贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题

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贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学(理)试题

‎2019-2020学年贵州省黔东南州凯里一中高三(上)开学数学试卷(理科)(9月份)‎ 一、选择题(本大题共12小题)‎ 1. 已知集合,,则 A. B. C. D. ‎ 2. 设复数z满足,则 A. 1 B. C. D. 2‎ 3. 某地区高考改革,实行“”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,“1”指在物理、历史两门科目中必选一门,则一名学生的不同选科组合有多少种?‎ A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 4. 已知m,n是空间中两条不同的直线,,是两个不同的平面,有以下结论: ,,,,, ,,,. 其中正确结论的个数是 A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 5. 已知等差数列的公差为2,若,,成等比数列,则的值为 A. B. C. D. ‎ 6. 若二项式的展开式的第5项是常数,则自然数n的值为 A. 6 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ 7. 已如非零向量,,满足,则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ 8. 函数的图象可能是 A. B. C. D. ‎ 9. 已知奇函数在R上是增函数,,若,,,则a,b,c的大小关系为 A. B. C. D. ‎ 10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则 A. 为奇函数,在上单调递减 B. 周期为,图象关于点对称 C. 为偶函数,在上单调递增 D. 最大值为1,图象关于直线对称 1. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线,交双曲线右支于点M,若,则双曲线的渐近线方程为  ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 定义在R上的奇函数满足,且当时,不等式恒成立,则函数的零点的个数为     ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 二、填空题(本大题共4小题)‎ 3. 曲线在点处的切线方程为______.‎ 4. 已知,则______.‎ 5. 若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则的面积为______.‎ 6. 已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直,,,若点P、A、B、C、D都在同一球面上,则此球的表面积等于______.‎ 三、解答题(本大题共7小题)‎ 7. 商品的销售价格与销售量密切相关,为更精准地为商品确定最终售价,商家对商品A按以下单价进行试售,得到部分的数据如下:‎ 单价元 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 销量件 ‎60‎ ‎58‎ ‎55‎ ‎53‎ ‎49‎ Ⅰ求销量y关于x的线性回归方程; Ⅱ预计今后的销售中,销量与单价服从中的线性回归方程,已知每件商品A的成本是10元,为了获得最大利润,商品A的单价应定为多少元?结果保留整数 参考数据:,, 参考公式:, ‎ 8. 在中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知. 求角C的大小; Ⅱ若,求周长的取值范围. ‎ 9. 如图所示,四棱锥中,底面ABCD;,,,,,. Ⅰ求证:平面SAD; Ⅱ求直线SD与平面SBC所成角的正弦值. ‎ ‎ ‎ 1. 设椭圆,离心率,短轴,抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点为, 求椭圆和抛物线的方程; 设坐标原点为O,A为抛物线上第一象限内的点,B为椭圆一点,且有,当线段AB的中点在y轴上时,求直线AB的方程. ‎ 2. 已知函数. 求函数的单调区间; 若恒成立,求a的值. ‎ 3. 在直角坐标系xOy中,曲线为参数,以坐标原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. 求曲线的极坐标方程; 已知点,直线l的极坐标方程为,它与曲线的交点为O,P,与曲线的交点为Q,求的面积. ‎ 4. 已知. 当时,求不等式的解集; 若时不等式成立,求a的取值范围. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解:,; . 故选:B. 可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可. 考查描述法表示集合的定义,对数函数的单调性,以及交集的运算. 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解:, 故, 故选:A. 根据复数的基本运算法则进行化简即可. 本题主要考查复数模长的计算,比较基础. 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解:根据题意,分3步进行分析: ,语文、数学、外语三门必考科目,有1种选法; ,在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门,有种选法; ,在物理、历史两门科目中必选一门,有种选法; 则这名学生的不同选科组合有种; 故选:B. 根据题意,分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目,由分步计数原理计算可得答案. 本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题. 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解:对于,,,时, 根据两个平面互相垂直的判定定理,不能得出,错误; 对于,,,,, 根据两个平面互相平行的判定定理,不能得出,错误; 对于,,,, 根据两个平面互相垂直的判定定理,得出,正确; 对于,,, 根据直线与平面平行的判定定理,不能得出,错误. 综上,正确的命题是,只有1个. 故选:B. 根据空间中的直线与平面,平面与平面之间的平行与垂直关系,判定正误即可. 本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题,是基础题. 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解:由,,成等比数列,得到, 又公差,得到,即, 解得:, 则 ‎ ‎ . 故选:C. 由,,成等比数列,根据等比数列的性质及通项公式,由列出关于的方程,求出方程的解即可得到的值,由求出的首项和公差,根据等差数列的通项公式求出和的值,即可求出结果. 此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一道基础题. 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解:的展开式的通项为 展开式的第5项是常数 故答案为C. 利用二项展开式的通项公式求得第项,求出第五项,令x的指数为0求得n. 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解:非零向量,,满足, 所以; 又, 所以, 即; 所以, 又,所以, 即与的夹角为. 故选:C. 由平面向量的数量积与夹角公式,结合特殊角的余弦函数,即可求出与的夹角. 本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题,是基础题. 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的性质和赋值法的应用,属于中档题. 直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果. 【解答】 解:根据函数的解析式,, 得到函数为奇函数,其图象关于原点对称, 故排除A和B. 当时,函数的值为0,故排除C. 故选D. 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解:由题意可得,, ,即为偶函数, 当时,由是增函数可知单调递增, 根据偶函数的对称性可知,在上单调递减,距对称轴越远,函数值越大, ,,,, 则. 故选:D. 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键. 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解:将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象, 故为偶函数,,,函数单调递减,故A不正确; 再根据的周期为,最大值为1,当时,,故B错误; ,,函数没有单调性,故C错误; 当时,函数,为最小值,故的图象关于直线对称,故D正确, 故选:D. 由题意利用函数的图象变换规律,再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性,得出结论. 本题主要考查函数的图象变换规律,余弦函数的单调性以及图象的对称性,属于基础题. 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的渐近线方程,考查双曲线的定义和三角形的中位线定理,考查运算能力,属于中档题. 设切点为N,连接ON,作作,垂足为A,运用中位线定理和勾股定理,结合双曲线的定义,即可得到a,b的关系,进而得到所求渐近线方程. 【解答】 解:设切点为N,连接ON,作作,垂足为A, 由,且ON为的中位线,可得 ,, 即有, 在直角三角形中,可得, 即有, 由双曲线的定义可得, 可得, 则双曲线的渐近线方程为 故选A. 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题,也考查了函数零点个数的判断问题,是中档题目. 由不等式在上恒成立,得到函数在时是增函数, 再由函数是定义在R 上的奇函数得到为偶函数, 结合,作出两个函数与的大致图象,即可得出答案. 【解答】 解:定义在R的奇函数满足: , 且, 又时,,即, 0'/>,函数在时是增函数, 又,是偶函数; 时,是减函数,结合函数的定义域为R,且, 可得函数与的大致图象如图所示, 由图象知,函数的零点的个数为3个. 故选:C. 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解:依题解:依题意得, 因此曲线在处的切线的斜率等于1, 所以函数在点处的切线方程为 故答案为:. 利用导数求出在处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决. 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题. 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解:, , 故答案为:. 利用二倍角公式即可算出结果. 本题主要考查了二倍角公式,是基础题. 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解:由抛物线定义,,所以,, 所以,的面积. 故答案为:. 利用抛物线的定义,求出P的坐标,然后求出三角形的面积. 本题考查抛物线的简单性质的应用,三角形的面积的求法,考查计算能力. 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解:设球心为O,如图. 由,,可求得 在矩形ABCD中,可求得对角线,故BE 由于点P、A、B、C、D都在同一球面上, 设,在直角三角形BOE中, 过O作线段OH垂直平面PAD于H点,H是垂足,由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等,故 在直角三角形POH中, ,解得, 球的半径 ‎ 则此球的表面积等于. 故答案为:. 设球心为O,如图.由于点P、A、B、C、D都在同一球面上,,设,分别在直角三角形BOE中,和在直角三角形POH中,列出球的半径的式子,通过解方程求得此球的半径,从而得出表面积. 本题是基础题,考查球的体积和表面积,解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上,考查计算能力,空间想象能力. 17.【答案】解:Ⅰ,, , . 销量y关于x的线性回归方程为; Ⅱ设商品A的单价应定为x元, 则利润, 当时,获得的利润最大. ‎ ‎【解析】Ⅰ由已知求得与的值,则线性回归方程可求; Ⅱ设商品A的单价应定为x元,则利润,再由二次函数求最值. 本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是中档题. 18.【答案】解:, , , , , 又,. Ⅱ,,, 则的周长, ,, , 周长的取值范围是. ‎ ‎【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出; 利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出. 熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键. 19.【答案】Ⅰ证明:在中, ,,,则, 在中,由,,得, ,又, , 平面SAD,平面SAD, 平面SAD; Ⅱ解:由底面ABCD,, 可以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, ,,,得 0,,1,,0,,2,, ,,, 设平面SBC的一个法向量为, 由,取,得, 设直线SD与平面SBC 所成角为, 则. ‎ ‎【解析】Ⅰ由已知求解三角形证明,再由,可得,由线面平行的判定可得平面SAD; Ⅱ以A为坐标原点,分别以AB,AD,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出平面SBC的一个法向量,利用空间向量求解直线SD与平面SBC所成角的正弦值. 本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用空间向量求解空间角,是中档题. 20.【答案】解:由得,又有,代入,解得, 所以椭圆方程为, 由抛物线的焦点为得抛物线的方程为:. 由题意点A位于第一象限,可知直线OA的斜率一定存在且大于0, 设直线OA方程为:, 得:,可知点A的横坐标,即, 因为,可设直线OB方程为: 联立可得得:,从而得, 若线段AB的中点在y轴上,可知,即, 且有,且,解得, 从而得,, 直线AB的方程:. ‎ ‎【解析】通过离心率以及短轴长,求出b,a得到椭圆方程,通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可. 可知直线OA的斜率一定存在且大于0,设直线OA方程为:,,联立得,求出点A的坐标x,然后求解B的坐标,即可求解直线AB的方程. 本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用,方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力. 21.‎ ‎【答案】解:的定义域是, , 令,解得:, 令,解得:, 故在递减,在递增; 恒成立,即恒成立, 时,即在恒成立, 令,, , 令,则, 故在递增, 故, 故, 故在递增, 由, 故, 时,显然成立, 时,即在恒成立, 令,, , 故在递增, 由, 故, 综上,. ‎ ‎【解析】求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; 通过讨论x的范围,得到在恒成立或在恒成立,根据函数的单调性求出a的值即可. 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题. 22.【答案】解:, 其普通方程为,化为极坐标方程为:. 联立与l的极坐标方程:,解得P点极坐标为 联立与l的极坐标方程:,解得Q点极坐标为,所以, 又点M到直线l的距离, 故的面积. ‎ ‎【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程,再利用互化公式可得曲线的极坐标方程; 将直线l的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程,得到P、Q的极坐标,利用极坐标的几何意义可得PQ,再求出M到l的距离,代入面积公式可得. 本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题. 23.【答案】解:当时,, 由, 或, 解得, 故不等式的解集为, 当时不等式成立, , 即, 即, , , , , , , , 故a的取值范围为. ‎ ‎【解析】去绝对值,化为分段函数,即可求出不等式的解集, 当时不等式成立,转化为即,即,转化为,且,即可求出a的范围. 本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围,考查了运算能力和转化能力,属于中档题. ‎
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