2017-2018学年江西省高安中学高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年江西省高安中学高二上学期期末数学文试题（解析版）

江西省高安中学2017-2018学年上学期期末考试 高二年级数学（文）试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数的虚部为，故选A.‎ ‎2. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为(　 　)‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；‎ 第二次循环n=2，22=4．‎ 不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．‎ 故选：C．‎ ‎3. 已知双曲线方程为x2－3y2＝6，则双曲线的离心率等于(　 　)‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线方程为x2－3y2＝6可化为：‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 故选：B ‎4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估 计军旗的面积大约是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知圆形金质纪念币的直径为22mm，得半径r=11mm，‎ 则圆形金质纪念币的面积为πr2=π×112=121π，‎ ‎∴估计军旗的面积大约是．‎ 故选：C．‎ ‎5. “是真命题”是“为真命题”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】为真命题,则是真命题; 是真命题,不一定为真命题;所以“是真命题”是“为真命题”的必要不充分条件,选A ‎6. 若关于x的不等式|x－2|＋|x－1|≥a在R上恒成立，则a的最大值是(　 　)‎ A. 0 B. 1 C. －1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】|x－2|＋|x－1|≥，‎ 又不等式|x－2|＋|x－1|≥a在R上恒成立，‎ ‎∴‎ ‎∴a的最大值是1‎ 故选：B ‎7. 在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( 　 )‎ A. 200 B. 100 C. 90 D. 70‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为在到之间插入个数，使这个数成等差数列，所以根据等差数列前项和公式，这个数的和为，故选B.‎ 考点：等差数列前项和公式.‎ ‎8. 已知变量与变量之间具有相关关系，并测得如下一组数据则变量与之间的线性回归方程可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据表中数据，得；‎ ‎=（6+5+10+12）=，‎ ‎=（6+5+3+2）=4，‎ 且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，‎ 所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，‎ 即回归直线过样本中心点．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎9. 已知变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 12 B. 11 C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出可行域如图阴影部分，‎ 由 得C(3,2)‎ 目标函数z=3x+y可看做斜率为−3的动直线，其纵截距越大z越大，‎ 由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11‎ 本题选择C选项.‎ ‎10. 已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式化为：2（x﹣1）+＞﹣m﹣2，‎ ‎∵x＞1，∴2（x﹣1）+≥2×=4，当且仅当x=2时取等号．‎ ‎∵不等式对一切x∈（1，+∞）恒成立，‎ ‎∴﹣m﹣2＜4，‎ 解得m＞﹣6，‎ 故选：D．‎ 点睛：‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎11. 设函数在处的切线方程为，则的值是(　 　)．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵,当时，，‎ ‎∴，又因为当时，‎ ‎∴在曲线上，‎ ‎∴，∴‎ 故选：C 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎12. 设数列前项和为，已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,，‎ ‎∵，各项值成周期为4重复出现，‎ ‎∴‎ 则.‎ 因为，‎ 所以 故选：B.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的促销期间8天的销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是________． ‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；∴这组数据的中位数是 故选：C．‎ ‎14. 已知抛物线方程为，则抛物线上的点到焦点的距离为________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵抛物线方程为，‎ ‎∴准线方程：‎ ‎∴抛物线上的点到焦点的距离为 故答案为：2‎ 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ ‎15. 设的内角所对边分别为，若，则角 ‎__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ 由余弦定理得：‎ 又∵‎ ‎∴‎ 故答案为 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.‎ ‎16. 若函数在区间内恰有一个极值点，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意，，则，解得．‎ 考点：函数在某点取得极值的条件．‎ 点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为：(为参数).‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆C的公共点的极坐标．‎ ‎【答案】(1) ,直线的普通方程为(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）结合所给的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和普通方程；‎ ‎（2）由(1)知圆C与直线的直角坐标方程，将两方程联立解得直角坐标，进而得到其极坐标.‎ 试题解析：‎ ‎(1)圆C：，即，‎ 故圆C的直角坐标方程为.直线的普通方程为.‎ ‎(2)由(1)知圆C与直线的直角坐标方程，将两方程联立解得即圆C 与直线在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为，即为所求 ‎18. 在中，分别为内角所对的边，且满足，.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角范围求的大小；（2）先由余弦定理求，再根据三角形面积公式求面积 试题解析：解：（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理化简得：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴为锐角，则.‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴由余弦定理得：，即，‎ 整理得：，‎ 计算得出：（舍去）或，‎ 则.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）‎ 经常使用 偶尔或不用 合计 ‎30岁及以下 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎30岁以上 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？‎ ‎（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.‎ ‎（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；‎ ‎（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 参考公式： ，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）计算k2，与2.027比较大小得出结论，‎ ‎（2）（i）根据分层抽样即可求出，‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由列联表可知，.‎ 因为，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.‎ ‎（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有 ‎（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.‎ ‎（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为， ，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.则从5人中选出2人的所有可能结果为， ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种.‎ 其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎20. 已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1) an＝2n，(n∈N*) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设数列{an}的公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，即可得到所求通项；‎ ‎（2），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设数列{an}的公差为d，‎ 由且成等比数列，得(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，解得d＝－1或d＝2.‎ 当d＝－1时，a3＝0，这与a2，a3，a4＋1成等比数列矛盾，舍去．所以d＝2，‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，‎ 即数列{an}的通项公式为an＝2n，(n∈N*)．‎ ‎(2)，‎ 所以 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：‎ ‎（1）已知数列的通项公式为，求前项和： ；‎ ‎（2）已知数列的通项公式为，求前项和：‎ ‎；‎ ‎（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.‎ ‎21. 已知椭圆的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线过椭圆的左端点A，与椭圆的另一个交点为B.，AB的垂直平分线交轴于点，且·＝4，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2)y0＝±2或y0＝±.‎ ‎【解析】试题分析：1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据菱形的面积公式，求得a和b，则椭圆的方程可得．‎ ‎（2）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．设线段AB的中点为M，当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据，求得y0；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据，，求得y0．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.‎ 由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎ (2)由(1)可知A(－2,0)．设B点的坐标为，直线的斜率为，则直线的方程．于是A，B两点的坐标满足方程组 由方程组消去y并整理，得.‎ 由，得.从而.‎ 设线段AB的中点为M，则M的坐标为．‎ 以下分两种情况：‎ ‎①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，‎ ‎＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.‎ ‎②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．‎ 令x＝0，解得，‎ 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)．‎ ‎·＝－2x1－y0(y1－y0)‎ ‎＝，‎ 整理得7k2＝2，故k＝±.所以y0＝±.综上，y0＝±2或y0＝±.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)设，若存在，且,使不等式成 立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)k＞0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出f′（x），求出极值点，通过①当﹣2a=2，即a=﹣1时，②当﹣2a＞2，即a＜﹣1时，③当0＜﹣2a＜2，即﹣1＜a＜0时，f④当﹣2a≤0，即a≥‎ ‎0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．‎ ‎（2）由（1）知，当a=1时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，不妨设x2＞x1＞2，则不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x1）﹣klnx1≥f（x2）﹣klnx2，令g（x）=f（x）﹣klnx，则g（x）在（2，+∞）上存在单调递减区间，利用导函数转化求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵f′(x)=x+(2a-2)- = = (x＞0).‎ 令f′(x)=0得x=2或x=-2a.‎ ‎∴①当-2a=2,即a=-1时, f′(x)≥0在x＞0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎②当-2a＞2,即a＜-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.‎ ‎③当0＜-2a＜2,即-1＜a＜0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减 ‎④当-2a≤0,即a≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x2＞x1＞2,‎ 则不等式|f(x1)-f(x2)|≤k|lnx1-lnx2|可化为f(x2)-f(x1)≤klnx2-klnx1‎ f(x1)-klnx1≥f(x2)-klnx2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间.‎ ‎∴g′(x)= f′(x) -＜0 在区间(2,+∞)有解,即在x∈(2,+∞)上有解，‎ ‎∴k＞x2-4, x∈(2,+∞),故k＞0.‎