陕西省汉中市重点中学2020届高三下学期4月开学第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

陕西省汉中市重点中学2020届高三下学期4月开学第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

高三数学试卷（文科）‎ 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求得集合，由此求得两个集合的并集.‎ ‎【详解】由，得，解得，,‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.若，则（ ）‎ A. 的实部大于的实部 B. 的实部等于的实部 C. 的虚部大于的虚部 D. 的虚部小于的虚部 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算计算即可.‎ ‎【详解】因为，所以的实部小于的实部，的虚部大于 的虚部.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ - 19 -‎ ‎3.设双曲线（）的焦距为12，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得关于的方程，解方程即可得答案.‎ ‎【详解】因为可化为，‎ 所以，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.若向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，由此求得.‎ ‎【详解】依题意，‎ 所以，‎ 两式相加得，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.‎ - 19 -‎ ‎5.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得.‎ ‎【详解】由于，，‎ 所以，故，‎ 解得.‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎6.如图所示的曲线图是‎2020年1月25日至‎2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（ ）‎ A. ‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 B. ‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 - 19 -‎ C. ‎2月2日后到‎2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例 D. ‎2月8日到‎2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于‎2月6日到‎2月8日的增长率 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线图可得ABC正确，‎2月8日到‎2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，‎2月6日到‎2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，D说法不正确.‎ ‎【详解】‎1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；‎ 由曲线图可知，‎1月25日至‎2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；‎ ‎2月2日后到‎2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；‎ ‎2月8日到‎2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，‎2月6日到‎2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.‎ 故选：ABC ‎【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化.‎ ‎7.若，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数运算公式化简已知条件，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】由于，‎ 所以，即，‎ - 19 -‎ 所以，两边平方得.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.‎ ‎8.哥德巴赫在‎1742年6月7日给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“” ．1966年，我国数学家陈景润证明了“”，获得了该研究的世界最优成果．若从大于10且不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则这两数之和超过30的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】大于且不超过的所有质数有：，共个，从中任取个，所有可能情况为，，，，共种.‎ 其中两数之和超过的有：，，共种.‎ 所以所求的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查古典概型计算，属于基础题.‎ ‎9.已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 由已知可得在上单调递增，结合二次函数的图象即可得到答案.‎ ‎【详解】函数的图象关于点对称且在上单调递增，所以在上单调 递增，所以对称轴，即.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.‎ ‎10.已知函数，则（ ）‎ A. 的最小正周期为 B. 曲线关于对称 C. 的最大值为2 D. 曲线关于对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，根据三角函数的性质逐一判断.‎ ‎【详解】，则.‎ 的最大值为，‎ 当时，，故曲线关于对称，‎ 当时，，故曲线不关于对称.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.‎ ‎11.如图，在正四棱柱中，，分别为 - 19 -‎ 的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则( )‎ A. 直线与直线异面，且 B. 直线与直线共面，且 C 直线与直线异面，且 D. 直线与直线共面，且 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 连接，，，，由正方体的特征得，‎ 所以直线与直线共面.‎ 由正四棱柱的特征得，‎ 所以异面直线与所成角为.‎ 设，则，则，，，‎ - 19 -‎ 由余弦定理，得.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎12.已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）‎ A. λ＜﹣16 B. λ＝﹣‎16 ‎C. ﹣12＜λ＜0 D. λ＝﹣12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.‎ ‎【详解】设， ‎ 联立 则，‎ 因为直线经过C的焦点， ‎ 所以.‎ 同理可得，‎ 所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。‎ 二、填空题 ‎13.分别为内角的对边.已知，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 由根据正弦定理有，可得答案.‎ ‎【详解】因为，所以，又，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化，属于基础题.‎ ‎14.若x，y满足约束条件，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.‎ ‎【详解】作出可行域，如图所示，‎ 则，故z的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.‎ ‎15.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，，，则四面体ABCD的体积为____，球O的表面积为____‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ ‎①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.‎ ‎【详解】因为AB，AC，AD两两垂直，且，，，‎ 所以四面体ABCD的体积，‎ 该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，‎ 直径为该长方体的体对角线长 球O的表面积为.‎ 故答案为：①1，②‎ ‎【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍.‎ ‎16.函数的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合换元法以及利用导数求得的最小值.‎ ‎【详解】令，函数变为，‎ ‎，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ 所以，‎ 也即函数的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y - 19 -‎ 关于x的线性回归方程为．‎ x（万元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎21‎ y（十万元）‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.7‎ ‎2‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ ‎2.9‎ ‎（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）．‎ ‎（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为．‎ ‎（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；‎ ‎（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大．‎ ‎【答案】（1）；产品投入成本万元后的收入估计值为（单位：十万元）.（2）（i）产品投入成本万元后的毛利率为；（ii）产品投入成本万元后的毛利率的毛利率更大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入回归直线方程，求得，并由此对销售收入进行估计.‎ ‎（2）‎ ‎（i）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率.‎ ‎（ii）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率，由此判断出毛利率更大的产品.‎ ‎【详解】（1）依题意，，‎ 代入回归直线方程，得 ‎，‎ - 19 -‎ 解得，所以，‎ 令，可得（单位：十万元）‎ ‎（2）‎ ‎（i）由于，‎ 所以当时，（单位：十万元），‎ 故毛利率为.‎ ‎（ii）由（1）得当时，（单位：十万元），‎ 故毛利率为 所以产品的毛利率更大.‎ ‎【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行估计，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎18.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得，，联立解方程可得数列的通项公式；‎ ‎（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.‎ ‎【详解】解：（1）因为，，所以，， ‎ 依题意可得，， ， ‎ - 19 -‎ 故；‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 故 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.‎ ‎19.如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，，，，.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）求三棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明平面，只需证明，即可；‎ ‎（2）只需计算，，的面积，相加即可.‎ ‎【详解】（1）证明：因为为的中点，，‎ 所以，‎ 所以，从而.‎ 又，，‎ 所以底面，所以.‎ - 19 -‎ 因为四边形是正方形，所以.‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）由（1）知平面，因为∥，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 所以的面积为.‎ 易证，‎ 所以的面积为.‎ 故三棱锥的侧面积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及三棱锥侧面积的计算问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），分，，，四种情况讨论即可；‎ ‎（2）当，易得在上单调递增，而，，利用函数单调性只需解不等式即可.‎ ‎【详解】（1）.‎ 当时，，则在上单调递增.‎ 当时，令，得.‎ ‎（i）当时，，‎ - 19 -‎ 令，得；令，得.‎ 所以得单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（ii）当时，，‎ 令，得；令，得或.‎ 所以得单调减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（iii）当时，，‎ 令，得；令，得.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）因为，所以，当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 解得，故所求不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性解不等式的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.‎ ‎21.已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.‎ ‎（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.‎ ‎（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线 - 19 -‎ 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.‎ ‎【详解】（1）证明：∵椭圆经过点，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 此时椭圆的离心率.‎ ‎（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.‎ 当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.‎ ‎∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为.‎ 由，得，‎ - 19 -‎ ‎.‎ 设，，则，.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴到直线的距离.‎ 综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.‎ ‎【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（2）若点P极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ ‎（1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方程；‎ ‎（2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）由，得， ‎ 即，所以，‎ 即，故曲线C的极坐标方程为. ‎ ‎（2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，‎ 故可设AB的参数方程为（为参数）.‎ 将代入，得， ‎ 设点对应的参数分别为，‎ 则，， ‎ 所以， ‎ 故的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求a2+b2+c2的最小值．‎ - 19 -‎ ‎【答案】（1）{x|x≥2或x≤0}．（2）最小值为1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去绝对值将函数写成分段函数形式，分别解不等式即可；（2）分析函数单调性求出最小值m，利用柯西不等式即可求得最小值.‎ ‎【详解】（1）．‎ ‎∵，∴或或，‎ 解得或，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x≥2或x≤0}．‎ ‎（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，则，‎ 由柯西不等式，有，‎ ‎∴，当且仅当‎2a＝b＝c，即a，b＝c时取等号，‎ ‎∴的最小值为1．‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.‎ - 19 -‎