数学文卷·2018届福建省漳州市高三上学期期末调研测试（2018

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漳州市2018届高中毕业班调研测试 数学(文科)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.已知集合A＝{x|2x－1>1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B＝(　　)‎ A.[1，2) B.[1，2] C.(0，3] D.(1，2]‎ ‎2.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则＝(　　)‎ A.－1－2i B.－1＋2i C.1－2i D.1＋2i ‎3.已知向量a＝(2，－1)，A(－1，x)，B(1，－1)，若a⊥，则实数x的值为(　　)‎ A.－5 B.0 C.－1 D.5‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的结果为(　　)‎ A.8 B.16 C.32 D.64‎ ‎5.函数f(x)＝xe－|x|的图象可能是(　　)‎ ‎　 A B C D ‎6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ A. B.2 C.3 D.2 ‎7.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ<2π)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)＝cos2x的图象，则下列是函数y＝f(x)的图象的对称轴方程的为(　　)‎ A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝0‎ ‎8.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿 ‎，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配).”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得(　　)‎ A.一鹿、三分鹿之一 B.一鹿 ‎ C.三分鹿之二 D.三分鹿之一 ‎9.已知正四棱锥P －ABCD的顶点均在球O上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O的表面积为(　　)‎ A.4π B.6π C.8π D.16π ‎10.已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f(x)＝的最小值为.下列命题为真命题的是(　　)‎ A.p∧q B.(綈p)∧q C.綈(p∨q) D.p∧(綈q)‎ ‎11.若不等式组所表示的平面区域被直线l：mx－y＋m＋1＝0分为面积相等的两部分，则m＝(　　)‎ A. B.2 C.－ D.－2‎ ‎12.设函数f(x)＝lnx－mx2＋2nx(m∈R，n>0)，若对于任意的x>0，都有f(x)≤f(1)，则(　　)‎ A.lnn<8m B.lnn≤8m C.lnn>8m D.lnn≥8m 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在半径为2的圆C内任取一点P，以点P为中点的弦的弦长小于2的概率为________.‎ ‎14.甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1，2，3，4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.‎ ‎15.已知a，b，c分别是锐角△ABC的内角A，B，C的对边，且b＝2，4－c2＝(a－c)a，则sinA－2cosC的取值范围是________.‎ ‎16.已知直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点，l与C交于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，且交于点P，则点P的轨迹方程为________.‎ 三、解答题：共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题：共60分.‎ ‎17.(12分)‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3an＋1(n∈N*).‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn}满足bn＝－，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18.(12分)‎ ‎2017年是内蒙古自治区成立70周年.某市旅游文化局为了庆祝内蒙古自治区成立70周年，举办了第十三届成吉思汗旅游文化周.为了了解该市关注“旅游文化周”居民的年龄段分布，随机抽取了600名年龄在[10，60]且关注“旅游文化周”的居民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图.‎ 年龄 ‎［10，20）‎ ‎［20，50）‎ ‎［50，60］‎ 单人促销价格（单位：元）‎ ‎150‎ ‎240‎ ‎180‎ ‎(Ⅰ)根据频率分布直方图，估计该市被抽取市民的年龄的平均数；‎ ‎(Ⅱ)某旅行社针对“旅游文化周”开展不同年龄段的旅游促销活动，各年龄段的促销价位如表所示.已知该旅行社的运营成本为每人200元，以频率分布直方图中各年龄段的频率分布作为参团旅客的年龄频率分布，试通过计算确定该旅行社的这一活动是否盈利；‎ ‎(Ⅲ)若按照分层抽样的方法从年龄在[10，20)，[50，60]的居民中抽取6人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取2人进行反馈，求进行反馈的居民中至少有1人的年龄在[50，60]的概率.‎ ‎19.(12分)‎ 如图，底面半径为1，母线长为2的圆柱的轴截面是四边形ABCD，线段CD上的两动点E，F满足EF＝1.点P在底面圆O上，且AP＝，Q为线段AP的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证：FQ∥平面BPE；‎ ‎(Ⅱ)四棱锥P －ABEF的体积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎20.(12分)‎ 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且过点.过点P(1，0)的直线l交椭圆C于M，N两点，A为椭圆的左顶点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)求△AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数f(x)＝(2x－x2)ex－1.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)若对任意x≥1，都有f(x)－mx－1＋m≤0恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎(二)选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ‎(Ⅰ)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)已知直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴交于点P，求|PA|·|PB|.‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲](10分)‎ 已知函数f(x)＝|2x－1|＋2|x＋2|.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的最小值；‎ ‎(Ⅱ)解不等式f(x)<8.‎ ‎　答案解析 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C A C C C A B C B A A ‎1.D　【解析】∵，∴x>1，又x2－2x≤0，则0≤x≤2，∴A∩B＝(1，2]，故选D.‎ ‎2.C　【解析】由已知得z1＝2＋i，z2＝i，所以＝＝＝＝1－2i，故选C.‎ ‎3.A　【解析】由已知得＝(2，－1－x)，由a⊥，得2×2＋(－1)×(－1－x)＝0，即x＝－5，故选A.‎ ‎4.C　【解析】第一次循环：S＝60－2＝58，k＝2，58>0，执行“否”；第二次循环：S＝58－4＝54，k＝4，54>0，执行“否”；第三次循环：S＝54－8＝46，k＝8，46>0，执行“否”；第四次循环：S＝46－16＝30，k＝16，30>0，执行“否”；第五次循环：S＝30－32＝－2，k＝32，－2<0，执行“是”，输出32，故选C.‎ ‎5.C　【解析】因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，因为e－x>0，所以f(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.‎ ‎【一题多解】因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，又因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝xe－x，则f′(x)＝(1－x)e－x，当f′(x)>0，即(1－x)e－x>0时，得01，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且xe－x>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)时，其图象恒在x轴上方，又x→＋∞，f(x)→0.因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，且xe－x<0，即f(x)在x∈(－∞，0)时，其图象恒在x轴下方，又x→－∞，f(x)→0，故选C.‎ ‎6.C　【解析】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1M B1C，故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝2，D1M＝MC＝，MB1＝3，故最长棱的长度为3，故选C.‎ ‎7.A　【解析】函数g(x)＝cos2x的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，故函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，故选A.‎ ‎8.B　【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a1，且a1＝1＋＝，公差为d，则5a1＋d＝5，解得d＝－，所以a3＝a1＋2d＝＋2×＝1，所以簪裹得一鹿，故选B.‎ ‎9.C　【解析】设点P在底面ABCD的投影点为O′，则AO′＝AC＝，PA＝2，PO′⊥平面ABCD，故PO′＝＝，而底面ABCD所在截面圆的半径AO′＝，故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R＝，故球O的表面积S＝4πR2＝8π，故选C.‎ ‎10.B　【解析】p中椭圆为＝1，双曲线为＝1，焦点坐标分别为(0，±‎ ‎4)和(±4，0)，故p为假命题；q中f(x)＝，设t＝≥2(当且仅当x＝0时，等号成立)，则f(t)＝t＋在区间[2，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝，故q为真命题．所以(綈p)∧q为真命题，故选B.‎ ‎11.A　【解析】由题意 可画出可行域为如图△ABC及其内部所表示的区域，‎ 联立可行域边界所在直线方程，可得A(－1，1)，B，C(4，6)．因为直线l：y＝m(x＋1)＋1过定点A(－1，1)，直线l平分△ABC的面积，所以直线l过边BC的中点D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故选A.‎ ‎12.A　【解析】由题知，f′(x)＝－2mx＋2n，f(1)为函数的一个极大值，所以f′(1)＝0，得2m＝2n＋1.设g(n)＝lnn－8m，则g(n)＝lnn－8n－4，g′(n)＝当n∈时，g′(n)>0，g(n)为增函数；当n∈时，g′(n)<0，g(n)为减函数，所以g(n)≤g＝ln－5<0，即lnn<8m，故选A.‎ ‎13.　【解析】由题知，当且仅当弦心距d>＝1，即|CP|>1时，以点P为中点的弦的弦长小于2，由几何概型的概率公式可得所求概率为＝.‎ ‎14.3　【解析】由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3>2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.‎ ‎15.　【解析】由题得b2－c2＝a2－ac，即a2＋c2－b2＝ac，则cosB＝＝，所以B＝.由,得0，(5分)‎ 故旅行社的这一活动是盈利的．(6分)‎ ‎(Ⅲ)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在[10，20)，分别记为a，b，c，d；有2人年龄在[50，60]，分别记为E，F.‎ ‎“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，E}，{a，F}，{b，c}，{b，d}，{b，E}，{b，F}，{c，d}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，(8分)‎ 共15种，其中事件“至少有1人的年龄在[50，60]”包含的基本事件为{a，E}，{a，F}，{b，E}，{b，F}，{c，E}，{c，F}，{d，E}，{d，F}，{E，F}，(10分)‎ 共9种，故该事件发生的概率为P＝＝.(12分)‎ ‎19.解：(Ⅰ)证明：设PB的中点为F，连接HE，HQ，‎ 在△ABP中，利用三角形中位线的性质可得QH∥AB，且QH＝AB，(1分)‎ 又EF∥AB，EF＝AB，‎ 所以EF∥HQ，EF＝HQ，‎ 所以四边形EFQH为平行四边形，(3分)‎ 所以FQ∥HE，‎ 所以FQ∥平面BPE.(5分)‎ ‎(Ⅱ)四棱锥PABEF的体积为定值，定值为.(6分)‎ 理由如下：‎ 由已知可得梯形ABEF的高为2，所以S梯形ABEF＝×2＝3，(7分)‎ 又平面ABCD⊥平面ABP，过点P向AB作垂线PG，垂足为G，‎ 则由面面垂直的性质定理可得PG⊥平面ABCD，‎ 又AP＝，AB＝2，∠APB＝90°，所以BP＝1，(9分)‎ 所以PG＝＝，(10分)‎ 所以V四棱锥PABEF＝×PG×S梯形ABEF＝××3＝，‎ 所以四棱锥PABEF的体积为定值，定值为.(12分)‎ ‎20.解：(Ⅰ)解法一：∵抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，‎ ‎∴椭圆C的半焦距c＝，即a2－b2＝3.　①(2分)‎ 把点Q代入 ＝1.　②‎ 由①②得a2＝4，b2＝1.(3分)‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＝1.(4分)‎ 解法二：∵抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，‎ ‎∴不妨设椭圆C：＝1的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，(1分)‎ 又Q在椭圆C上，‎ ‎∴2a＝|QF1|＋|QF2|＝＋＝＋＝4，‎ ‎∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，(3分)‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＝1.(4分)‎ ‎(Ⅱ)设直线l的方程为x＝ty＋1，代入＝1，得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0.(5分)‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则有y1＋y2＝－，y1y2＝－(7分)‎ ‎(9分)‎ 令＝m(m≥)，由函数y＝m＋在[，＋∞)上单调递增，‎ 则＋≥＋＝，当且仅当m＝，即t＝0时，取等号．(10分)‎ 所以|y1－y2|≤.‎ 所以△AMN的面积S＝|AP||y1－y2|≤×3×＝，‎ 所以Smax＝，此时直线l的方程为x＝1.(12分)‎ ‎21.解：(Ⅰ)由已知得f′(x)＝(－x2＋2)ex－1，(1分)‎ 当f′(x)<0，即－x2＋2<0时，x<－或x>；(2分)‎ 当f′(x)>0，即－x2＋2>0时，－0，所以h′(x)<0，‎ 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递减，即g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，则g′(x)≤g′(1)＝1－m.(8分)‎ ‎①当1－m≤0，即m≥1时，此时g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，满足条件；(9分)‎ ‎②当1－m>0，即－1≤m<1时，此时g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，则当10；(10分)‎ 当x>x0时，g′(x)<0，‎ 所以g(x)在[1，x0]上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，‎ 所以当x∈[1，x0]时，g(x)≥g(1)＝0，此时不满足条件．(11分)‎ 综上所述，实数m的取值范围为[1，＋∞)．(12分)‎ ‎22.解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程(α为参数)，得(α为参数)，‎ 两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；(3分)‎ 由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝(4分)‎ 即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.(5分)‎ ‎(Ⅱ)由题意可知P(2，0)，则直线l的参数方程为(t为参数)．(6分)‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，‎ 将(t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，(8分)‎ 则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，(9分)‎ 所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.(10分)‎ ‎23.解：(Ⅰ)因为|2x－1|＋2|x＋2|≥|(2x－1)－2(x＋2)|＝5，(4分)‎ 所以f(x)的最小值是5.(5分)‎ ‎(Ⅱ)解法一：f(x)＝(6分)‎ 当x<－2时，由－4x－3<8，解得x>－，即－时，由4x＋3<8，解得x<，即

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