贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

贵州省凯里市第一中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题

‎2019-2020学年贵州省黔东南州凯里一中高三（上）开学数学试卷（理科）（9月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 设复数z满足，则 A. 1 B. C. D. 2‎ 3. 某地区高考改革，实行“”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？‎ A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种 4. 已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下结论： ，，，，， ，，，． 其中正确结论的个数是 A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ 5. 已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的值为 A. B. C. D. ‎ 6. 若二项式的展开式的第5项是常数，则自然数n的值为 A. 6 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ 7. 已如非零向量，，满足，则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ 8. 函数的图象可能是 A. B. C. D. ‎ 9. 已知奇函数在R上是增函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. ‎ 10. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则 A. 为奇函数，在上单调递减 B. 周期为，图象关于点对称 C. 为偶函数，在上单调递增 D. 最大值为1，图象关于直线对称 1. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为  ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为     ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. 曲线在点处的切线方程为______．‎ 4. 已知，则______．‎ 5. 若抛物线上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则的面积为______．‎ 6. 已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，，，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于______．‎ 三、解答题（本大题共7小题）‎ 7. 商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品A按以下单价进行试售，得到部分的数据如下：‎ 单价元 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ 销量件 ‎60‎ ‎58‎ ‎55‎ ‎53‎ ‎49‎ Ⅰ求销量y关于x的线性回归方程； Ⅱ预计今后的销售中，销量与单价服从中的线性回归方程，已知每件商品A的成本是10元，为了获得最大利润，商品A的单价应定为多少元？结果保留整数 参考数据：，， 参考公式：， ‎ 8. 在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知． 求角C的大小； Ⅱ若，求周长的取值范围． ‎ 9. 如图所示，四棱锥中，底面ABCD；，，，，，． Ⅰ求证：平面SAD； Ⅱ求直线SD与平面SBC所成角的正弦值． ‎ ‎ ‎ 1. 设椭圆，离心率，短轴，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为， 求椭圆和抛物线的方程； 设坐标原点为O，A为抛物线上第一象限内的点，B为椭圆一点，且有，当线段AB的中点在y轴上时，求直线AB的方程． ‎ 2. 已知函数． 求函数的单调区间； 若恒成立，求a的值． ‎ 3. 在直角坐标系xOy中，曲线为参数，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 求曲线的极坐标方程； 已知点，直线l的极坐标方程为，它与曲线的交点为O，P，与曲线的交点为Q，求的面积． ‎ 4. 已知． 当时，求不等式的解集； 若时不等式成立，求a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，； ． 故选：B． 可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法表示集合的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算． 2.【答案】A ‎ ‎【解析】解：， 故， 故选：A． 根据复数的基本运算法则进行化简即可． 本题主要考查复数模长的计算，比较基础． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意，分3步进行分析： ，语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法； ，在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法； ，在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法； 则这名学生的不同选科组合有种； 故选：B． 根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：对于，，，时， 根据两个平面互相垂直的判定定理，不能得出，错误； 对于，，，，， 根据两个平面互相平行的判定定理，不能得出，错误； 对于，，，， 根据两个平面互相垂直的判定定理，得出，正确； 对于，，， 根据直线与平面平行的判定定理，不能得出，错误． 综上，正确的命题是，只有1个． 故选：B． 根据空间中的直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系，判定正误即可． 本题考查了几何符号语言以及空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由，，成等比数列，得到， 又公差，得到，即， 解得：， 则 ‎ ‎ ． 故选：C． 由，，成等比数列，根据等比数列的性质及通项公式，由列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，由求出的首项和公差，根据等差数列的通项公式求出和的值，即可求出结果． 此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：的展开式的通项为 展开式的第5项是常数 故答案为C． 利用二项展开式的通项公式求得第项，求出第五项，令x的指数为0求得n． 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：非零向量，，满足， 所以； 又， 所以， 即； 所以， 又，所以， 即与的夹角为． 故选：C． 由平面向量的数量积与夹角公式，结合特殊角的余弦函数，即可求出与的夹角． 本题考查了平面向量的数量积与夹角的计算问题，是基础题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于中档题． 直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果． 【解答】 解：根据函数的解析式，， 得到函数为奇函数，其图象关于原点对称， 故排除A和B． 当时，函数的值为0，故排除C． 故选D． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意可得，， ，即为偶函数， 当时，由是增函数可知单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， ，，，， 则． 故选：D． 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象， 故为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确； 再根据的周期为，最大值为1，当时，，故B错误； ，，函数没有单调性，故C错误； 当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确， 故选：D． 由题意利用函数的图象变换规律，再根据余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论． 本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题． 设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程． 【解答】 解：设切点为N，连接ON，作作，垂足为A， 由，且ON为的中位线，可得 ，， 即有， 在直角三角形中，可得， 即有， 由双曲线的定义可得， 可得， 则双曲线的渐近线方程为 故选A． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目． 由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数， 再由函数是定义在R 上的奇函数得到为偶函数， 结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案． 【解答】 解：定义在R的奇函数满足： ， 且， 又时，，即， 0'/>，函数在时是增函数， 又，是偶函数； 时，是减函数，结合函数的定义域为R，且， 可得函数与的大致图象如图所示， 由图象知，函数的零点的个数为3个． 故选：C． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：依题解：依题意得， 因此曲线在处的切线的斜率等于1， 所以函数在点处的切线方程为 故答案为：． 利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决． 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， ， 故答案为：． 利用二倍角公式即可算出结果． 本题主要考查了二倍角公式，是基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由抛物线定义，，所以，， 所以，的面积． 故答案为：． 利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积． 本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设球心为O，如图． 由，，可求得 在矩形ABCD中，可求得对角线，故BE 由于点P、A、B、C、D都在同一球面上， 设，在直角三角形BOE中， 过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故 在直角三角形POH中， ，解得， 球的半径 ‎ 则此球的表面积等于． 故答案为：． 设球心为O，如图．由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，，设，分别在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半径，从而得出表面积． 本题是基础题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力． 17.【答案】解：Ⅰ，， ， ． 销量y关于x的线性回归方程为； Ⅱ设商品A的单价应定为x元， 则利润， 当时，获得的利润最大． ‎ ‎【解析】Ⅰ由已知求得与的值，则线性回归方程可求； Ⅱ设商品A的单价应定为x元，则利润，再由二次函数求最值． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题． 18.【答案】解：， ， ， ， ， 又，． Ⅱ，，， 则的周长， ，， ， 周长的取值范围是． ‎ ‎【解析】由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出； 利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出． 熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键． 19.【答案】Ⅰ证明：在中， ，，，则， 在中，由，，得， ，又， ， 平面SAD，平面SAD， 平面SAD； Ⅱ解：由底面ABCD，， 可以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，得 0，，1，，0，，2，， ，，， 设平面SBC的一个法向量为， 由，取，得， 设直线SD与平面SBC 所成角为， 则． ‎ ‎【解析】Ⅰ由已知求解三角形证明，再由，可得，由线面平行的判定可得平面SAD； Ⅱ以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面SBC的一个法向量，利用空间向量求解直线SD与平面SBC所成角的正弦值． 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.【答案】解：由得，又有，代入，解得， 所以椭圆方程为， 由抛物线的焦点为得抛物线的方程为：． 由题意点A位于第一象限，可知直线OA的斜率一定存在且大于0， 设直线OA方程为：， 得：，可知点A的横坐标，即， 因为，可设直线OB方程为： 联立可得得：，从而得， 若线段AB的中点在y轴上，可知，即， 且有，且，解得， 从而得，， 直线AB的方程：． ‎ ‎【解析】通过离心率以及短轴长，求出b，a得到椭圆方程，通过抛物线的焦点坐标求解抛物线方程即可． 可知直线OA的斜率一定存在且大于0，设直线OA方程为：，，联立得，求出点A的坐标x，然后求解B的坐标，即可求解直线AB的方程． 本题考查椭圆以及抛物线的简单性质的应用，方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 21.‎ ‎【答案】解：的定义域是， ， 令，解得：， 令，解得：， 故在递减，在递增； 恒成立，即恒成立， 时，即在恒成立， 令，， ， 令，则， 故在递增， 故， 故， 故在递增， 由， 故， 时，显然成立， 时，即在恒成立， 令，， ， 故在递增， 由， 故， 综上，． ‎ ‎【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 通过讨论x的范围，得到在恒成立或在恒成立，根据函数的单调性求出a的值即可． 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 22.【答案】解：， 其普通方程为，化为极坐标方程为：． 联立与l的极坐标方程：，解得P点极坐标为 联立与l的极坐标方程：，解得Q点极坐标为，所以， 又点M到直线l的距离， 故的面积． ‎ ‎【解析】先利用平方关系式消去参数t可得普通方程，再利用互化公式可得曲线的极坐标方程； 将直线l的极坐标方程分别代入曲线和的极坐标方程，得到P、Q的极坐标，利用极坐标的几何意义可得PQ，再求出M到l的距离，代入面积公式可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：当时，， 由， 或， 解得， 故不等式的解集为， 当时不等式成立， ， 即， 即， ， ， ， ， ， ， ， 故a的取值范围为． ‎ ‎【解析】去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， 当时不等式成立，转化为即，即，转化为，且，即可求出a的范围． 本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． ‎