2018-2019学年四川省顶级名校高二上学期入学考试数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年四川省顶级名校高二上学期入学考试数学（理）试题（Word版）

‎2018-2019学年四川省顶级名校高二上学期入学考试数学试卷（理科）‎ 考试时间:120分钟满分:150分 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）‎ ‎1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎2．直线在轴上的截距是(　　)‎ A.2 B‎.3 C.-2 D.-3‎ ‎3．点关于直线的对称点的坐标是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知数列的首项，且，则(　　)‎ ‎5．下列说法中正确的是(　　)‎ 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 ‎6．两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则(　　)‎ ‎7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织尺，经过一个月（按天计）后，共织布九匹三丈．问从第天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：匹丈，丈尺）那么此问题的答案为(　　)‎ 尺尺尺尺 ‎8．函数的部分图象如图所示，要得到函数 的图象，只需将函数的图象(　　)‎ 向右平移长度单位向左平移长度单位 向左平移长度单位向右平移长度单位 ‎9．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)‎ A．北偏东15°　　 B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°‎ ‎10．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎11．已知等差数列中，若是方程的两根，单调递减数列通项公式为．则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．在锐角中, 所对边分别为, 且 ‎，则的取值范围为(　　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．）‎ ‎13．已知，则的最小值为___________．‎ ‎14在长方体ABCD—A1B‎1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为．‎ ‎15．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧 上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．‎ ‎16．在中，，，这样的三角形恰有一个，则k的取值范围是_________．‎ 三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)cos C＝c(3cos B－cos A)．‎ ‎(1)求的值； (2)若c＝a，求角C的大小．‎ ‎18．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．‎ ‎（1）求证：∥平面EFGH；‎ ‎（2）求证：四边形EFGH是矩形．‎ ‎19．已知直线在轴上截距相等,且到点的距离等于,求直线的方程. ‎ ‎20．已知正项数列满足.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列;‎ ‎（2）若数列满足，且数列的最大项为，最小项为，求的值.‎ ‎21．请阅读下面材料：‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 ‎…………①‎ ‎…………②‎ 由①+②得…………③‎ 令有 代入③得．‎ ‎（Ⅰ）试证明：；‎ ‎（Ⅱ）若的内角满足，试判断的形状．‎ ‎22．“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面‎1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．‎ ‎(1)求B，C两救援中心间的距离；‎ ‎(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．‎ ‎高2020届高二上期入学考试（理科）参考答案 一、选择题：‎ ‎1～5：6～10：11～12：‎ 部分解析：‎ ‎11.解:∵是的两根，∴．（或两根为）∵等差，∴，∴．∵递减，∴对恒成立，，∴对恒成立．∵，∴．∴选B.‎ ‎12．解:由得.‎ 结合在锐角中，有，由=‎ 二、填空题：‎ ‎13．14．15． 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，‎ ‎∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，‎ 即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，∴＝3．……5分 ‎(2)由(1)知b＝‎3a，∵c＝a，‎ ‎∴cos C＝＝＝＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝．……10分 ‎18．证明：（1）∵E，H分别为AB， DA的中点．‎ ‎∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH,‎ ‎∥平面EFGH；……4分 ‎(2)取BD中点O，连结OA，OC．‎ ‎∵ AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，‎ 又AO∩CO=O．∴BD⊥平面AOC．‎ ‎∴BD⊥AC．……7分 ‎∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．‎ ‎∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．‎ ‎∴EH∥FG，且EH=FG．‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．……10分 由（2）可知AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．‎ ‎∴EF⊥EH．‎ ‎∴四边形EFGH为矩形．……12分 ‎19．解：当直线在轴上截距都等于0时，设直线的方程为 由已知得解得 所以直线的方程为………………6分 当直线在轴上截距不等于0时，设直线的方程为 由已知得解得或 所以直线的方程为……………11分 综上所述，直线的方程为或…12分 ‎20.解：由已知有：且，‎ 所以由,‎ ‎，由解得所以数列是以首项为2，‎ 公差为2的等差数列………….6分-‎ ‎（2）=，‎ 当时，最大，当时，最小，所以…………12分-‎ ‎21．解：（Ⅰ）因为，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得. ③‎ 令有，‎ 代入③得． …………………6分 ‎（Ⅱ）解法一：由二倍角公式,可化为 ‎,‎ 即.‎ 设的三个内角A,B,C所对的边分别为，‎ 由正弦定理可得.‎ 根据勾股定理的逆定理知，为直角三角形．…………………………12分 解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，可化为 ‎，‎ 因为A,B,C为的内角，所以，‎ 所以.‎ 又因为，所以,‎ 所以. 从而.‎ 又因为,所以，即.‎ 所以为直角三角形． ……………………………………………12分 ‎22．解：(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形．‎ 在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝，‎ 在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝，‎ 又∠CAB＝90°，BC＝＝万米．……6分 ‎(2)sin ∠ACD＝sin ∠ACB＝，cos∠ACD＝－，‎ 又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝，‎ 在△ADC中，由正弦定理，＝，‎ 得AD＝＝万米．………12分