宁夏中卫市海原县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

宁夏中卫市海原县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

海原一中2019--2020学年第一学期第三次月考 高二数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12个小题，各5分，共60分）‎ ‎1.若命题“”为假，且“”为假，则 A. 或为假 B. 真 C. 假 D. 不能判断的真假 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.‎ 考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.‎ ‎2.已知，内角的对边分别是，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据正弦定理求解即可．‎ ‎【详解】解：∵，，，‎ ‎∴，，‎ 由正弦定理得： ，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题．‎ ‎3.顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线标准方程但要注意抛物线开口方向进行分类讨论.‎ ‎【详解】∵抛物线的顶点在原点，且过点，‎ ‎∴设抛物线的标准方程为（）或（），‎ 将点的坐标代入抛物线的标准方程（）得：，‎ ‎∴，∴此时抛物线的标准方程为；‎ 将点的坐标代入抛物线的标准方程（），同理可得，‎ ‎∴此时抛物线的标准方程为.‎ 综上可知，顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是或．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线标准方程的确定，在解题中要对抛物线性质熟练掌握，利用分类讨论思想对开口向上、向左分别计算求解.‎ ‎4.在△ABC中，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合三角形内角和定理可得再利用正弦定理及特殊角的三角函数可得结果.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以 ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理以及特殊角的三角函数，属于基础题.‎ ‎5.若满足条件，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，表示直线在轴上截距，只需求出可行域内直线在轴上的截距最大值即可．‎ ‎【详解】解：由题意，画出可行域如图 目标函数表示直线在轴上的截距，‎ 由图可知，当直线经过点时，有最大值；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎6.设是等差数列的前项和，已知，，则等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意有，解得，所以.‎ 考点：等差数列的基本概念.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．‎ ‎7.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由双曲线可得：‎ 即，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程是 故选A ‎8.不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为x-3 x -4=，所以不等式的解集为．‎ 考点：本题考查一元二次不等式的解法．‎ 点评：在解一元二次不等式时，要注意二次项系数与两根的大小．‎ ‎9.如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加法、减法的几何意义，可以把用已知的一组基底表示.‎ ‎【详解】.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量用一组已知基底进行表示.‎ ‎10.如果表示焦点在轴上椭圆，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在 轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.‎ ‎【点睛】本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎11.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为渐近线为且焦点在y轴上，所以所以=．‎ 考点：本题考查 点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出．‎ ‎12.对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，不等式为一元一次不等式，可求得解集不为，不满足题意；当时，根据一元二次不等式与二次函数图象的关系可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】当时，，解得：‎ 不等式不恒成立，不合题意 当时，由对一切实数恒成立可得：‎ ‎，解得：‎ 综上所述：的取值范围为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够根据二次函数的图象得到开口方向和判别式的要求；易错点是忽略二次项系数为零的情况，造成求解错误.‎ 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13.已知向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出 ‎【详解】，存在实数使得，‎ ‎，解得 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查的是共线向量和平行向量，解题的关键是根据，得到存在实数使得，属于基础题．‎ ‎14.已知，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎∵x>1∴x−1>0‎ 由基本不等式可得，，‎ 当且仅当即x−1=1时，x=2时取等号“=”‎ 答案为3.‎ 点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎15.等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前4项和为______．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的运算公式，结合已知条件，先求得的值，进而求得的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】q3==27，∴q=3，∴a1==3，∴S4==120‎ 故答案为120‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎16.下列说法中 ‎①．对于命题：存在，则：；‎ ‎②．命题“若，则函数在上是增函数”的逆命题为假命题；‎ ‎③．若真命题，则均为真命题；‎ ‎④．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”．‎ 错误的是________‎ ‎【答案】③.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①．特称命题的否定是全称命题，否定时要将存在量词改为全称量词，还要否定结论；‎ ‎②．写出原命题的逆命题，再判断真假；‎ ‎③．若真命题，则必有一个为真命题，即可判断出；‎ ‎④．利用逆否命题的含义即可得出．‎ ‎【详解】解：∵：存在，，是一个特称命题，由特称命题的否定是全称命题得，：任意，，故①对；‎ 命题“若，则函数在上是增函数”的逆命题为“若函数在上是增函数，则”，是一个假命题，故②对；‎ 若为真命题，则、至少有一个是真命题，可以有一个是假命题，故③错；‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故④对；‎ 故答案为：③．‎ ‎【点睛】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、指数函数的单调性，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）.‎ ‎17.已知点的坐标分别是，，直线相交于点，且它们斜率之积是，求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状．‎ ‎【答案】，的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的双曲线(不包括轴两个端点).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接用代入法求轨迹方程，步骤是“建设现（限）代化”，然后再判断轨迹的形状．‎ ‎【详解】设，‎ ‎∵点的坐标分别是，‎ ‎∴直线的斜率，‎ 同理，直线的斜率，‎ ‎∴，‎ 化简，得点的轨迹方程是 ‎，‎ ‎∴的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的双曲线(不包括两个顶点)．‎ ‎【点睛】本题主要考查用代入法求轨迹方程，一般步骤是“建系、设点、限定条件、代点、化简”，记忆口诀是“建设现（限）代化”，另外本题是人教A版教材上一道探究题，属于基础题．‎ ‎18.在正方体中,为的中点,为四边形的中心．求证：对上任一点,都有．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，利用向量法证明．‎ ‎【详解】证：以点为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设正方体的棱长为，则，，，‎ 设，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即对上任一点，都有．‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线垂直问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19.在三角形中，角的对边分别是，且，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，且，求.‎ ‎【答案】（1）；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦，余弦的关系，以及tanC的值，确定cosC的值．‎ ‎（2）利用向量数量积以及余弦定理得到c的值．‎ ‎【详解】（1）由，得，又∵tanC＞0，∴C为锐角，∴．‎ ‎（2）∵，∴，∴ab＝20，又∵a+b＝9‎ ‎∴a2+2ab+b2＝81，∴a2+b2＝41，又，∴c＝6．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的基本关系以及余弦定理，向量数量积等知识的综合应用，属于基础题．‎ ‎20.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线,直线与椭圆相交于点，求的长.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得椭圆的标准方程，得点的坐标，根据点斜式写出直线的方程，设，联立直线与椭圆的方程消元，得韦达定理结论，利用弦长公式即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）设，‎ 由题意得，椭圆的标准方程为，∴为，‎ 直线过左焦点且倾斜角为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 联立方程组，消元得：，‎ 则，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知数列是等比数列，是和的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的公比为，由等比数列的通项公式和等差中项的定义即可求出结论；‎ ‎（2）由（1）得，再用错位相减法求和即可．‎ ‎【详解】解：（1）设数列的公比为，‎ 因为，所以，，‎ 由是和的等差中项得，‎ ‎，‎ 化简得，‎ ‎∴，或（舍），‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎∵，‎ ‎∴…，‎ ‎…，‎ ‎∴…‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与等差中项，考查错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎22.四棱锥中，底面为矩形，底面，，，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以点为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间坐标系，利用向量法证明，，从而得证；‎ ‎（2）连接，则为直角三角形，则即为直线与平面所成角，解三角形即可．‎ ‎【详解】（1）证：以点为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间坐标系，‎ 则，，，，，‎ 则，，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 又，平面，平面，‎ 平面；‎ ‎（2）由（1）可得平面，‎ 连接，则为直角三角形，‎ 则即为直线与平面所成角，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴直线与平面所成角为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查直线与平面所成角的求法，属于中档题．‎ ‎ ‎