辽宁省葫芦岛市兴城市第三高级中学2019-2020学年高一期中考试数学试卷
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数学答案
本试卷共150分考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1.已知集合 ( )
A. B. C. D.
2. 平面向量满足，，且的夹角为，则= ( )
A.1 B. 3 C.5 D. 7
【答案】C
3.已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比为( )A．1 B．2 C． D．3
4.的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
C【解析】根据题意及三角形的面积公式知，
所以，所以在中，．故选C．
5．若a>0，b>0，则不等式－b<
D．x<－或x>
答案：D
按照解分式不等式的同解变形，
⇒x<－或x>．
法二：数形结合法，画出函数f(x)＝的图象，函数f(x)＝的图象夹在两条直线y＝－b，y＝a之间的部分的x的范围即为所求．
6．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
7．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为( )
A. B.
C. D.
选B
8．设，则不等式的解集为 ( ）
A． B． C． D．（1，2）
【答案】C
9．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
10.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)等于( )
A．10 B.
C．－10 D．－
答案 B
解析 因为f(x＋3)＝－，所以f(x＋6)＝－＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6.又f(x)是偶函数，所以f(107.5)＝f(6×17＋5.5)＝－＝－＝－＝.
11．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 A
解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，
∴a2－3a≥4恒成立．∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
12. 设x、y满足约束条件，若目标函数（其中)的最大值为3,则的最小值为（ ）
A． ． 3 B． ． 1 C． ．2 D． ． 4
【答案】A【解析】解：如图所示，线性规划区域为三角形ABC，而目标函数的斜率为<0，
因此目标函数的最大值即为过点B（1,2）取得。所以有a+2b=3,
(当且仅当a=b=1时，等号成立），故的最小值为3
13．如果函数g(x)＝是奇函数，那么f(x)＝________．
答案 2x＋3
解析 令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x－3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，所以f(x)＝2x＋3.
14.函数y＝2sin(－2x)(x∈[0，π])的增区间是-------------------
解析 ∵y＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，∴当k＝0时，增区间为[，]．
15. 设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．
答案
解析 向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝，又a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e12＋6e1·e2＝2＋6×＝5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝.
16．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f(x)＝f(x－2)，当x∈[0，1]时，f(x)＝()1－x.有下列结论：
①f(x)的周期是2； ②f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；
③f(x)的最大值是1，最小值是0； ④当x∈(3，4)时，f(x)＝()x－3.
其中正确序号是________．
答案 ①②④
解析 因为对于∀x∈R恒有f(x)＝f(x－2)，所以f(x＋2)＝f[(x＋2)－2]＝f(x)，即2是f(x)的周期，①正确；因为x∈[0，1]时，f(x)＝()1－x＝2x－1为增函数，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在区间[－1，0]上单调递减．又因为周期T＝2，所以f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增，②正确；由②知，x∈[0，1]时，f(x)＝()1－x＝2x－1为增函数，f(x)在区间[－1，0]上单调递减，且其周期为2，所以f(x)max＝f(1)＝21－1＝20＝1，f(x)min＝f(0)＝20－1＝，故③错误；当x∈(3，4)时，x－4∈(－1，0)，4－x∈(0，1)，所以f(4－x)＝()1－(4－x)＝()x－3.又f(x)是周期为2的偶函数，所以f(4－x)＝f(x)，④正确．综上所述，正确的结论的序号是①②④.
17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理得，，
∵，∴，即．
∵∴，∴，∴．
（2）由可得．∴，
∵，∴由余弦定理得：，
∴．
18. 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，
anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
答案 (1)an＝3n－1 (2)Sn＝－
解析 (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.
19. 设函数,其中．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．
【解析】（Ⅰ）当时，可化为．
由此可得 或．
故不等式的解集为或．
( Ⅱ) 由 得，
此不等式化为不等式组 或，即或，
因为，所以不等式组的解集为，由题设可得=，故．
20.已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
答案 (1)x＋2y＝0 (2)x＝－6，y＝3，S四边形ABCD＝16
解析 (1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4，2－y)．
又∥且＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，
即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，
∴·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②，化简得y2－2y－3＝0.
解得y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，
此时＝(0，4)，＝(－8，0)，
当y＝－1时，x＝2.
此时＝(8，0)，＝(0，－4)．
∴S四边形ABCD＝||·||＝16.
21.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，(1分)
所以an＝6n＋5.(2分)
设数列{bn}的公差为d，
由得
可解得b1＝4，d＝3.(4分)
所以bn＝3n＋1.(5分)
(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.(6分)
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
所以Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，(7分)
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，(8分)
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，(10分)
所以Tn＝3n·2n＋2.(12分)
22．已知函数，其中是大于0的常数．
（1）求函数的定义域；
（2）若对任意恒有，试确定的取值范围．
【解析】（1）由，得，
当时，恒成立，定义域为，
当时，定义域为，
当时，定义域为．
（2）对任意，恒有．即对恒成立．
∴．令，．
由于在上是减函数，∴．
故时，恒有．因此实数的取值范围为．
