数学理卷·2019届陕西省汉中市汉台中学、西乡中学高二上学期期末联考（2018-01）

数学理卷·2019届陕西省汉中市汉台中学、西乡中学高二上学期期末联考（2018-01）

‎2017——2018学年度第一学期期末联考 高二数学试题（理科）‎ 命题人： 校对人：‎ 注意事项：‎ ‎1、试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，共4页。‎ ‎2、答第I卷前考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。‎ ‎3、第Ⅱ卷答在答卷纸的相应位置上，否则视为无效。答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚。‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，把答案填在答题卡上。‎ ‎ 1.已知a、b都是正实数, 那么""是"a>b"的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 ‎2.在等差数列{an}中，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ A、对任意，都有 B、不存在，都有 ‎ C、存在，使得 D、存在，使得 ‎ ‎4.已知向量的夹角为 ( )‎ ‎ A.0° B.45° C.90° D.180°‎ ‎5．已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 ‎,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．数列的前项和为=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知命题： ，命题，若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎8.如图所示，正方体中， 是的中点，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知正项等差数列中．若，若成等比数列，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知等差数列的公差，且 成等比数列，若，为数列的前项和，则 的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )‎ A.(，+) B.(，+) C. (，+) D.(0，+)‎ ‎12．抛物线的焦点为F，准线为，A、B是抛物线上的两个动点，且满足 ‎. 设线段AB的中点M在上的投影为N，则的最大值是（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎ 二、填空题(本大题4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上，只填结果，不要过程）‎ ‎ 13.若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝ ‎ ‎14.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是____.‎ ‎15.已知等比数列的前项和为，它的各项都是正数，且成等差数列，则= .‎ ‎16．已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点， .‎ ‎ 三、解答题：(本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡上，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) ‎ ‎17.（1）若，，，求证：.‎ ‎（2）已知实数，，且，若不等式，对任意的正实数恒成立，求实数的取值范围。‎ 18. 已知四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=AB=2，是棱的中点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2) 求证：；19.设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．‎ ‎(1)设L的斜率为1，求|AB|的大小；‎ ‎(2)求证：·是一个定值．‎ ‎20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，‎ ‎ AB=3，BC=5.‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（3）求点C到平面的距离.‎ ‎21.已知数列满足，，其中.‎ ‎（1）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22.已知直线与椭圆相交于A、B两点． ‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；‎ ‎（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．‎ ‎2017——2018学年度第一学期期末联考 高二数学试题（理科）‎ 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D C B C C B B C A B 二、 填空题：‎ 13. ‎ 6 14. 4 15. 81 16 . ‎ 三、解答题 ‎17.（1）证明：∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当且仅当时，等号成立..................................5分 （2） 因为为正实数，‎ 所以，当且仅当，，即，时等号成立，故只要即可，所以实数的取值范围是………………10分 ‎18.解：连结AC、BD交于点O，连结OP。‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD ‎∵PA=PC，∴OP⊥AC，同理OP⊥BD，‎ 以O为原点，分别为轴的正方向，‎ 建立空间直角坐标系 …………………2分 ‎ …………………6分 ‎…………………12分 ‎19.(1)解　∵F(1,0)，∴直线L的方程为y＝x－1，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.‎ ‎∴|AB|＝ ‎＝· ‎＝·＝8.……………5分 ‎(2)证明　设直线L的方程为x＝ky＋1，‎ 由得y2－4ky－4＝0.‎ ‎∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，‎ ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．‎ ‎∵·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2‎ ‎＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2‎ ‎＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.‎ ‎∴·是一个定值．……………12分 ‎20..证明：（1）因为为正方形，所以.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，‎ 所以⊥平面ABC. 4分 解：（2）由（1）知，⊥AC, ⊥AB.‎ 由题意知，所以.‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.‎ 设平面的法向量为，则即 令，则，所以.‎ 同理可得，平面的法向量为.‎ 所以.‎ 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. 8分 ‎（3）由（2）知平面的法向量为，‎ 所以点C到平面距离 12分 ‎21.解：（1）∵‎ ‎ (常数)，‎ ‎∴数列是等差数列．‎ ‎∵，∴，‎ 因此，‎ 由，得.……………6分 ‎（2）由，，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴、‎ ‎，‎ 依题意要使对于恒成立，只需，即，‎ 解得或，又为正整数，所以的最小值为3.……………12分 ‎22.解.（1）（5分），2c=2，即∴则 ‎∴椭圆的方程为， 将y =- x+1代入消去y得：‎ 设 ∴ ‎ ‎（2）（7分）设,，即 由，消去y得：‎ 由，整理得：‎ ‎ ‎ 由，得：‎ ‎，整理得：‎ ‎ 代入上式得：，‎ ‎ ‎ 条件适合，由此得： 故长轴长的最大值为．‎