2018-2019学年湖南省怀化市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省怀化市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省怀化市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角 C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则 ‎【答案】B ‎【解析】可通过举例的方式验证选项的对错.‎ ‎【详解】‎ A：负角不是锐角，比如“”的角，故错误；‎ B：钝角范围是“”，是第二象限的角，故正确；‎ C：第二象限角取“”，第一象限角取“”，故错误；‎ D：当角与角的终边相同，则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的概念，难度较易.‎ ‎2．已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可知的值，从而可求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的三角函数的基本计算，难度较易. 若终边与单位圆交于点，则.‎ ‎3．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是（ ）‎ A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次 ‎【答案】D ‎【解析】根据判断的原则：“至少有个”的对立是“至多有个”.‎ ‎【详解】‎ 根据判断的原则：“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 至多至少的对立事件问题，可以采用集合的补集思想进行转化.如“至少有个”则对应“”，其补集应为“”.‎ ‎4．在区间上随机取一个数，使得的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】则，故概率为.‎ ‎5．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）‎ A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人 B．4月份人均用电量不低于20度的有500人 C．4月份人均用电量为25度 D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为 ‎【答案】C ‎【解析】根据频率分布直方图逐一计算分析.‎ ‎【详解】‎ A：用电量最多的一组有：人，故正确；‎ B：不低于度的有：人，故正确；‎ C：人均用电量：，故错误；‎ D：用电量在的有：人，所以，故正确；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值后结果相加.‎ ‎6．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )‎ A．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙 B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差 D．甲乙两队得分的极差相等 ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎29；30，∴∴A错误；‎ 甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；‎ 甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；‎ 排除可得C选项正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.‎ ‎7．设是△所在平面内的一点，且，则△与△的面积之比是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：依题意，得，设点到的距离为，所以与的面积之比是 ‎，故选B．‎ ‎【考点】三角形的面积．‎ ‎8．已知，其中，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，且，‎ 所以，因为，所以，‎ 因此，从而，，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9．函数的部分图像如图所示，则的值为（ ）‎ A．1 B．4 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据是零点以及的纵坐标值，求解出的坐标值，然后进行数量积计算.‎ ‎【详解】‎ 令，且是第一个零点，则；令，是轴右侧第一个周期内的点，所以，则；则，，则.选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正切型函数以及坐标形式下向量数量积的计算，难度较易. 当已知，则有.‎ ‎10．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据平移变换可得，根据放缩变换可得函数的解析式，结合对称轴方程求解即可.‎ 详解：将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，‎ 纵坐标不变，得到，‎ 再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，‎ 即，‎ 由，‎ 得，‎ 当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎11．函数，，若在区间上是单调函数，，则的值为（ ）‎ A． B．2 C．或 D．或2‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据单调性得到的范围，然后根据得到的对称轴和对称中心，考虑对称轴和对称中心是否在同一周期内，分析得到的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，则；又因为，则由可知得一条对称轴为，又因为在区间上是单调函数，则由可知的一个对称中心为；若与是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以；若与不是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，则，所以.‎ ‎【点睛】‎ 对称轴和对称中心的判断：‎ 对称轴：，则图象关于对称；‎ 对称中心：，则图象关于成中心对称.‎ ‎12．若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由于是的重心，，，代入得 ‎，整理得，‎ ‎，因此，故答案为D.‎ ‎【考点】1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.‎ 二、填空题 ‎13．已知平面向量，若，则________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据即可得出，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ 解得，故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题.‎ ‎14．已知某中学高三学生共有800人参加了数学与英语水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人的成绩进行统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．‎ 如果从第8行第7列的数开始从左向右读，（下面是随机数表的第7行至第9行）‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 26‎ ‎83 92 53 16 59 16 92 75 35 62 98 21 50 71 75 12 86 73 63 01‎ ‎58 07 44 39 13 26 33 21 13 42 78 64 16 07 82 52 07 44 38 15‎ 则最先抽取的2个人的编号依次为_____．‎ ‎【答案】165；535‎ ‎【解析】按照题设要求读取随机数表得到结果，注意不符合要求的数据要舍去.‎ ‎【详解】‎ 读取的第一个数： 满足；读取的第二个数： 不满足；‎ 读取的第三个数： 不满足；读取的第三个数： 满足.‎ ‎【点睛】‎ 随机数表的读取规则：从指定位置开始，按照指定位数读取，一次读取一组，若读取的数不符合规定（不在范围之内），则舍去，重新读取.‎ ‎15．已知，，若和的夹角为钝角，则的取值范围是______ .‎ ‎【答案】且 ‎【解析】根据夹角为钝角，可得数量积结果小于零，同时要排除反向共线的情况.‎ ‎【详解】‎ 因为和的夹角为钝角，所以，解得且.‎ ‎【点睛】‎ 当两个向量的夹角为钝角的时候，通过向量的数量积结果小于零这是不充分的，因为此时包含了两个向量反向这种情况，因此要将其排除.‎ ‎16．若向量与的夹角为，与的夹角为，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量平行四边形法则作出图形，然后在三角形中利用正弦定理分析.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，，，所以在中有：，则，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的平行四边形法则的运用，难度一般.在运用平行四边形法则时候，可以适当将其拆分为三角形，利用解三角形中的一些方法去解决问题.‎ 三、解答题 ‎17．已知 ‎（Ⅰ）化简；‎ ‎（Ⅱ）若是第三象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用诱导公式进行化简即可，注意符号正负；‎ ‎（Ⅱ）根据化简的的结果以及给出的条件，利用同角的三角函数的基本关系求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）∵，∴代入 得 ‎ ‎∵是第三象限角，∴‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）诱导公式的使用方法：奇变偶不变，符号看象限，这里的奇变和偶不变主要是看 的倍数是奇数还是偶数，符号看象限是指将角看成锐角时，原来三角函数的正负就是化简后式子的正负；‎ ‎（2）同角三角函数的基本关系：.‎ ‎18．已知向量，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若向量与垂直，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标表示进行计算；‎ ‎（Ⅱ）由垂直关系，得到坐标间的等式关系，然后计算出参数的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）因向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎(Ⅱ)，‎ ‎∵向量与垂直，∴‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 已知，若，则有；‎ 已知，若，则有.‎ ‎19．已知函数，（，，）的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点．‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）已知且，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由最值和两个零点计算出和的值，再由最值点以及的的范围计算的值；‎ ‎（Ⅱ）先根据（Ⅰ）中解析式将表示出来，然后再利用两角和的正弦公式计算的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由函数最大值为2，得 由 ‎∴‎ 又，，∴，，‎ 又，∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）∵，且，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 根据三角函数图象求解析式的步骤：（1）由最值确定的值；（2）由周期确定的值；（3）由最值点或者图像上的点确定的取值.这里需要注意确定的值时，尽量不要选取平衡位置上的点，这样容易造成多解的情况.‎ ‎20．2013年11月，习近平总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示.2014年1月，中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计，推动了“精准扶贫”思想落地.2015年1月，精准扶贫首个调研地点选择了云南，标志着精准扶贫正式开始实行．某单位立即响应党中央号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：‎ 年份 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收入（百元）‎ ‎25‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎35‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计甲户在2019年能否脱贫；（注：国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）‎ ‎（2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．‎ 参考公式：，，其中为数据的平均数．‎ ‎【答案】(1) ；甲户在2019年能够脱贫； (2) ‎ ‎【解析】（1）由已知数据求得与的值，得到线性回归方程，取求得值，说明甲户在2019年能否脱贫；（2）列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况，利用随机事件的概率计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表格中数据可得，‎ ‎，‎ 由，，可得．‎ ‎∴关于的线性回归方程，‎ 当时，（百元），‎ ‎∵3850＞3747，∴甲户在2019年能够脱贫；‎ ‎（2）设没有脱贫的2户为，另3户为，‎ 所有可能的情况为：共有10种可能．‎ 其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．‎ ‎∴至少有一户没有脱贫的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求法，考查随机事件概率的求法，是中档题．‎ ‎21．在中，角所对的边为，且满足 ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用升幂公式及两角和与差的余弦公式化简已知等式，可得，从而得，注意两解；‎ ‎（2）由，得，利用正弦定理得，从而可变为，利用三角形的内角和把此式化为一个角的函数，再由两角和与差的正弦公式化为一个三角函数形式，由的范围（）结合正弦函数性质可得取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知，‎ 得，化简得，故或；‎ ‎（2）∵，∴，由正弦定理，得，‎ 故 ，‎ ‎∵，所以，， ∴．‎ ‎22．如图，已知中，.设，，它的内接正方形的一边在斜边上，、分别在、上.假设的面积为，正方形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）用表示的面积和正方形的面积；‎ ‎（Ⅱ）设，试求的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；，（Ⅱ）最大值为；为等腰直角三角形 ‎【解析】（Ⅰ）根据直角三角形，底面积乘高是面积；然后考虑正方形的边长，求出边长之后，即可表示正方形面积；‎ ‎（Ⅱ）化简的表达式，利用基本不等式求最值，注意取等号的条件.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）∵在中，∴，. ∴‎ ‎∴，‎ 设正方形边长为，则，，‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ‎，‎ 令，‎ ‎∵在区间上是减函数 ‎∴当时，取得最小值， 即取得最大值。‎ ‎∴的最大值为 此时 ‎∴为等腰直角三角形 ‎【点睛】‎ ‎（1）函数的实际问题中，不仅要根据条件列出函数解析式时，同时还要注意定义域；‎ ‎（2）求解函数的最值的时候，当取到最值时，一定要添加增加取等号的条件.‎