2018-2019学年河南省豫西名校高二上学期第一次联考数学试题（解析版）
河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第一次联考数学试题（解析版）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 等比数列{an}中，16a6=a2，则公比q=( )
A. 12 B. ±12 C. 2 D. ±2
【答案】B
【解析】解：∵等比数列{an}中，16a6=a2，
∴16a1q5=a1q，
解得q=±12．
故选：B．
利用等比数列通项公式能求出公比q．
本题考查数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知a=2，b=6，A=π4，则B=( )
A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π3
【答案】D
【解析】解：∵a=2，b=6，A=π4，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：sinB=b⋅sinAa=6×222=32．
∵b>a，可得：B∈(π4,π)，
∴B=π3或2π3．
故选：D．
由已知即正弦定理可得sinB=32，由b>a，可得范围B∈(π4,π)，即可得解B的值．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则S9=( )
A. 90 B. 54 C. -54 D. -72
【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=2，a5=3a3，
∴2+4d=3(2+2d)，解得d=-2．
∴S9=9×2+9×82×(-2)=-54．
故选：C．
利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用前n项和公式即可得到S9．
熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题的关键．
1. 在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2-x-6=0的两根，则a5⋅a6的值为( )
A. 6 B. -6 C. -1 D. 1
【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{an}中，a2，a9是方程x2-x-6=0的两根，
∴a5⋅a6=a2⋅a9=-6．
∴a5⋅a6的值为-6．
故选：B．
利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．
本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 等差数列{an}的前n项和为Sn，己知S4=30，S8=100，则S12=( )
A. 110 B. 200 C. 210 D. 260
【答案】C
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=30，S8=100，
由等差数列的性质得S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，
∴30，100-30=70，S12-100成等差数列，
∴30+(S12-100)=2×70，
解得S12=210．
故选：C．
由等差数列的性质得S4，S8-S4，S12-S8成等差数列，从而30，100-30=70，S12-100成等差数列，由此能求出S12的值．
本题考查等差数列的前12项和求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3. 设a，b，c为△ABC的内角所对的边，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且a=3，那么△ABC外接圆的半径为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】解：∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc，
∴(b+c)2-a2=3bc，可得：b2+c2-a2=bc，
∴cosA=b2+c2-a22bc=12，
又∵A∈(0,π)，
∴A=π3，
∵a=3，
∴由正弦定理可得：2R=asinA=332=2，可得：R=1．
故选：A．
由已知等式化简可得：b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求cosA，结合范围A∈(0,π)，可求A=π3，由正弦定理可得R的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
1. 已知无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7>S6，S7>S8那么( )
A. {an}中a7最大 B. {an}中a3或a4最大
C. 当n≥8时，an<0 D. 一定有S3=S11
【答案】C
【解析】解：∵无穷等差数列{an}中，它的前n项和Sn，且S7>S6，S7>S8，
∴由S7>S6，知a7=S7-S6>0，
由S7>S8，知a8=S8-S7<0，
∴d=a8-a7<0，
∴当n≥8时，an<0．
故选：C．
由S7>S6，知a7>0，由S7>S8，知a8<0，从而d<0，由此得到当n≥8时，an<0．
本题考查命题真假的判断，考查等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．
2. 甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60∘的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A. 514小时 B. 57小时 C. 145小时 D. 75小时
【答案】A
【解析】解：假设经过x小时两船相距最近，
甲乙分别行至C，D处如图所示；
可知BC=10-4x，BD=6x，∠CBD=120∘；
∴CD2=BC2+BD2-2BC⋅BD⋅cos∠CBD
=(10-4x)2+36x2-2⋅(10-4x)⋅6x⋅(-12)
=28x2-20x+100，
当x=202×28=514时，CD2
的值最小，即两船距离最小．
故选：A．
设经过x小时距离最小，分别表示出甲、乙距离B岛的距离，由余弦定理求出两船的距离，
再根据二次函数求最值的方法可得到答案．
本题主要考查了余弦定理的应用问题，解题的关键是画出图形，建立函数关系，是基础题．
1. 在△ABC中，sinA⋅sinB=cos2C2，则△ABC的形状一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，sinA⋅sinB=cos2C2=1+cosC2，
∴-12[cos(A+B)-cos(A-B)]=1+cosC2，
即12cos[π-(A+B)]+12cos(A-B)=1+cosC2，
整理得：cosC2+12cos(A-B)=1+cosC2，
∴cos(A-B)=1，A=B，
∴△ABC为等腰三角形，
故选：B．
利用二倍角公式与积化和差公式，可得cos(A-B)=1，从而可得答案．
本题考查三角形形状的判断，着重考查二倍角公式与积化和差公式，属于中档题．
2. 两等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=n+12n，则a8b5=( )
A. 45 B. 67 C. 89 D. 2
【答案】C
【解析】解：∵两等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=n+12n，
∴由等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，
依题意有Sn=An(n+1)，Tn=2An2，
∴a8=S8-S7=72A-56A=16A，
b5=T5-T4=50A-32A=18A，
∴a8b5=89．
故选：C．
由等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，依题意有Sn=An(n+1)，Tn=2An2，a8=S8-S7=72A-56A=16A，b5=T5-T4=50A-32A=18A，由此能求出结果．
本题考查两个等差数的第8项与第5项的比值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
1. 已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S=a2-(b-c)2，bc=4，则S=( )
A. 2 B. 4 C. 3 D. 23
【答案】A
【解析】解：∵4S=a2-(b-c)2，bc=4，
∴4×12bcsinA=2bc-(b2+c2-a2)，可得：8sinA=8-8cosA，可得：sinA+cosA=1，
∴可得：sin(A+π4)=22，
∵0
0，a=32，则△ABC周长的取值范围是( )
A. 2+32,3+32 B. 3,3+32
C. 1+32,2+32 D. 1+32,3+32
【答案】B
【解析】解：在△ABC中，A是B和C的等差中项，可得2A=B+C=π-A，解得A=π3．
由正弦定理可得asinA=2R，2R=1
∴c=2RsinC=sinC，b=2RsinB=sinB，
设周长为y，则y=a+b+c=sinB+sinC+a=sinB+sin[π-(π3+B)]+a
=sinB+sin(B+π3)+a=sinB+sinBcosπ3+cosBsinπ3+a=3sin(B+π6)+32，
∵AB⋅BC>0，∴π20，∴π20，则Sn取得最大值时n=______．
【答案】7
【解析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5=S9，且a1>0，
∴5a1+5×42d=9a1+9×82d，
解得a1=-132d，d<0，
∴Sn=na1+n(n-1)2d=-132nd+n(n-1)2d=d2(n-7)2-49d2．
∴Sn取得最大值时n=7．
故答案为：7．
利用等差数列{an}的前n项和公式推导出a1=-132d，d<0，从而Sn=na1+n(n-1)2d=-132nd+n(n-1)2d=d2(n-7)2-49d2.由此能求出Sn取得最大值时n的值．
本题考查等差数列的前n项和取最大值时n的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a=1，∠B=45∘，S△ABC=2，则b=______．
【答案】5
【解析】解：由三角形的面积公式得：S=12acsinB=2，由a=1，sinB=22，
所以c=42，又a=1，cosB=22，
根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5．
故答案为：5
由a，sinB和面积的值，利用三角形的面积公式求出c的值，然后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．
此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列{Snn}为等差数列.若S2=1，S2018-S2016=5，则S2018=______．
【答案】3027
【解析】解：∵数列{Snn}为等差数列.∴可设Snn=an+b，化为：Sn=an2+bn，
∵S2=1，S2018-S2016=5，
∴4a+2b=1，a×20182+2018b-a×20162-2016b=5，
联立解得：a=12016，b=5031008，
则S2018=12016×20182+5031008×2018=3027．
故答案为：3027．
数列{Snn}为等差数列.可设Snn=an+b，化为：Sn=an2+bn，由S2=1，S2018-S2016=5，可得4a+2b=1，a×20182+2018b-a×20162-2016b=5，联立解得：a，b，即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2. 三角形ABC中，D是BC边上一点，∠BAD=∠DAC=60∘，BC=7，且三角形ABD与三角形ADC面积之比为53，则AD=______．
【答案】158
【解析】解：△ABC中，∠BAD=∠DAC=60∘，如图所示；
∴S△ABDS△ACD=12AB⋅AD⋅sin60∘12AC⋅AD⋅sin60∘=ABAC=53；
由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos120∘，
∴259AC2+AC2+53AC⋅AC=49，
解得AC=3，
∴AB=5；
∴S△ABC=12AB⋅AC⋅sin120∘=12×5×3×32=1534；
∴S△ABD=12AB⋅AD⋅sin60∘=12×5×AD×32=53+5×1534，
解得AD=158．
故答案为：158．
根据题意画出图形，结合图形求得ABAC的值，
再利用余弦定理求得AC、AB的值，
最后利用三角形的面积公式求得AD的值．
本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
1. 若数列{an}是公差大于零的等差数列，数列{bn}是等比数列，且a1=8，b1=2，a2-b2=2，a3+b3=12．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．
【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a1=8，b1=2，a2-b2=2，a3+b3=12，
∴8+d-2q=2，8+2d+2q2=12，
解得：d=-2，q=2，
∴an=10-2n，bn=2n；
(2)数列{an}的前n项和为Sn=12n(8+10-2n)
=9n-n2=-(n-92)2+814，
当n=4或5时，Sn的最大值为20．
【解析】(1)通过等差数列和等比数列的通项公式，解方程可知公差和公比，利用通项公式计算即得结论；
(2)通过等差数列的求和公式，运用二次函数的最值求法，计算即得最大值．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=3，且b2+c2=3+bc．
(I)求角A的大小；
(Ⅱ)求bsinC的最大值．
【答案】解：(I)由余弦定理可得：cosA=b2+c2-a22bc=3+bc-32bc=12，
∵A∈(0,π)，∴A=π3．
(II)由正弦定理可得：asinA=bsinB，可得b=asinBsinA，
bsinC=3sinB32⋅sinC=2sinBsin(2π3-B)=2sinB(32cosB+12sinB)=32sin2B+1-cos2B2
=sin(2B-π6)+12，
∵B∈(0,2π3)，∴(2B-π6)∈(-π6,7π6)．
∴sin(2B-π6)∈(-12,1]．
∴bsinC∈(0,32]．
∴bsinC的最大值为32．
【解析】(I)由余弦定理可得：cosA=b2+c2-a22bc=3+bc-32bc=12，即可得出．
(II)由正弦定理可得：可得b=asinBsinA，可得bsinC=2sinBsin(2π3-B)=sin(2B-π6)+12，根据B∈(0,2π3)即可得出．
本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
1. 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2=2a2+2a3，a5=4．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列bn=log2an，求{|bn|}的前n项和Tn．
【答案】解：(Ⅰ) 设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0且q≠1，
由已知S2=2a3+2a2有2a3+a2-a1=0，
即2a1q2+a1q-a1=0∴2q2+q-1=0，
故q=12或q=-1(舍)
∴an=a5×qn-5=(12)n-7．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：bn=7-n 故当n≤7时，bn≥0，
∴当n≤7时，Tn=b1+b2+…+bn=n(b1+bn)2=-n22+13n2，
当n>7时，Tn=b1+b2+…+b7-(b8+b9+…bn)
=2(b1+b2+…+b7)-(b1+b2+…+bn)=n22-13n2+42，
∴Tn=-n22+13n2,n≤7n22-13n2+42,n>7．
【解析】(Ⅰ) 设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0且q≠1，利用已知条件求出q，然后求解通项公式．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：bn=7-n 故当n≤7时，bn≥0，然后通过当n≤7时，当n>7时，分别求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查计算能力．
1. 已知向量a=(cosx,cos2x)，b=(sinx,-3)，且函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A2)=-32，a=3，b+c=23，求△ABC的面积．
【答案】解：(1)∵向量a=(cosx,cos2x)，b=(sinx,-3)，且函数f(x)=a⋅b．
∴f(x)=a⋅b=sinxcosx-3sin2x=12sin2x-32(cos2x+1)=12sin2x-32cos2x-32
=sin(2x-π3)-32，
当2x-π3=π2+2kπ，k∈Z，即x=5π12+kπ，k∈Z时，f(x)取最大值1-32，
∴函数f(x)的最大值为1-32，
此时x的取值集合为{x|x=5π12+kπ,k∈Z}．
(2)∵f(A2)=sin(A-π3)-32=-32，
∴sin(A-π3)=0，
∵A为△ABC的内角，
∵A=π3，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA即a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，
又a=3，b+c=23，故9=12-3bc，
得bc=1，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×1×32=34．
【解析】(1)求出f(x)=a⋅b=sin(2x-π3)-32，由此能求出函数f(x)的最大值以及取最大值时x的取值集合．
(2)f(A2)=sin(A-π3)-32=-32，从而sin(A-π3)=0，进而A=π3，由余弦定理求出bc=1，从而能求出△ABC的面积．
本题考查函数的最大值及函数值取最大值时x的集合的求法，考查三角形面积的求法，考查向量的数量积、三角函数性质、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
2. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b+c2abc+cosB+cosC-2b2+c2-a2=0．
(1)证明：b，a，c成等差数列；
(2)已知△ABC的面积为1574，cosA=916，求a的值．
【答案】解：(1)由题设b+c2abc+cosB+cosC-2b2+c2-a2=0．
利用正弦定理，可得sinB+sinCsinA+cosB+cosC-2cosA=0，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
即sinBcosA+sinCcosA+cosBsinA+cosCsinA=2sinA
∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA，
由三角形内角和定理有sinB+sinC=2sinA
由正弦定理有b+c=2a．
故得：b，a，c成等差数列；
(2)由cosA=916，
则sinA=1-cos2A=5716，
根据S△ABC=12bcsinA=12bc×5716=574，
∴bc=4，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，
又由(Ⅰ)得b+c=2a，代入得6a2=25，
解得：a=566
【解析】(1)利用正弦定理，边化角，即可求解；
(2)由cosA=916，可得sinA=1-cos2A=5716，根据S△ABC=12bcsinA=12bc×5716=574，求解bc，利用余弦定理，即可求解a的值．
本题考查了等差数列的性质、正余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
1. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB)．
(1)求角C的大小；
(2)求cos2A+cos2B的取值范围．
【答案】解：(1)由已知和正弦定理得：(a-c)(a+c)=b(a-b)
故a2-c2=ab-b2，
故a2+b2-c2=ab，----------(2分)
得cosC=a2+b2-c22ab=12，
又C∈(0,π)，
所以C=π3.----------(4分)
(2)∵C=π3，可得：2B=4π3-2A，
∴cos2A+cos2B=1+cos2A2+1+cos2B2=1+12(cos2A+cos2B)=1+12[cos2A+cos(4π3-2A)]
=1+12cos(2A+π3)，
∵锐角三角形ABC中，C=π3，可得：π6
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