四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期3月线上月考数学（理）试题

四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期3月线上月考数学（理）试题

南充高中高2018级第四学期第一次月考（线上）‎ 数学试题（理科）‎ 一、选择题 ‎1．设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A．（1,2） B．（1,2] C．（-2,1） D．[-2,1)‎ ‎2. 设为虚数单位，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 命题“，使”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎4. 设，则“”是“” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（　　）‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎8．已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知平面，的法向量分别为和（其中），若，则的值为（ ）‎ A． B．‎-5 ‎C． D．5‎ ‎10．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎11. 正方体的棱长为1，点在棱上，且，点在平面上，且动点到直线的距离的平方与点到点的距离的平方的差为，在以、为坐标轴的平面直角坐标系中，动点的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 ‎12. 己知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13 若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则____________.‎ ‎14．圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为________.‎ ‎15．设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为______.‎ ‎ 16．已知椭圆方程为：，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（O为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.‎ 三、解答题 ‎17．已知。‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）分别求；‎ ‎（3）试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.‎ ‎18．在公差为的等差数列中，，，，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎19. ‎ 在新冠肺炎疫情的影响下，南充高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，高二年级的甲、乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86．‎ ‎（1）求出x，y的值，且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、，并根据结 果，你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛？‎ ‎（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名．求至少有1名来自甲班的概率．‎ ‎20. 如图：在四棱锥中，平面.，，.点是与的交点，点在线段上且. ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的正切值.‎ ‎21. 已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l的方程.‎ ‎22 已知椭圆C:的离心率为，且经过（-1，）。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）过点（，0）做直线l与椭圆C交于不同两点A,B,试问在X轴上是否存在点Q,使得直线QA与直线QB关于X轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。‎ 理科答案 一、选择题（每小题5分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D D A A D B B D D D B C ‎12 设，由，知，‎ 因为在椭圆上，，‎ 所以四边形为矩形，；‎ 由，可得，‎ 由椭圆的定义可得①，‎ 平方相减可得②，‎ 由①②得；‎ 令 令 所以 即，‎ 所以 ‎ 所以 所以 解得，‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13 3 14 ‎ ‎15 16 ‎ 设双曲线的焦距为，如下图所示：‎ 取的中点，设，由于，，‎ 所以，为等腰直角三角形，且，‎ 为的中点，所以，，‎ 由双曲线的定义得，，‎ 又，，可得，‎ ‎，，，‎ 在中，由勾股定理得，则有，可得，因此，该双曲线的离心率为.‎ ‎16由题意可设椭圆方程为，‎ 又设A（，），B（，），‎ 因为M点在该椭圆上，‎ ‎∴，则 ‎ ‎ 又因为A、B点在也该椭圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即直线OA、OB的斜率乘积为，‎ 三、解答题 ‎17 解：(1) ∵‎ ‎∴‎ ‎ ………………………………………………………………………(2分)‎ ‎(2).………………（4分）‎ ‎.………………（6分）‎ ‎(3)由(1)(2)猜想一般结论是： .………………………………（8分）‎ 证明如下： .‎ ‎.………………………………………………………（10分）‎ ‎18 解：（1）∵，，，且，‎ ‎∴或 ………………………………（3分）‎ 当时，；‎ 当时，. ……………………………………（6分）‎ ‎（2）∵，，成等比数列，∴， ‎ ‎∴， …………………………………………………………………………（8分）‎ 则，‎ 故.……（12分）‎ ‎19（1）甲班的平均分为，易知．（2分）‎ ‎；又乙班的平均分为，∴； ……………（4分）‎ ‎∵，，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加．…………（6分）‎ ‎（2）分及以上甲班有人，设为；乙班有人，设为， （8分）‎ 从这人中抽取人的选法有：，共 种，其中甲班至少有名学生的选法有种，则甲班至少有名学生被抽到的概率为． （12分）‎ ‎20证明：（1）∵在四棱锥中，平面.， ，.点是与的交点， ， ∴在正三角形中，， 在中，∵是中点，， ，又， ， ， ∵点在线段上且，‎ ‎， 平面，平面， ∴平面． ………………………………………………………… （4分） （2）， 分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ ‎，‎ 设直线与平面所成角为， 则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为； …………………………（8分）‎ ‎（3）由（2）可知，为平面的法向量，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，解得，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 故二面角的正切值为.…………………………………………（12分）‎ ‎21 (1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为， ‎ 因为准线过点，所以，即. ‎ 所以抛物线C的方程为.………………………………………………（4分）‎ ‎(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.‎ 当直线l的斜率不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；…………（6分）‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，‎ 过点P的直线平行直线且与抛物线C相切. ‎ 设该切线方程为，‎ 代入，可得.‎ 由，得.‎ 由，整理得，………………………………………………（9分）‎ 又，解得，即.‎ 因此，直线l方程为.……………………………………………………（12分）‎ ‎22 ‎