内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

内蒙古第一机械制造（集团）有限公司第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试卷

高二年级期中考试数学（理）试题 一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．已知,则复数 A． B． C． D．‎ ‎2．如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为 A． B． C． D．‎ ‎3．函数的单调递减区间是 A． B． C． D．‎ ‎4.已知与曲线相切,则的值为 A． B． C． D．‎ ‎5.已知圆和点，是圆上一点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹方程是 A. B. C. D. ‎ ‎6.函数的图象的大致形状是 A. B. C. D. ‎ ‎7．已知函数，则的极大值点为 A． B． C． D．‎ ‎8．已知，（是自然对数的底数），，则的大小关系是 A． B． C． D．‎ ‎9．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点，满足，且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎10.设定义在上的函数的导函数满足，则 A． B. ‎ C. D.‎ ‎11．如图所示，正方形和正方形，原点为的中点，抛物线经过两点，则直线的斜率为 A. B． ‎ C． D．‎ ‎12. 关于函数,下列说法正确的是 ‎（1）是的极大值点 （2）函数有且只有1个零点 ‎（3）存在正实数，使得恒成立 ‎ ‎（4）对任意两个正实数，且，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.  ．‎ ‎14.已知函数在上为单调函数，则的取值范围为 . ‎ ‎15.过点作斜率为的直线， 与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎16.设函数，存在，使得成立，则实数的值是 .‎ 三．解答题（共6道题，共70分）‎ ‎17.（10分）在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中，如图所示． （1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程； （2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程．‎ ‎ ‎ ‎18.（12分）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点,,如图所示． （1）求及的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎19.（12分）已知函数 ‎ （1） 讨论函数的单调区间；（2）若有唯一零点，求的取值范围.‎ ‎20.（12分）如图，在直三棱柱中，，，是中点．‎ ‎（1）求证：平面 ‎； （2）在棱上存在一点，满足，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． ‎ 21. ‎（12分）已知椭圆，分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，为椭圆第一象限上一动点 ‎（1）直线与轴交于点,直线与轴交于点，求证：为定值;‎ ‎（2）为关于的对称点，求四边形面积的最大值.‎ 22. ‎（12分）已知函数 （1） 求函数的最小值;‎ （2） 当时，对任意不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎高二期中数学（理）答案 一．选择题 CAACB ADCDA BB 二．填空题 13.，14.，15.，16.‎ 三．解答题 ‎17.解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点， 根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a， ∴a=8， 在椭圆中：b2=a2-c2=64-16=48， ∴椭圆方程为：； （2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点， 根据双曲线的定义：丨CA丨-丨CB丨=4=2a′， ∴a′=2， 在双曲线中：b2=c2-a′2=16-4=12， ∴双曲线方程为：．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由图象可知，在（-∞，1）上，f′（x）＞0， 在（1，2）上，f′（x）＜0，在（2，+∞）上，f′（x）＞0， 故f（x）在（-∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减． 因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1； f′（x）=3ax2+2bx+c， 由f′（1）=0，f′（2）=0，f（1）=5， 得，解得a=2，b=-9，c=12； （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2x3-9x2+12x，f′（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）， 所以f（x）在[0，1）上递增，在（1，2）上递减，在（2，3]上递增， ∴f（x）max=max{f（1），f（3）}=f（3）=9， f（x）min=min{f（0），f（2）}=f（0）=0． 所以f（x）在[0，3]上的最大值是9，最小值是0．‎ ‎19.(1).时增，时，增，减 ‎（2）.或 ‎20.证明：‎ ‎（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO， ∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点， 又E为CB的中点，∴EO∥A1B， ∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1， ∴A1B∥平面AEC1． 解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0）， 设M（0，0，m），（0≤m≤2），则=（-2，0，m-2），=（1，-1，-2）， ∵B1M⊥C1E，∴=-2-2（m-2）=0，解得m=1， ∴M（0，0，1），=（1，1，-1），=（0，2，1）， 设平面MEC1的法向量=（x，y，z）， 则，取y=-1，得=（3，-1，2）， ∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0）， ∴cos＜＞==-， ∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎21.(1). (2)最大值 ‎22.(1)(2)‎