高考数学 17-18版 第7章 第37课 课时分层训练37

高考数学 17-18版 第7章 第37课 课时分层训练37

课时分层训练(三十七)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理________．(填序号)‎ ‎①结论正确；　　　　　 ②大前提不正确；‎ ‎③小前提不正确； ④全不正确．‎ ‎③　[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]‎ ‎2．如图373，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是________．‎ 图373‎ ‎144　[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]‎ ‎3．某种树的分枝生长规律如图374所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________. 【导学号：62172202】‎ 图374‎ ‎55　[因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.]‎ ‎4．给出下面几个推理：‎ ‎①由“6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7，…”得到结论：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和；‎ ‎②由“三角形内角和为180°”得到结论：等腰三角形内角和为180°；‎ ‎③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；‎ ‎④由“a2＋b2≥2ab(a，b∈R)”推得：sin 2x≤1.‎ 其中是演绎推理的序号是________．‎ ‎②④　[演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提、小前提和结论，演绎推理是从一般到特殊的推理，根据以上特点，可以判断②④是演绎推理．易得①是归纳推理，③是类比推理．故答案为②④.]‎ ‎5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①由“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②由“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③由“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎④由“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”．‎ 以上结论正确的是________．(填序号)‎ ‎①②　[因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，所以④错误．]‎ ‎6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.‎ 　[由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为.]‎ ‎7．(2017·徐州模拟)观察下列不等式：‎ ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎…‎ 照此规律，第五个不等式为__________．‎ ‎1＋＋＋＋＋<　[左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.]‎ ‎8．给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)；‎ ‎(1,2)(2,1)；‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)；‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；‎ ‎…‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝________.‎ ‎(m，n－m＋1)　[由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．]‎ ‎9．(2017·泰州模拟)如图(1)若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比＝·.如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为________________．‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　(2)‎ 图375‎ ＝··　[考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1OR1Q1及三棱锥P2OR2Q2的底面面积之比为·，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为，故体积之比为＝··.]‎ ‎10．在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“‎ 丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________. 【导学号：62172203】‎ 丙　[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]‎ 二、解答题 ‎11．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．‎ ‎[解]　由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：‎ ‎(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；‎ ‎(2)四面体的体积V＝×底面积×高；‎ ‎(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.‎ ‎12．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：62172204】‎ ‎[解]　f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，‎ f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，‎ 均有f(x1)＋f(x2)＝.‎ 证明：设x1＋x2＝1，‎ f(x1)＋f(x2)＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·南京模拟)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N＋)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.‎ 　[设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.‎ 因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，‎ 所以类比得bm＋n＝.]‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.‎ 若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；‎ 若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．‎ 故甲的卡片上的数字是1和3.‎ 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]‎ ‎3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎[解]　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)法一：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 法二：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎ ‎4．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．‎ ‎[解]　类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．‎ 证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，‎ 则N(－m，－n)．‎ 因为点M(m，n)在已知双曲线上，‎ 所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.‎ 则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．‎