数学理卷·2019届黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试（2018-01）

大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期末 考试 数学试题（理） ‎ 试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。 ‎ ‎2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 选择题部分 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）‎ ‎ 1.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是( ) 　　　‎ A B C D ‎ ‎ 2.已知命题 ;命题若，则,下列命题为真命题的是(　　)‎ A B C D ‎ 3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名．现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　) ‎ A B C D ‎ ‎4将直线变换为直线的一个伸缩变换为(　　)‎ A B C D ‎5．是“方程”表示双曲线的(　　)‎ A充要条件　　B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 ‎6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 ‎0.82‎ ‎0.78‎ ‎0.69‎ ‎0.85‎ ‎106‎ ‎115‎ ‎124‎ ‎103‎ 则哪位同学的试验结果体现线性相关性更强(　　)‎ A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 ‎7.命题的否定形式是　(　　)‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ ‎8.若如图所示的程序框图输出的值为，‎ 则条件①为(　　)‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ ‎9.用秦九韶算法计算多项式在时的值, 的值为( ) ‎ A B C D ‎ ‎10．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是 (　　) ‎ A ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 ‎11已知抛物线的焦点为，为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）‎ A B C D ‎ ‎12、已知点是双曲线左支上的一点，是双曲线的左、右焦点，且，与两条渐近线相交于两点，点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ）　‎ A B C D 第Ⅱ卷 解答题部分 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 把化为二进制数为______________；‎ ‎14.在随机数模拟试验中，若,,,,‎ 表示生成之间的均匀随机数,共产生了个点，其中有个点满足，则椭圆的面积可估计为 ________ 。‎ ‎15.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为__________；‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为__________。‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17. (本小题满分10分) ‎ 已知关于的一元二次方程 ‎(1)若一枚骰子掷两次所得点数分别是，求方程有两正根的概率；‎ ‎(2)若，，求方程没有实根的概率．‎ ‎18.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(θ为参数),‎ 直线经过定点,倾斜角为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程和曲线C的标准方程.‎ ‎(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋的面积(单位：)的数据：‎ 房屋面积 ‎115‎ ‎110‎ ‎80‎ ‎135‎ ‎105‎ 销售价格 ‎24. 8‎ ‎21. 6‎ ‎18. 4‎ ‎29. 2‎ ‎22‎ ‎(1) 求线性回归方程;‎ ‎(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格(精确到0. 1万元)．‎ ‎ ， ‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，是的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的大小（锐角）。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，‎ ‎，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（分及以上为及格）和众数；(众数保留整数)‎ ‎（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，‎ 求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（I）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；‎ ‎（II）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期 末 考试 ‎ 数学试题答案（理）‎ 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）‎ ‎1-6 DBBABD 7—12 CBDDCD ‎ 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14. 15. 11 16. ‎ 三、解答题 ‎17. (本小题满分10分) ‎ 已知关于的一元二次方程 ‎(1)若一枚骰子掷两次所得点数分别是，求方程有两正根的概率；‎ ‎(2)若，，求方程没有实根的概率．‎ ‎[解析]　(1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件．依题意知，基本事件(a，b)的总数共有36个，‎ 一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于即．………………………………….3‎ 设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，因此，所求的概率为P(A)＝＝．………………………………….5‎ ‎(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16. 满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，…………………………………8‎ 因此，所求的概率为P(B)＝＝．…………………………………10‎ ‎ 18.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(θ为参数),‎ 直线经过定点,倾斜角为.‎ ‎(1)写出直线的参数方程和曲线C的标准方程.‎ ‎(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.‎ ‎【解题】(1)根据直线经过的点和倾斜角求直线的参数方程,消去参数得圆的普通方程.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,利用参数的几何意义求值.‎ ‎【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-2)2=16, ………………………………….3‎ 直线: (t为参数). …………………………………6‎ ‎(2)将直线的参数方程代入圆的方程得:, ‎ 设t1,t2是方程的两个根,则t1t2=-3,‎ 所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3. ………………………………….12‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋的面积(单位：)的数据：‎ 房屋面积 ‎115‎ ‎110‎ ‎80‎ ‎135‎ ‎105‎ 销售价格 ‎24. 8‎ ‎21. 6‎ ‎18. 4‎ ‎29. 2‎ ‎22‎ ‎(1) 求线性回归方程;‎ ‎(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格(精确到0. 1万元)．‎ ‎ ， ‎ 解析]　 (1)＝i＝109， ＝23. 2，…………………………………2‎ (xi－)2＝1570，(xi－)(yi－)＝308．………………………………….4‎ 则＝＝≈0. 1962，……6‎ ＝－＝23. 2－0. 1962×109＝1. 8142．‎ 故所求回时直线方程为＝0. 1962x＋1. 8142. …………………………………8‎ ‎(2)由(1)得： 当x＝150时，销售价格的估计值为＝0. 196×150＋1. 8142＝31. 2442≈31. 2(万元)．‎ 答: 当房屋面积为150 m2时的销售价格估计为31. 2(万元)．…………………………………12‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，是的中点。‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的大小（锐角）。‎ 证明：（I）∵底面，平面，‎ ‎∴平面平面……………………………2分 ‎∵，∴平面，又平面，‎ ‎∴， …………………………………………4分 ‎∵，是的中点，∴，‎ ‎∵，∴平面，∵平面，‎ ‎∴平面平面. ……………………………6分 ‎（II）由题意知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设.‎ 则，，，，，，‎ ‎∴，，，……………………8分 设是平面的法向量，则 ‎ 即 令，则，‎ ‎∴是平面的一个法向量. ‎ 设是平面的法向量，则 ‎ 即 解得，令，则，‎ ‎∴是平面的一个法向量. ……………………………10分 ‎∵，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的大小为. …………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，‎ ‎，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）估计这次考试的及格率（分及以上为及格）和众数；(众数保留整数)‎ ‎（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，‎ 求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．‎ 解:（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：‎ f4=1-(0.025+0.0152+0.01+0.005)10=0.03分 直方图如右所示……………………………．3分 ‎（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、‎ 六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)10=0.75‎ 所以，抽样学生成绩的及格率是75% …… 6分 众数为75,…… 8分 ‎（3）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人数是18,15,3。‎ 所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。‎ ‎ ……………………12分 ‎22．（本题满分12分）‎ 已知、分别是椭圆的左、右焦点。‎ ‎（I）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；‎ ‎（II）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其 中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。‎ 解（I）因为椭圆方程为，知，，设 ‎，‎ 则，‎ 又，联立 ，解得，……6分 ‎（II）显然不满足题意，所直线的斜率存在，可设的方程为，‎ 设，联立 ‎ ‎，--------------------------------------------------------8分 且△------------------ ---------------------10分 又为锐角，，，，‎ 又，， -------------12分