数学卷·2019届吉林省松原市实验高级中学高二上学期期中考试（2017-11）
2017-2018学年度上学期高二期中考试数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（ ）
A. B. C. D.
2．下列给出的输入语句和输出语句中，正确的是( )
①INPUT a，b，c，d，e ②INPUT X＝1
③PRINT A＝4 ④PRINT 10，3*2，2/3
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶
4．从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、如图是2013年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A. 84,4.84 B. 84,1.6 C. 85,1.6 D. 85,4
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线分别为，过作于点，过作于点为原点，若是边长为的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是( )
A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋ C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－
9．如图是判断“美数”的流程图，在[30，50]内的所有整数中，“美数”的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10. 下列选项中，说法正确的是( )
A．命题“若am2
0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
11. 焦点为的抛物线： 的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A. 或 B. C. 或 D.
12、在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.A是圆上固定的一点，在圆上其它位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为
14.在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k= ．
15．已知中心在原点，焦点坐标为(0，±5
)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得 的弦的中点的横坐标为 ，则该椭圆的方程为________．
16. 以直线x＋2y＝0为渐近线，且截直线x－y－3＝0所得弦长为的双曲线的标准方程是________.
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分)。
17.（本题满分10分）已知 c>0, 设命题p：指数函数在实数集R上为减函数，命题q：不等式在R上恒成立．若命题p或q是真命题, p且q是假命题,求c的取值范围．
18.（本题满分12分）假设某种设备使用的年限x(年)与所支出的维修费用y(元)有以下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
如果由资料知y对x呈线性相关关系．试求：
(1)，；
(2)线性回归方程＝x＋；
(3)估计使用10年时，维修费用是多少？
附：线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，
19.（本题满分12分）把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位：米)进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.15)，[6.15，7.05)，[7.05，7.95)，[7.95，8.85)，[8.85，9.75)，[9.75，10.65]，并绘制出频率分布直方图，如图3所示是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数；
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；
(3)若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a、b 两位同学的成绩均为优秀，求a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率．
20.（本题满分12分）如图所示，斜率为1的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A，B两点，M为抛物线弧AB上的动点．
(1)若|AB|＝8，求抛物线的方程；
(2)求S△ABM的最大值．
21.（本题满分12分）已知椭圆过点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
22.（本题满分12分）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2＋＝0.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l：x－y－3＝0相切，求椭圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
高二上学期期中考试数学参考答案
满分:150分 考试时间:120分钟
一、选择题答案（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
D
D
B
C
C
A
C
D
A
C
二、填空题答案（每题5分，共20分）
13、 14、 5
15、＋＝1 16、－y2＝1.
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17、（本题满分10分）。【解析】当正确时，
∵函数在上为减函数 ，
∴当为正确时，； 。。。。。。。。。 2分
当正确时，
∵不等式的解集为，
∴当时，恒成立．
∴，∴
∴当为正确时，． 。。。。。。。。。 4分
由题设，若和有且只有一个正确，则
（1）正确不正确，∴； 。。。。。。。。。 6分
（2）正确不正确, ∴ 。。。。。。。。。 8分
∴综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是。。。。。。。10分
18. 解：(1)＝4，＝5. 。。。。。。。。。 2分
(2) 由已知可得：x＝90，xiyi＝112.3，
＝＝＝1.23.
于是＝－＝5－1.23×4＝0.08.
所求线性回归方程为：＝1.23x＋0.08. 。。。。。。。。。 10分
(3)由(2)可得，当x＝10时，
＝1.23x＋0.08＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．
即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 。。。。。。。。。 12分
19. 【解】 (1)∵第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.
∴参加这次铅球投掷的总人数为＝50.
根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为
(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36. 。。。。。。。。。 4分
(2)∵成绩在第1、2、3组的人数为(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成绩在第5、6组的人数为(0.30＋0.14)×50＝22，参加这次铅球投掷的总人数为50，
∴这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95，8.85)内，即第4组．。。。。。。。。。 8分
(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a、b、c、d、e，则选出2人的所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7种，
∴a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率为P＝. 。。。。。。。。。12分
20.解 (1)由条件知lAB：y＝x－，与y2＝2px联立，消去y，得x2－3px＋p2＝0，则x1＋x2＝3p.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
又因为|AB|＝8，即p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x. 。。。。。。。。。 4分
(2)方法一：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设M(，y0)，则M到AB的距离为d＝
.
因为点M在直线AB的上方，所以－y0－<0，
则d＝＝
＝＝.
当y0＝p时，dmax＝p.
故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2.
方法二：由(1)知|AB|＝4p，且lAB：y＝x－，设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋m，代入抛物线方程，得x2＋2(m－p)x＋m2＝0.由Δ＝4(m－p)2－4m2＝0，得m＝.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y＝x＋，两直线间的距离为d＝＝p，
故S△ABM的最大值为×4p×p＝p2. 。。。。。。。。。 12分
21.解（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．
因为点在椭圆上，所以．故．
又因为，所以， ．
所以椭圆的标准方程为: ． 。。。。。。。。。 4分
（Ⅱ）设， ，线段中点为．
联立和，得: ．
由，可得．
所以， ．
所以中点为．
弦长 ，
又直线与轴的交点，
所以．
所以 ．
所以、两点间距离为定值． 。。。。。。。。。 12分
22. 解：(1)设Q(x0,0)，由F2(c,0)，A(0，b)
知＝(－c，b)，＝(x0，－b)
∵⊥，∴－cx0－b2＝0，x0＝－，
由于2＋＝0，即F1为F2Q中点．
故－＋c＝－2c，∴b2＝3c2＝a2－c2，
故椭圆的离心率e＝ 。。。。。。。。。 3分
(2)由(1)知＝，得c＝a于是F2(a,0)，Q(－a,0)，
△AQF的外接圆圆心为(－a,0)，半径r＝|FQ|＝a
所以＝a，解得a＝2，∴c＝1，b＝，
所求椭圆方程为＋＝1. 。。。。。。。。。 7分
(3)由(2)知F2(1,0) l：y＝k(x－1)
代入得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1≠x2，则x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，y2－y1＝k(x2－x1).＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)
由于菱形对角线垂直，则(＋)·＝0，∴(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0，即(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0.
故k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0
则k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0
k2(－2)＋－2m＝0
由已知条件知k≠0且k∈R
∴m＝＝ ∴0
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