安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（六）线下考试数学（文）试题

安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷（六）线下考试数学（文）试题

六安一中 2020 届高三年级自测试卷文科数学（六）‎ 命题人： 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1、函数 f (x) = A． (9,+¥)‎ ‎的定义域是（ ）‎ log1 x + 2‎ ‎3‎ B．‎ ‎1‎ ‎(0, ]‎ ‎9‎ ‎‎ C．[1 ,+¥) 9‎ ‎‎ D． (0,9]‎ ‎2、幂函数 f (x) = (m2 - m -1)xm2 +2m-3 在(0, +¥)上为增函数，则m 的取值是（ ）‎ A． m = 2‎ ‎B． m = -1‎ ‎C． m = 2 或m = -1‎ ‎D． -3 £ m £ 1‎ ‎3、已知函数 y = f (x)是奇函数，当 x < 0 时， f (x) = x2 + mx + 1，且 f (1) = -2 ，则实数 m 的值为（ ）‎ A． -4‎ ‎B． 0 C． 4 D． 2‎ ‎4、已知 ‎‎ ‎1‎ ‎3‎ æ 1 ö2 ， b = ln 1 ， 1 ，则（ ）‎ a = ç ÷ è ø ‎3 c = e3‎ A a > b > c ‎B. c > a > b ‎C. b > a > c ‎D. b > c > a ‎5、函数 f (x) = ln(x2 - 2x - 8) 的单调递增区间是（ ）‎ A． (-¥, -2)‎ ‎B． (-¥,1)‎ ‎C． (1, +¥)‎ ‎D． (4, +¥)‎ ‎6、曲线 f (x) = 1- 2 ln x 在点 P(1, f (1)) 处的切线l 的方程为（ ）‎ x A． x + y - 2 = 0 B． 2x + y - 3 = 0‎ C． 3x + y + 2 = 0‎ ‎D． 3x +‎ ‎y - 4 = 0‎ ‎7、若 f (x) = x3 - ax2 +1在(0, 2) 内单调递减，则实数a 的范围是( )‎ A． a ³ 3‎ ‎B． a = 2‎ ‎C． a £ 3‎ ‎D． 0 < a < 3‎ ‎8、函数 f (x) = ‎sinx x2 - 2‎ ‎‎ 的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9、设 f (x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0, +¥)单调递减，则 ( )‎ ‎1 - 3 - 2‎ A． f （log3‎ ‎4‎ ‎）＞ f （ 2 2 ）＞ f （ 2 3 ）‎ ‎1 - 2 - 3‎ B． f （log3‎ ‎4‎ ‎）＞ f （ 2 3 ）＞ f （ 2 2 ）‎ - 3 - 2 1‎ C． f （ 2 2 ）＞ f （ 2 3 ）＞ f （log3 ）‎ ‎4‎ - 2 - 3 1‎ D． f （ 2 3 ）＞ f （ 2 2 ）＞ f （log3‎ ‎4‎ ‎10、关于函数 f (x) = sin x - x cos x ,下列说法错．误．的是( )‎ A． f (x) 是奇函数 B． 0 不是 f (x) 的极值点 C． f (x) 在(- π , π ) 上有且仅有 3 个零点 D． f (x) 的值域是R ‎2 2‎ ‎11、已知函数 f (x )满足 f ( p + q ) = f ( p )× f (q )， f (1) = 3,则 f 2 (1) + f (2 ) ‎f 2 (2 )+ f (4 ) f 2 (3 )+ f (6 ) f 2 (4) + f (8) f 2 (5) + f (10) + + + + 的值为（ ）‎ f (1) ‎f (3 ) ‎f (5 ) ‎f (7) ‎f (9) A．15 B．30 C．60 D．75‎ ‎12、函数 f (x )是定义在 R 上的函数,且满足 f (x + 2) = 3 f (x ),当 x Î[-1,1)时, f (x) = -x2 +1,‎ ‎2‎ 则方程 f (x ) - 9 log ‎8 2‎ ‎x = 0 在(0,5]的根的个数为（ ）．‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分.‎ ‎13、函数 f (x) = 2sinx - sin2x 在[0，2π]的零点个数为 。‎ ìx2 , x £ 0‎ ‎14、 已知函数 f (x) = í îlog3 x, x > 0‎ ‎，则 f ( f (-3)) = ，若 f (x) ³ 1，则实数 x 的取值范 围是 ．‎ ‎2x ‎‎ ‎6 1 p+q ‎5‎ ‎15、已知常数a > 0 ，函数 f (x) = (2x + ax) 的图像经过点 P( p，) 、Q(q，- 5) ，若2‎ ‎= 36 pq ，‎ 则a = ． 16、已知奇函数 f (x) 满足 f (x) = - f (x +1)，当 x Î (0,1) 时，函数 f (x) = 2x ，则 æ ö f ç log 1 23÷ = ．‎ è 2 ø 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17—21 题为必考题，‎ 每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17．（本小题满分 10 分）‎ 已知函数 f (x) = 2x3 - ax2 + 2 ．‎ ‎（1）讨论 f (x) 的单调性；‎ ‎（2）当 0 0 时， f (x) ³ x2 + mx +1恒成立，求m 的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分 12 分）‎ 已知函数 f (x) = e2 ln x - x .‎ ‎（1）求函数 f (x) 的极值；‎ ‎（2）求证： f (x) < ex - x .‎ m ln x,1), n ‎21．（本小题满分 12 分）已知 v = (-x + ‎‎ v = (a,-3)(a Î R, 且a ¹ 0)‎ ‎‎ ‎, 函数 f (x) = m × n ．‎ ‎（1）求函数 f (x) 的单调区间；‎ ‎（2）若函数 y = f (x) 的图像在点(2, f (2)) 处的切线的斜率为1，问：m 在什么范围取值时，对 于任意的t Î[1,2] ，函数 g(x) = x3 + x2 [ m + f ' (x)]在区间(t,3) 上总存在极值？‎ ‎2‎ ‎22．（本小题满分 12 分）‎ 已知函数 f ( x) = ax 2 - x -1n 1‎ x ‎（1）若 f (x )在点(1，f (1)) 处的切线与直线 y = 2x +1平行，求 f (x )在点(1，f (1)) 的切线方程；‎ ‎（2）若函数 f (x )在定义城内有两个极值点 x1 ， x2 ，求证： f (x1 ) + f (x2 ) < 2 ln 2 - 3‎ 六安一中 2020 届高三年级自测试卷文科数学（六）参考答案 ‎1—6 D A B B D D 7—12 A C C C B B ‎12、B f (x + 2) = 3 f (x) Þ ‎f (x) = 3 f (x - 2).‎ 当 x Î[1, 3)时, 当 x Î[3, 5)时,‎ ‎2 2‎ f (x) = 3 f (x - 2)= 3 [-(x - 2)2 +1] = - 3 (x - 2)2 + 3 ,‎ ‎2 2 2 2‎ f (x) = 3 f (x - 2) = 3 [- 3 (x - 4)2 + 3] = - 9 (x - 4)2 + 9 ,‎ ‎2 2 2 2 4 4‎ 在同一坐标系中作出函数 f（x）与函数 y = 9 log x 在（0，5]的函 ‎8 2‎ 数图象如下所示：‎ 由图象可知，函数 f（x）与函数 y = 9 10g x 在（0，5]上有 4 个交 ‎8 2‎ 点，即方程 f (x) - 9 log ‎8 2‎ ‎‎ x = 0在（0，5]的根的个数为 4．‎ ‎13、3‎ ‎14、2‎ ‎‎ x £ -1或 x ³ 3‎ ‎‎ 因为f (-3) = (-3)2 = 9，‎ f (f (-3)) = f (9) = log3‎ 当 x > 0时，由f (x) = log3‎ ‎9 = 2，当 x £ 0时，由f (x) = x2 ³ 1得 x £ -1；‎ x ³ 1 = log3 3，得 x ³ 3 ，故答案为：2， x £ -1或 x ³ 3‎ ‎15、 a = 6 【解析】由题意 ‎2 p ‎2 p + ap ‎= 6 ，‎ ‎5‎ ‎2q ‎2q + aq ‎= - 1‎ ‎5‎ ‎‎ ‎，上面两式相加，‎ ‎2 p 得 ‎2 p + ap ‎2q + = 1，所以 2 2q + aq ‎‎ p+q ‎= a2 pq ，所以 a2‎ ‎= 36 ，因为 a > 0 ，所以 a = 6 ．‎ ‎16、‎ ‎f (x + 2) = f [(x +1) +1] = - f (x +1) = f (x) ，所以函数的周期是 2.‎ 根据对数函数的图象可知log 1 23 < 0‎ ‎2‎ ‎，且log 23 = -log23 ；‎ ‎1 2‎ ‎2‎ 奇函数 f (x) 满足 f (x + 2) = f (x) 和 f (-x) = - f (x)‎ ‎1 2 2 2 2‎ ‎1‎ ‎)‎ 则 f (log 23) = f (-log 23) = - f (log 23) = - f (log 23 - 4) = - f (log 23 ，‎ ‎2 6‎ 因为log 23 Î (0,1) - f (log ‎23) = -2‎ ‎log 23 23‎ ‎2 16 = - ‎2 16‎ ‎2 16 16‎ ‎17、解：（1） f ¢(x) = 6x2 - 2ax = 2x(3x - a) ．令 f ¢(x) = 0，得 x=0 或 x = a ．‎ ‎3‎ 若 a>0，则当 x Î (-¥, 0) U æ a , +¥ ö 时， f ¢(x) > 0；当 x Î æ 0, a ö时， f ¢(x) < 0 ．故 f (x) 在 ç 3 ÷ ç 3 ÷ è ø è ø ‎(-¥, 0), æ a , +¥ ö 单调递增，在æ 0, a ö 单调递减；若 a=0， f (x) 在(-¥, +¥) 单调递增；‎ ç 3 ÷ ç 3 ÷ è ø è ø 若 a<0，则当 x Î æ -¥, a ö U (0, +¥) 时， f ¢(x) > 0 ；当 x Î æ a , 0 ö 时， f ¢(x) < 0 ．故 f (x) 在 ç 3 ÷ ç 3 ÷ è ø è ø æ -¥, a ö , (0, +¥) 单调递增，在æ a , 0 ö 单调递减．‎ ç 3 ÷ ç 3 ÷ è ø è ø ‎（2）当0 < a < 3 时，由（1）知， f (x) 在æ 0, a ö 单调递减，在æ a ,1ö 单调递增，所以 f (x) 在 ç 3 ÷ ç 3 ÷ è ø è ø æ a ö a3‎ è ø ‎[0,1]的最小值为 f ç 3 ÷ = - 27 + 2 ，最大值为 f (0)=2 或 f (1)=4 - a .于是 a3 ì4 - a, 0 < a < 2,‎ ‎ì2 - a + a ‎3‎ ï ‎‎ ‎, 0 < a < 2,‎ m = - + 2 ， M = í ‎所以 M - m = í27‎ ï a ‎27 î2, 2 £ a < 3.‎ a3‎ ‎3‎ ïî 27 , 2 £ a < 3.‎ ‎æ 8 ö è ø 当0 < a < 2 时，可知 2 - a + 27 单调递减，所以 M - m 的取值范围是ç 27 , 2÷ ．‎ ‎18、（1）函数 y = f (x - 2)是偶函数，所以 f (-x - 2) = f (x - 2) y = ‎f (x)关于关于直线 x = -2对称，‎ - m - 2 = -2, m = 6 f (x) = x2 + 4x - 6 ， g (x) = x - 6 + 4 ；‎ ‎2‎ ‎2‎ y = h(x) = g (log ‎x (x2 + 4))+ k × 2 - 9 Q h(-x) = h(x), h(x)‎ ‎（2）设 ‎2 log (x2 + 4) ,‎ ‎为偶函数，‎ h(x) = g (log2‎ ‎(x2 + 4))+ k × ‎log2‎ ‎2‎ (x2 + 4‎ ‎) - 9‎ ‎恰好有三个零点，‎ 故必有一个零点为 0， h(0) = g(2) + k - 9 = k - 6 = 0，‎ k = 6 ，令t = log2‎ ‎(x2 + 4), t ³ 2‎ ‎y = g(t) + 12 - 9 = t + 6 - 5 = 0 整理得，‎ t t t 2 - 5t + 6 = 0 ，解得t = 2或t = 3， t = 2得， x = 0 ；‎ t = 3 ，即log2 (x + 4)= 3, x + 4 = 8, x = ±2，所求函数的零点为 -2, 0, 2 .‎ ‎2 2‎ ‎19、（1） f ¢(x) = ex + a ， f ¢(0) = 1+ a = 2 ，解得 a = 1，‎ f (0) = 1+ b = 1，解得b = 0，所以 f (x) = ex + x .‎ ex 1‎ ‎（2）当 x > 0 时， ex + x ³ x2 + mx +1，即 m £ - x - + 1.‎ x x ex 1‎ ‎ ‎ ‎ex (x -1) - x2 +1‎ ‎(x -1)(ex - x -1) 令 h (x ) = - x - + 1(x > 0) ，则 h¢(x) = = .‎ x x x2 x2‎ 令j(x) = ex - x -1(x > 0) ，j¢(x) = ex -1 > 0 ，当 x Î(0, +¥)时，j(x)单调递增，‎ j(x) >j(0) = 0，则当 x Î(0,1)时，即 h¢(x) < 0 ，所以 h (x)单调递减；当 x Î(1, +¥)时，即 h¢(x) > 0，所以 h (x)单调递增，综上， h (x) ‎‎ min ‎= h (1) = e -1，所以 m Î(-¥, e -1].‎ e ‎2‎ ‎20（Ⅰ）依题意， f ¢(x) = -1 = ‎e2 - x ‎‎ ‎(x > 0) .‎ x x 令记函数 g(x) = ex - e2 ln x(x > 0) ，则 g¢(x) = ex - e .‎ x 易知 g¢(x) 单调递增，又 g¢(1) = e - e2 < 0 ， g¢(2) = e2 - e2 = e2 > 0，‎ ‎2 2‎ x 所以存在 x0 Î (1, 2) ，使得 g¢(x0 ) = e 0‎ ‎e2 e2‎ - = = ‎0 ，即ex0 ，‎ x0 x0‎ 即ln x = -x + 2 .当 f ¢(x) = 0，解得 x = e2 .所以当 x Î (0, e2 )时， f ¢(x) > 0 ，‎ ‎0 0‎ 当 x Î (e2 , +¥ )时， f ¢(x) < 0 ，所以当 x = e2 时，‎ 函数 f (x) 有极大值 f (e2 ) = 2e2 - e2 = e2 ，函数 f (x) 无极小值.‎ ‎（Ⅱ）要证 f (x) < ex - x ，即证ex - e2 ln x > 0 .‎ x Î(0, x0 )时，有 g¢(x) < 0 ， g(x) 单调递减，‎ 当 x Î (x0 , +¥)时，有 g¢(x) > 0， g(x) 单调递增，‎ x0 2‎ ‎e2 2‎ ‎e2 2 2‎ g(x) ³ g (x0 ) = e - e ln x0 = - e ln x0 = + e x0 - 2e x0 x0‎ x2 - 2x +1‎ = 0 0 e2 > 0,‎ x0‎ 所以 f (x) < ex - x .‎ ‎(‎ ‎21、(1)由题意知 )，定义域 ，‎ 则 . 当 时，由 解得 ，由 解得 ，‎ ‎∴函 的单调增区间 ，单调减区间 .‎ 当时， 解 ， 解 ，‎ ‎∴函 的单调增区间 ，单调减区间 .‎ ‎(2) ，得 ，∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∵对于任意 ，函 在区 上总存在极值，∴函 在区 上总存在极值.‎ ‎∴有两个不等实根且至少有一个根在区 内. 又∵函 是开口向上的二次函数， ，‎ ‎∴ 解 . ∴ 的取值范围.‎ ‎22、解：（1）Q f (x) = ax2 - x + ln x, f ¢( x) = 2ax - 1 + 1 k = x ‎‎ f ' (1) = 2a 因为 f (x) 在点(1, f (1))处的切线与直线 y = 2x +1平行， 2a = 2 ，即 a = 1‎ f (1) = 0, 故切点坐标为(1, 0)，切线方程为 y = 2x - 2‎ ¢ ‎1 2ax2 - x +1‎ ‎（2）Q f ( x) = 2ax -1 + = ,‎ x x 由题知方程2ax2 - x + 1 = 0 在(0，+ ¥)上有两个不等实根 x1 , x2 .‎ ì ïD = 1 - 8a > 0,‎ ï í 1 2‎ ïx + x ï ‎= 1 > 0, < a < 1 .‎ ‎2a 8‎ x x = ï 1‎ ïî 1 2 2a 又 ‎> 0,‎ f ( x ) + f ( x ) = ax 2 + ax 2 - ( x + x ) + ln x + ln x = a( x2 + x2 ) - ( x + x ) + ln( x x )‎ ‎1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2‎ ‎=a[( x + x )2 - 2x x ] - ( x + x ) + ln( x x )‎ ‎= ln 1 - 1 -1,‎ ‎ ‎ ‎1 2 1 2 1 2 1 2‎ ‎2a 4a 令t = ‎1 , g(t) = ln t - t -1, t Î (4, +¥), 则 g¢(t) = 1 - 1 = 2 - t < 0, g(t) 在(4, +¥) 上单调递减.‎ ‎2a 2 t 2 2t g(t) < g(4) = ln 4 - 3 = 2 ln 2 - 3. 即 f ( x1 ) + f ( x2 ) < 2 ln 2 - 3.‎