2019-2020学年重庆市北碚区高一上学期期末学生学业质量调研抽测数学试题

2019-2020学年重庆市北碚区高一上学期期末学生学业质量调研抽测数学试题

绝密★启用前 北碚区2019-2020学年(上)期末学生学业质量调研抽测 高一数学试卷 ‎（分数：150分 时间：120分钟）‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题 1. 下列五个写法：2，；；1，，2，；；，其中错误写法的个数为   ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 2. 设函数，则使得成立的x的取值范围是    ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 等比数列的各项均为正数，且，则    ‎ A. 12 B. ‎10 ‎C. 8 D. ‎ 4. 设函数，则下列结论错误的是 A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 A. B. C. D. ‎ 1. 已知，则的值等于 A. B. C. D. ‎ 2. 已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是 A. 关于直线对称 B. 关于点对称 C. 周期为 D. 在上是增函数 3. 函数在区间上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是   ‎ A. 7 B. ‎9 ‎C. 11 D. 12‎ 4. 设，过定点A的动直线和过定点B的直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 5. 设O为的外心，若，则M是的 A. 重心三条中线交点 B. 内心三条角平分线交点 C. 垂心三条高线交点 D. 外心三边中垂线交点 6. 给出下列命题： 第二象限角大于第一象限角； 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； 若，则与的终边相同； 若，则是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是   ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 7. 已知，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若对任意实数x，都有成立，则 A. B. ‎1 ‎C. D. 0‎ 二、填空题 1. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______．‎ 2. 已知向量，，，，若，则的最小值______．‎ 3. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则______． ‎ 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数具有性质______填入所有正确性质的序号 最大值为，图象关于直线对称； 图象关于y轴对称； 最小正周期为； 图象关于点对称； 在上单调递减．‎ 三、解答题 5. 已知函数． 判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论； 求函数在区间上的最大值与最小值． ‎ 1. 命题p：函数有意义，命题q：实数x满足． 当且为真，求实数x的取值范围； 若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ 2. 已知函数的 部分图象如图所示： 求的解析式； 求的单调区间和对称中心坐标； 将的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值． ‎ 3. 已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为．Ⅰ求椭圆的标准方程．Ⅱ若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围． ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 写出的普通方程和的直角坐标方程； 设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的直角坐标． ‎ 2. 已知函数，其中，，的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为． 求的解析式； 先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，试写出函数的解析式． 在的条件下，若总存在，使得不等式成立，求实数m的最小值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素，属于基础题． 根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对． 【解答】 解：对于，“”是用于元素与集合的关系，故错； 对于，是任意集合的子集，故对； 对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，两个集合是同一集合，故对； 对于，因为是不含任何元素的集合，故错； 对于，因为“”用于集合与集合，故错． 故错误的有，共3个， 故选C． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查对数不等式以及对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 由题意，可化为：，根据对数函数的性质，可得，即可求出结果． 【解答】 解：函数， 则不等式可化为， 可得，解得 ‎， 即使得成立的x的取值范围是． 故选B． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，属于基础题． 先根据等比中项的性质可知，进而根据，求得的值，最后根据等比数列的性质求得，则答案可得． 【解答】‎ 解：由等比数列的性质可得， ， ， 10 ​． 故选B．‎ ‎ 4.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础． 根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】 解：对于A，函数的周期为，，当时，周期，故A正确； 对于B，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为，且 ‎，则的一个零点为，故C正确； 对于D，当时，，此时函数有增有减，不是单调函数，故D错误． 故选D． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于中档题． 根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 由正弦定理可得， ， ，， ， ， ． 故选B． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用诱导公式，即可得结论． 【解答】 解：， ． 故选B． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题． 利用三角恒等变换化简的解析式，根据正弦函数的性质判断． 【解答】 解： ， 当时，， 不关于直线对称，选项A错误； 当时，， 关于点对称，不关于点对称，选项B错误； 得周期，选项C错误； 当时，， 在在上是增函数，选项D正确． 故选D． ‎ ‎8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目． 化函数为正弦型函数，求出函数的最小正周期T，根据在区间上至少取得2个最大值，得出a的取值范围，从而求出a的最小值． 【解答】‎ 解：函数 ， 函数的最小正周期为， 又在区间上至少取得2个最大值， ， 解得， 正整数a的最小值是7． 故选A．‎ ‎ 9.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题． 可得直线分别过定点和且垂直，可得三角换元后，由三角函数的知识可得． 【解答】 解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， P又是两条直线的交点，，‎ ‎． 设，则，， 由且，可得， ， ，， ， ， 故选B． 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：在中，O为外心，可得， ， 设AB的中点为D，则，， ，可得CM在AB边的高线上． 同理可证，AM在BC边的高线上， 故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心， 故选：C 设AB的中点为D，根据题意可得由题中向量的等式化简得，即CM在AB边的高线上．同理可证出AM在BC边的高线上，故可得M是三角形ABC的垂心． 本题给出三角形中的向量等式，判断点M是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题，是基础题． 根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】 解：对于，根据任意角的概念知， 第二象限角不一定大于第一象限角，错误； 对于，三角形的内角， 是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，错误； 对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角， 它们与扇形所对半径的大小无关，正确； 对于，若，则与的终边相同， 或关于y轴对称，错误； 对于，若，则是第二或第三象限的角， 或终边在x负半轴上，错误； 综上，其中正确命题是，只有1个． 故选A． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题． 利用的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值． 【解答】 解： ， 将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位， 得到的图象． 若对任意实数x，都有成立， 则的图象关于直线对称， 由，得，‎ ‎， 可得， 故选B． 13.【答案】12 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题． 由已知当时，，先求出，进而根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】 解：当时，， ， 又函数是定义在R上的奇函数，  ， 故答案为12． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的条件，属于基本题型． 由，可得：，再利用“乘1法”与基本不等式求解即可． 【解答】 解：， ，即， ，， ， 当且仅当时取等号， ‎ 的最小值是． 故答案为． 15.【答案】3 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题． 建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． ． 由与的夹角为，且． ，，． ， ， ． ， ，， 解得，， 则． 故答案为：3． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题． 利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论． 【解析】 解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象； 再向上平移1个单位长度，得到函数的图象． 对于函数： 它的最大值为，由于当时，，不是最值， 故的图象不关于直线对称，故错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故正确； 它的最小正周期为，故正确； 当时，，故函数的图象关于点对称，故正确； 当时，，单调递增，故错误， 故答案为． 17.【答案】解：在区间上是增函数． 证明如下： 任取，，且， ． ，， ，即 函数在区间上是增函数； ‎ 由知函数在区间上是增函数， 故函数在区间上的最大值为， 最小值为． ‎ ‎【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力． 利用函数的单调性的定义证明即可； 利用函数的单调性，求解函数的最值即可． 18.【答案】解：由得， 即，其中， 得，，则p：，； 若，则p：， 由解得， 即q：； 若为真，则p，q同时为真， 即，解得， 实数x的取值范围． 若是的充分不必要条件， 即q是p的充分不必要条件， 即是的真子集． ，且和不能同时成立， 解得， 实数a的取值范围为． ‎ ‎【解析】本题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断，考查学生的计算能力，属于中档题． 若，分别求出p，q成立的等价条件，利用为真，求实数x的取值范围； 利用是的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． ‎ ‎19.【答案】解：由图象可知 解得 又由于， 所以， 由， ， 又， 所以， 所以； 由知，， 令， 得， 所以的单调递增区间为， 令， 得， 所以的单调递减区间为， 令，得， 所以的对称中心的坐标为； 由已知的图象变换过程可得：， 因为， 所以， 所以当，得时，取得最小值 ‎， 当时，即时，取得最大值． ‎ ‎【解析】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求，由可求，即可得解的解析式； 令，得，可求的单调递增区间，令，得，可求的对称中心的坐标； 由已知的图象变换过程可得：，由，利用正弦函数的性质可求在上的最大值和最小值． 20.【答案】解：Ⅰ由题意，，椭圆的离心率为， ，， ， 椭圆的标准方程为   Ⅱ设，，， ， 点在椭圆上，，， ， 由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴， 当时，取最小值0， 当时，取最大值12． 的取值范围是． ‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．Ⅰ利用，椭圆的离心率为，求出几何量，即可求椭圆的标准方程．Ⅱ设，利用数量积公式求出，结合，即可求的取值范围． 21.【答案】解：曲线的参数方程为为参数， 移项后两边平方可得， 所以的普通方程为； 曲线的极坐标方程为， 即， 由，，可得， 即的直角坐标方程为直线； 由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为的最小值， 设与直线平行的直线方程为， 联立可得， 由直线与椭圆相切，可得， 解得， 显然时，取得最小值， 即有， 此时，解得， 即为 另解：设， 由P到直线的距离为 ， 当时，的最小值为， 此时可取，即有 ‎ ‎【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 运用两边平方和同角的平方关系，即可得到的普通方程，运用，，以及两角和的正弦公式，化简可得的直角坐标方程； 由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，取得最值．设与直线平行的直线方程为，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 22.【答案】解：， ，解得； 又函数图象上一个最高点为， ，， ，又， ， ； 把函数的图象向左平移个单位长度， 得到的图象， 然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变， 得到函数的图象， 即； ， ，， 依题意知，， ，即实数m的最小值为． ‎ ‎【解析】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于中档题． 依题意知，由此可求得；又函数图象上一个最高点为，可知，，结合可求得，从而可得的解析式； 利用函数的图象变换可求得函数的解析式； ，则，，依题意知，，从而可求得实数m的最小值． ‎