2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第52讲课件（30张）（全国通用）

2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第52讲课件（30张）（全国通用）

考试要求　 1. 直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式 (B 级要求 ) ； 2. 确定直线位置的几何要素，直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 )(C 级要求 ) ； 3. 斜截式与一次函数的关系 (A 级要求 ). 第 52 讲　直线的基本量与 方程 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大 .( 　　 ) (2) 直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α .( 　　 ) (3) 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 .( 　　 ) (4) 经过点 P ( x 0 ， y 0 ) 的直线都可以用方程 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) 表示 .( 　　 ) (5) 经过任意两个不同的点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 的直线都可以用方程 ( y － y 1 )( x 2 － x 1 ) ＝ ( x － x 1 )( y 2 － y 1 ) 表示 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析　 (1) 当直线的倾斜角 α 1 ＝ 135° ， α 2 ＝ 45° 时， α 1 ＞ α 2 ，但其对应斜率 k 1 ＝－ 1 ， k 2 ＝ 1 ， k 1 ＜ k 2 . (2) 当直线斜率为 tan( － 45°) 时，其倾斜角为 135°. (3) 斜率相等的两直线的倾斜角一定相等 . (4) 当直线的斜率不存在时，不可以用方程 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) 表示 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)× 　 (5)√ 2. 若直线 l 与直线 y ＝ 1 ， x ＝ 7 分别交于点 P ， Q ，且线段 P Q 的 中点坐标为 (1 ，－ 1) ，则直线 l 的斜率为 ________. 解析　 设 P ( m ， 1) ， Q (7 ， n ) ， 3. 已知两点 A (4 ， 0) ， B (0 ， 3) ，点 C (8 ， a ) 在直线 AB 上，那么实数 a ＝ ________. 答案　 － 3 4. 若直线 (2 m 2 ＋ m － 3) x ＋ ( m 2 － m ) y ＝ 4 m － 1 在 x 轴上的截距为 1 ，则实数 m 是 ________. 解析　 令 y ＝ 0 ，则 (2 m 2 ＋ m － 3) x ＝ 4 m － 1 ， 5. 如图所示，直线 l 过点 P ( － 1 ， 2) ，且与以 A ( － 2 ，－ 3) ， B (3 ， 0) 为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围为 ________. 当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增到 90° ，斜率的变化范围为 [5 ，＋ ∞) ； 1. 直线的倾斜角 (1) 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴所在的直线绕着交点 按 __________ 方向 旋转到和直线重合时所转过 的 __________ 称为 这条直线的倾斜角，并规定：与 x 轴 _________ _ _ 的 直线的倾斜角为 0°. (2) 范围：直线的倾斜角 α 的取值范围 是 ______ __ ___. 知 识 梳 理 逆时针 最小正角 平行或重合 [0 °,180 °) 2. 斜率公式 tan α 3. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 —————————— 不含直线 x ＝ x 1 斜截式 ——————— 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含直线 x ＝ x 1 ( x 1 ≠ x 2 ) 和直线 y ＝ y 1 ( y 1 ≠ y 2 ) y － y 1 ＝ k ( x － x 1 ) y ＝ kx ＋ b 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 ( A ， B 不全为 0) 考点一　直线的倾斜角与斜率 【例 1 】 (1)( 2018· 镇江模拟 ) 直线 x sin α ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的倾斜角的取值范围是 ________. 解析　 (1) 设直线的倾斜角为 θ ，则有 tan θ ＝－ sin α . 因为 sin α ∈ [ － 1 ， 1] ，所以－ 1 ≤ tan θ ≤ 1 ，又 θ ∈ [0 ， π) ， 【训练 1 】 若直线 ( k 2 － 1) x － y － 1 ＋ 2 k ＝ 0 不经过第二象限，则实数 k 的取值范围是 ________. 解析　 直线方程可化为 y ＝ ( k 2 － 1) x ＋ 2 k － 1 ， 因为直线不过第二象限， 解得 k ≤ － 1. 即实数 k 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1]. 答案　 ( － ∞ ，－ 1] 考点二　求直线的方程 【例 2 】 根据所给条件求直线的方程： 解　 (1) 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 . 即 x ＋ 3 y ＋ 4 ＝ 0 或 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0. (2) 设直线 l 在 x ， y 轴上的截距均为 a . 若 a ＝ 0 ，即 l 过点 (0 ， 0) 及 (4 ， 1) ， ∴ a ＝ 5 ， ∴ l 的方程为 x ＋ y － 5 ＝ 0. 综上可知，直线 l 的方程为 x － 4 y ＝ 0 或 x ＋ y － 5 ＝ 0. (3) 当斜率不存在时，所求直线方程为 x － 5 ＝ 0 ，满足条件； 当斜率存在时，设其为 k ， 则所求直线方程为 y － 10 ＝ k ( x － 5) ， 即 kx － y ＋ (10 － 5 k ) ＝ 0. 故所求直线方程为 3 x － 4 y ＋ 25 ＝ 0. 综上知，所求直线方程为 x － 5 ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 25 ＝ 0. 规律方法 　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件 . 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 . 故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 . 【训练 2 】 求适合下列条件的直线方程 ： 解　 (1) 设直线 l 在 x ， y 轴上的截距均为 a ， 若 a ＝ 0 ，即 l 过点 (0 ， 0) 和 (3 ， 2) ， ∴ a ＝ 5 ， ∴ l 的方程为 x ＋ y － 5 ＝ 0 ， 综上可知，直线 l 的方程为 2 x － 3 y ＝ 0 或 x ＋ y － 5 ＝ 0. (3) ① 过点 A (1 ，－ 1) 与 y 轴平行的直线为 x ＝ 1. 求得 B 点坐标为 (1 ， 4) ，此时 AB ＝ 5 ，即 x ＝ 1 为所求 . ② 设过 A (1 ，－ 1) 且与 y 轴不平行的直线为 y ＋ 1 ＝ k ( x － 1) ( k ≠ － 2) ， 即 3 x ＋ 4 y ＋ 1 ＝ 0. 综上可知，所求直线方程为 x ＝ 1 或 3 x ＋ 4 y ＋ 1 ＝ 0. 【例 3 】 ( 一题多解 ) 已知直线 l 过点 P (3 ， 2) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点，如图所示，求 △ ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 . 考点 三 　 直线方程的综合应用 法二　 依题意知直线 l 的斜率 k 存在且 k <0. 则直线 l 的方程为 y － 2 ＝ k ( x － 3)( k <0) ， 即 △ ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0. 规律方法 　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1) 求解与直线方程有关的最值问题 . 先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 . (2) 求直线方程 . 弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 . (3) 求参数值或范围 . 注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 . 【训练 3 】 ( 2018· 盐城模拟 ) 直线 l 过点 P (1 ， 4) ，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A ， B 两点， O 为坐标原点，当 OA ＋ OB 最小时，求直线 l 的方程 . 解　 依题意，直线 l 的斜率存在且斜率为负， 设直线 l 的斜率为 k ， 则直线 l 的方程为 y － 4 ＝ k ( x － 1)( k <0). 即 k ＝－ 2 时， OA ＋ OB 取最小值 . 这时直线 l 的方程为 2 x ＋ y － 6 ＝ 0.