2017-2018学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等四校高二下学期第二次联考试题(5月) 数学(理) Word版

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2017-2018学年福建省漳州市平和一中、南靖一中等四校高二下学期第二次联考试题(5月) 数学(理) Word版

‎“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 ‎2017—2018学年第二学期第二次月考 高二理科数学 考试时间120分钟。满分150分。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知是虚数单位,则所对应的点位于复平面内的 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知P是曲线上一点,则点P到直线距离的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列四个散点图中,相关系数最大的是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.已知随机变量~,且,则 ‎ A.0.15 B.0.35 C.0.85 D.0.3‎ ‎5.两个实习生每人加工一种零件.加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知, ,,若该班某学生的脚长为25,‎ 据此估计其身高为 ‎ A. 160 B. 165 C. 170 D. 175‎ ‎7.已知X的分布列如图:则的数学期望E(Y)等于 X ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的图象大致为 ‎ ‎ ‎ A B C D ‎9.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“红色骰子点数为3”,事件B为“蓝色骰子出现的点数是奇数”,‎ ‎ 则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若的展开式中的系数为80,则的展开式中各项系数的绝对值之和为 ‎ A.32 B.81 C.243 D.256‎ ‎11.5名教师分配到3个学校支教,每个学校至少分配1名教师,甲、乙两个老师不能分配到同一个学校, ‎ ‎ 则不同的分配方案有 ‎ A.60 种 B.72种 C.96 种 D.114种 ‎12.若对恒有,则实数的取值范围为 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13. .‎ ‎14.的展开式中常数项为 .‎ ‎15.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层三角形边茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上1束,下一层3束,再下一层6束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示第二层开始的每层茭草束数),则本问题中三角垛底层茭草总束数为______.‎ ‎16.已知定义域为R的函数的导函数为,且,,则不等式的解集为_____. ‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(12分)‎ 某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位:件),随机抽取近5年50天的销售量,统计结果如下:‎ 日销售量 ‎100‎ ‎150‎ 天数 ‎30‎ ‎20‎ 频率 若将上表中频率视为概率,且每天的销售量相互独立.则在这5年中:‎ ‎(1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示);‎ ‎(2)已知每件该商品的利润为20元,用X表示该商品某两天销售的利润和(单位:元),求X的分布列和数学期望.‎ ‎18.(12分)‎ 已知函数在处取得极值.‎ ‎(1)求,并求函数在点处的切线方程;‎ ‎(2) 求函数的单调区间.‎ ‎19.(12分)‎ 某学校参加某项竞赛仅有一个名额,结合平时训练成绩,甲、乙两名学生进入最后选拔,学校为此设计了如下选拔方案:设计6道测试题,若这6道题中,甲能正确解答其中的4道,乙能正确解答每个题目的概率均为.假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立,互不影响,现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答.‎ ‎(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率;‎ ‎(2)从数学期望和方差的角度分析,应选拔哪个学生代表学校参加竞赛?‎ ‎20.(12分)‎ 某企业响应号召,对现有设备进行改造,为了分析设备改造前后的效果,现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图,表1是设备改造后的样本的频数分布表.‎ 表1:设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎4‎ ‎36‎ ‎96‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎4‎ ‎ (1)完成下面的列联表,并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关;‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 ‎(2)根据图1和表1提供的数据,试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较;‎ ‎(3)根据市场调查,设备改造后,每生产一件合格品企业可获利元,一件不合格品亏损 元,用频率估计概率,则生产件产品企业大约能获利多少元?‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 附:‎ ‎21.(12分)‎ 已知.‎ ‎(1)若函数在R上单调递增,求实数的取值范围;‎ ‎(2)若,证明:当时,.‎ 参考数据:,.‎ ‎22.[选修:坐标系与参数方程] (10分) ‎ 在极坐标系中,曲线:,曲线: .以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数).‎ ‎(Ⅰ)求,的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)与,交于不同四点,这四点在上的排列顺次为,求的值.‎ ‎“平和、华安、长泰、南靖一中”四校联考 ‎2017-2018学年第二学期第二次月考 高二理文科数学参考答案 评分说明:‎ ‎1.本解答给只出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎3.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分,满分60分。‎ ‎1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D ‎7.A 8.C 9.A 10.C 11.D 12.A 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分,满分20分。‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.本小题满分12分.‎ 解:(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率 ‎. 5分 ‎(2) X的可能取值为4000,5000,6000.‎ ‎,,‎ ‎. 8分 所以X的分布列为 X ‎4000‎ ‎5000‎ ‎6000‎ P 数学期望(元). 12分 ‎18.本小题满分12分.‎ 解:(1)因为,所以. 1分 因为在 处取得极值,所以,即,‎ 解得所以. 3分 因为,,,‎ 所以函数在点处的切线方程为. 6分 ‎(2)由(1) ,‎ 令,即,解得,‎ 所以的单调递增区间为. 9分 令,即,解得或,‎ 所以的单调递减区间为,.‎ 综上,的单调递减区间为和,单调递增区间为. 12分 ‎19.本小题满分12分.‎ 解:(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P,‎ 则. 4分 ‎(2)设学生甲答对的题数为,则的所有可能取值为1,2,3.‎ ‎, , . 6分 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的分布列为:‎ 所以,‎ ‎. 8分 设学生乙答对的题数为,则的所有可能取值为0,1,2,3.‎ 则.‎ 所以,. 10分 因为,,‎ 即甲、乙答对的题目数一样,但甲较稳定,‎ 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛. 12分 ‎20.本小题满分12分.‎ 解:(1)根据图1和表1得到列联表:‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 ‎172‎ ‎192‎ ‎364‎ 不合格品 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 合计 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ ‎ 3分 将列联表中的数据代入公式计算得:‎ ‎. 5分 因为, ‎ 所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. 6分 ‎(2)根据图1和表1可知,设备改造后产品为合格品的概率约为,设备改造前产品为合格品的概率约为 ‎;即设备改造后合格率更高,因此,设备改造后性能更好. 9分 ‎ ‎(3)用频率估计概率,1000件产品中大约有960件合格品,40件不合格品,‎ ‎ ,所以该企业大约获利168800元. 12分 ‎21.本小题满分12分.‎ 解:(1)依题意. 1分 因为函数在上单调递增,所以在上恒成立,‎ 因此. 2分 令,则,‎ 令,解得,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以当时,取得最小值,‎ 故,即的取值范围为. 4分 ‎(2)证明:若,则,得,‎ 由(1)知在上单调递减,在上单调递增. 5分 又,,‎ ‎.‎ 所以存在,使得. 7分 所以当时,,当时,,‎ 则函数在单调递减,在单调递增.‎ 则当时,函数在上有最小值. 8分 由得,‎ 所以===. 10分 由于,‎ 所以.‎ 所以当时,. 12分 ‎22.本小题满分10分.‎ 解:(Ⅰ)因为, 1分 由得, 2分 所以曲线的直角坐标方程为. 3分 由得, 4分 所以曲线的直角坐标方程为: . 5分 ‎(Ⅱ)不妨设四个交点自下而上依次为,它们对应的参数分别为.‎ 把 代入,‎ 得,即, 6分 则,. 7分 把 代入,‎ 得,即, 8分 则,. 9分 所以. 10分 ‎ ‎
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