【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考（文）

【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考（文）

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年 高二下学期4月月考（文）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，‎ 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 A.三个内角都不大于60°‎ B.三个内角都大于60°‎ C.三个内角至多有一个大于60°‎ D.三个内角至多有两个大于60°‎ ‎2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理 A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 ‎3.曲线的中心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎4.已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为 A.e B.－e C. D.－ ‎5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 A.－e B.－1‎ C.1 D.e ‎6.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 A.28 B‎.76 ‎ C.123 D.199‎ ‎7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好”；‎ 乙说：“我们四人中有人考的好”；‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；‎ 丁说：“我没考好”.结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是 A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙 ‎8.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 A.(－1，1) B.(－1，＋∞)‎ C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)‎ ‎9.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 A.(－∞，2] B.(－∞，2) ‎ C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)‎ ‎10.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0‎ C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0‎ ‎11.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为 A.－1 B.－2e－‎3 ‎ C.5e－3 D.1‎ ‎12.已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为 A.1 B.1－e C.e－1 D.e+1‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.‎ ‎14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.‎ ‎15.＋与2＋的大小关系为________.‎ ‎16.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题10分）‎ 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤ 18. ‎（本小题12分）‎ 已知函数f(x)＝－aln x，a∈R，讨论f(x)的单调性.‎ ‎19.（本小题12分）‎ 已知a∈R，若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围.‎ ‎20.（本小题12分）‎ 已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎(1)写出直线l与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，过点F(，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.‎ ‎21.（本小题12分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 22． ‎（本小题12分）‎ 已知f(x)＝(1－x)ex－1.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值；‎ ‎(2)设g(x)＝，x>－1且x≠0，证明：g(x)<1.‎ 参考答案 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，‎ 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 A.三个内角都不大于60°‎ B.三个内角都大于60°‎ C.三个内角至多有一个大于60°‎ D.三个内角至多有两个大于60°‎ 答案　B ‎2.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理 A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确 答案　C 3. 曲线的中心在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】D ‎4.已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为 A.e B.－e C. D.－ 答案　C ‎5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 A.－e B.－1‎ C.1 D.e 答案　B ‎6.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 A.28 B‎.76 ‎ C.123 D.199‎ 答案　C ‎7.老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好”；‎ 乙说：“我们四人中有人考的好”；‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；‎ 丁说：“我没考好”.‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是 A.甲，丙 B.乙，丁 C.丙，丁 D.乙，丙 解析　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为D.‎ 答案　D ‎8.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 A.(－1，1) B.(－1，＋∞)‎ C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)‎ 答案　B ‎9.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 A.(－∞，2] B.(－∞，2) ‎ C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)‎ 答案　B ‎10.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0‎ C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0‎ 答案　B ‎11.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为 A.－1 B.－2e－‎3 ‎ C.5e－3 D.1‎ 答案　A ‎12.已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为 A.1 B.1－e C.e－1 D.e+1‎ 答案　B 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.‎ 答案　6n＋2‎ ‎14.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.‎ 答1∶8‎ ‎15.＋与2＋的大小关系为________.‎ 答案　＋>2＋ ‎16.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(－3，0)∪(0，＋∞)‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（本小题10分）‎ 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤ 证明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ 18. ‎（本小题12分）‎ 已知函数f(x)＝－aln x，a∈R，讨论f(x)的单调性.‎ 解　因为f(x)＝－aln x，所以x∈(0，＋∞)，‎ f′(x)＝x－＝.‎ ‎(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.‎ ‎(2)当a>0时，f′(x)＝，则有 ‎①当x∈(0，)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，).‎ ‎②当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(，＋∞).‎ 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.‎ 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).‎ ‎19.（本小题12分）‎ 已知a∈R，若函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围.‎ 解　因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，‎ 所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立.‎ 因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，‎ 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.‎ 因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，‎ 则a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1，1)都成立.‎ 令g(x)＝(x＋1)－，则g′(x)＝1＋＞0，‎ 所以g(x)＝(x＋1)－在(－1，1)上单调递增，‎ 所以g(x)＜g(1)＝(1＋1)－＝，‎ 所以a≥，又当a＝时，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0，‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎20.（本小题12分）‎ 已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为 (t为参数).‎ ‎(1)写出直线l与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，过点F(，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.‎ 解　(1)直线l的普通方程2x－y＋2＝0.‎ 曲线C的普通方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)由得 代入曲线C，得x′2＋4y′2＝4，即＋y′2＝1.‎ 则曲线C′的方程为＋y2＝1表示椭圆.‎ 由题设，直线AB的参数为(t为参数).‎ 将直线AB的参数方程代入曲线C′：＋y2＝1.‎ 得t2＋t－1＝0，则t1·t2＝－，‎ ‎∴|FA|·|FB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝.‎ ‎21.（本小题12分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解　(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 又曲线C2：ρsin＝2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.‎ d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 22． ‎（本小题12分）‎ 已知f(x)＝(1－x)ex－1.‎ ‎(1)求函数f(x)的最大值；‎ ‎(2)设g(x)＝，x>－1且x≠0，证明：g(x)<1.‎ ‎(1)解　f′(x)＝－xex.‎ 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.‎ 所以f(x)的最大值为f(0)＝0.‎ ‎(2)证明　由(1)知，当x>0时，f(x)<0，g(x)<0<1.‎ 当－1x.‎ 设h(x)＝f(x)－x，则h′(x)＝－xex－1.‎ 当x∈(－1，0)时，0<－x<1，0h(0)＝0，即g(x)<1.‎ 综上，当x>－1且x≠0时总有g(x)<1.‎