面积是___________，__________.‎ ‎40.解析 如图所示，取的中点为，在等腰中，，所以，，‎ 所以的面积为．因为，所以是等腰三角形，所以，，解得．‎