福建省莆田第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

福建省莆田第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题

‎2019-2020学年莆田一中高二年段第一次月考数学试卷2019.10.8‎ ‎ 命题人： 审核人 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 其中第8题为多选题，其他11小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.命题“∀n∈N*, f (n)≤n”的否定是 ( )‎ A.∀n∈N*, f(n)>n B.∀n∉N*, f(n)>n C.∃n∈N*, f(n)>n D.∃n∉N*, f(n)>n ‎2.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是 ( )‎ A. x<0或x>2 B.x≤ -2或x≥0‎ C.x< -1或x>4 D.x≤ -或x≥3‎ ‎4.“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的( ).‎ A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 ‎ C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.过椭圆＋＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是(　 )‎ A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0 ‎ C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0‎ ‎6.已知直线2kx-y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（　　）‎ ‎ A.（1，9]              B. [1，+∞） C. [1，9）∪（9，+∞）         D.（9，+∞）‎ ‎7、《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．(多选题)对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．其中正确的选项有（ ）‎ A.甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；‎ B.根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；‎ C.乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；‎ D.乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．‎ ‎9.已知点P是椭圆上任意一点，则点P到直线的距离最大值为( )‎ A．　 　B．　 　C．　 　D．‎ ‎10. 已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，‎ 那么的最小值是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．2 ‎11. 已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　)‎ A．(0，－1)　　　　　　　 B．(0，－1)‎ C．(－1,1) D．(－1,1)‎ ‎12.已知A(4, 0), B(2, 2)为椭圆内的点，M是椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最小值是 （ ）‎ A． 10+2 B． 10+ C． 10－2 D． 10－‎ 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698‎ ‎0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281‎ 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．　　‎ ‎14、在区间[-1，1]上随机取一个数x，则的值属于的概率为 ．‎ ‎15、一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______．‎ ‎16. 下面给出三个游戏，袋子中分别装有若干只有颜色不同的小球（大小，形状，质量等均一样），从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是______．‎ 游戏1‎ 游戏2‎ 游戏3‎ 球数 ‎3个黑球和一个白球 一个黑球和一个白球 ‎2个黑球和2个白球 取法 取1个球，再取1个球 取1个球 取1个球，再取1个球 胜利 规则 取出的两个球同色→甲胜 取出的球是黑球→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的球是白球→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 三．解答题 (本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17、(本小题满分10分)为了了解地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 足球特色学校（百个）‎ ‎0.30‎ ‎0.60‎ ‎1.00‎ ‎1.40‎ ‎1.70‎ ‎（Ⅰ）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；‎ ‎（Ⅱ）求关于的线性回归方程 ，并预测地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）．‎ 本题参考公式和数据：，，，，，．‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M 满足·＝0.(1)求椭圆的方程；(2)若直线L：y＝kx＋与椭圆恒有不同交点A、B，且·>1(O为坐标原点)，求k的取值范围．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，求(1)连续取两次都是白球的概率；(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，连续取三次分数之和为4分的概率．(本小题基本事件总数较多不要求列举，但是所求事件含的基本事件要列举)‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知命题p: 和是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式对任意的m∈[-1,1]恒成立, 命题q:关于x的不等式ax2+2x-1>0有解. 若p是真命题, q是假命题, 求实数a的取值范围.‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在，内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．‎ 百分制 ‎85分及以上 ‎70分到84分 ‎60分到69分 ‎60分以下 等级 规定：，，三级为合格等级，为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计．‎ 按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示 ‎（1）求和频率分布直方图中的，的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到；‎ ‎（3）在选取的样本中，从，两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知平面上一动点P到定点F(，0)的距离与它到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)设直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，点M在x轴上的射影为G，O为坐标原点，若4·＝9·，求△MON面积的最大值．‎ ‎2019-2020学年莆田一中高二年段第一次月考数学考试答案 一． 选择题.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B A B A C D BC A C A C 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.游戏3‎ 三．解答题 (本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17、(本小题满分10分) ‎ 解：（Ⅰ），，‎ 与线性相关性很强．（5分）‎ ‎（Ⅱ），，‎ 关于的线性回归方程是.当时，，‎ 即地区2019年足球特色学校有208个．（12分）‎ ‎18. (本小题满分12分) ‎ 解：　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ ＝，＝，‎ ‎∵·＝0，∴－c2＋2＋2＝0，∴c2＝3，∴a2－b2＝3①‎ 又点M在椭圆上，∴＋＝1②.①代入②得＋＝1，‎ 整理得，a4－6a2＋8＝0，∴a2＝2或a2＝4，‎ ‎∵a2>3，∴a2＝4，b2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由，消去y解得x2＋2kx＋1＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝>1，∴k2 <，又由Δ＝k2－>0得k2>，‎ ‎∴< k2 <，∴k∈∪ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎(1)设连续取两次的事件总数为M，包括以下基本事件：‎ ‎(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)(白1，白1)(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，故M＝16.‎ 设事件A：连续取两次都是白球，包括(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)共4个．所以P(A)＝＝.‎ ‎(2)连续取三次的基本事件总数为N，包括以下基本事件：(红，红，红)，(红，红，白1)，(红，红，白2)，(红，红，黑)；(红，白1，红)，(红，白1，白1)，……，如此，N＝64；‎ 设事件B：连续取三次分数之和为4分；因为取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，则连续取三次分数之和为4分的有如下基本事件：‎ ‎(红，白1，白1)，(红，白1，白2)，(红，白2，白1)，(红，白2，白2)，‎ ‎(白1，红，白1)，(白1，红，白2)，(白2，红，白1)，(白2，红，白2)，‎ ‎(白1，白1，红)，(白1，白2，红)，(白2，白1，红)，(白2，白2，红)，‎ ‎(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，‎ 共15个基本事件，故P(B)＝.[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎.解:∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,∴∴|x1-x2|==,∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3.∴由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意的m∈[-1,1]恒成立,得a2-5a-3≥3,解得a≥6或a≤-1.‎ 关于x的不等式ax2+2x-1>0有解,当a>0时,显然有解;当a=0时,2x-1>0有解;当a<0时,由Δ=4+4a>0,解得a>-1,此时-10有解时,a>-1.∵q是假命题,∴a≤-1.‎ 故p是真命题,q是假命题时,实数a的取值范围是(-∞,-1].‎ ‎21、(本小题满分12分)‎ 解：（1）由题意知，样本容量，‎ ‎，‎ ‎；‎ 因为成绩是合格等级人数为：人，‎ 抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，‎ 即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；‎ ‎（3）由茎叶图知，等级的学生有3人，等级的学生有人，‎ 记等级的学生为、、，等级的学生为、、、、，‎ 从这8人中随机抽取2人，基本事件是：‎ ‎、、、、、、、、、、、、、‎ ‎、、、、、、、、、、、、、、共28个；‎ 至少有一名是等级的基本事件是：概率．‎ ‎、、、、、、、、、、、、、‎ ‎、、、、共18个；‎ 故所求的概率为．‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ ‎【解析】(Ⅰ)设P(x，y)，则＝，化简得＋y2＝1………4分 ‎(Ⅱ)设M，N，G(x1，0)，联立 得x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 依题意，Δ＝－4>0，‎ 化简得m2<4k2＋1，　①‎ x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ y1y2＝＝k2x1x2＋km＋m2，‎ 若4·＝9·，则4x1x2＋4y1y2＝9x1x2，即4y1y2＝5x1x2，………………6分 ‎∴4k2x1x2＋4km＋4m2＝5x1x2，‎ ‎∴·＋4km＋4m2＝0，‎ 即－8k2m2＋m2＝0，‎ 化简得m2＋k2＝，　②…………………………………8分 ＝＝ ‎＝＝，‎ ‎∵原点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴S△MON＝·d＝........................10分 设4k2＋1＝t，由①②得0≤m2<，

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