广西桂林市第十八中学2020届高三下学期第二次月考 数学（理）（PDF版含答案）

广西桂林市第十八中学2020届高三下学期第二次月考 数学（理）（PDF版含答案）

高三理科数学 第 3 页 （共 4 页） 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 桂林市第十八中学 17 级高三第二次月考试卷 理科数学 注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分。考试时间：120 分钟 答卷前，考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写在答题卷指定的位置。 2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案；不能答在试题卷上。 3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内 的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M {x | x2  4  0}, N  x 1 2x  8, xZ ，则 N M  A．0,2 B．{0,1} C． {0,1,2} D．{0,1,2,3} 2.已知复数 34 2 iz i   ，则 z  A．5 B． 5 C． 5 2 D． 5 2 3.已知 22sin 1, cos 263              则 A． 1 2 B． 3 2 C． 1 2 D． 3 2 4.已知    1 , 1 3 , 1x f x xfx x      ，  31 log 5f  则 A．15 B． 5 3 C．5 D． 1 5 5.已知等比数列 na 满足 1 13 74a a a ，数列 nb 是等差数列， 其前 n 项和为 nS ，且 77ab ，则 13S  A．52 B． 26 C． 78 D．104 6.若向量    3, 1 , 2,1AB n   ，且 7,n AC则 n BC A．1 B． 2 C． 1 D． 2 7.在如图所示的程序程图中,若使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 则满足条件的 x 的个数为 A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个 8.在如图所示的正方形中随机投掷 1 枚豆子，则该豆子落在阴影部分 （曲线 C 的方程为 3yx ）的概率为 A． 1 4 B． 1 8 C． 1 5 D． 1 6 9.已知命题 : ,2 3xxp x R   ， 32: , 1q x R x x   命题 ，则下列命题为真命题的是 A． pq B． pq C． pq D． pq   10.已知函数    2sin0 6f xx   ，若使得  fx在区间 ,3   上为增函数的整数 有且只有一个， 则正数 的取值范围是 A． ,63   B． ,63    C． 0, 3    D． 0, 3   11.点 P 为双曲线   22 2210, 0xy abab    右支上的一点，其右焦点为 2F ， M 是线段 2PF 的中点， 且 2 2 2 2 2 1, 2OF F M OF F M c 若 ，则该双曲线的离心率为 A． 31 2  B． 3 2 C． 3 D． 2 12.已知在 R 上的可导函数  fx满足：     2f x f x x   ，且当      00x f x f x f x  时，有 ， 则函数      0 xF x f x x f e   的零点的个数为 A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若 0 , 2 0, 4 0 xy x y x y z x y y          满足 则 的最小值为 . 6114 16 .. 0 =ax ax  的展开式的常数项为 ，则实数 15.已知抛物线 2 4yx 的焦点为 F ,过点 的直线与抛物线交于 ,AB两点,若 3AF FB , AB 则 . 16.已知三棱锥 A BCD 中， 2AB AC BD CD    ， 2BC AD ，直线 AD 与底面 BCD 所成角为 3  ， 则此时三棱锥的外接球的体积为 . 高三理科数学 第 3 页 （共 4 页） 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.              5 1 1 2 23, 2 , 15. 12 () 1; 12,. 11 nn n nnn nn a n S a a a S a bb n Taa      本小题满分17. 已知等差数列 的前 项和为 且 求数列 的通项公式 记 求数列 的前 项和 分 18.（本小题满分 12 分） 某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由高考成绩和学业水平性考试成绩共同构成. 该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度,随机从中抽取了 100 名 城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有 25 人持不赞成意见,下图是根据样本的调查 结果绘制的等高条形图. （1）根据已知条件与等高条形图完成下面的 2×2 列联表,并判断我们能否有95% 的把握认为 “赞成高考改革方案与城乡户口有关”. 赞成 不赞成 合计 城镇居民 农村居民 合计 (2)用样本的频率估计概率,若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取 3 人,记这 3 位家长中是 城镇户口的人数为 X ,试求 X 的分布列及数学期望  EX.       19. 12 2 , , , , 2 , , . 1; 2 - . ABCD AB BC PAB PBC CD E CE CD AE PE AE PAC A PE B    本小题满分 分 已知正方形 的边长为 ，分别以 为一边在空间中作正三角形 延长 到点 使 连接 证明； 面 求二面角 的余弦值  20.12本小题满分 分 已知椭圆 22 :143 xyC 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与椭圆交于 ,AB两点，线段 AB 的中点为 M . 设直线l 与直线OM 的斜率分别为 12,kk.   121 kk求 的值；  24 ,.l x Q AF BQ BF AQ  设直线 交直线 于点 证明：                1 21. 2ln 0 . 1 2 0,11 1. x f x a x ax fx ax f x e a x a         本题满分12分 已知函数 讨论 的单调性； 若 证明：当 时， （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.( 10 )()本小题满分 分 坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 1C 的极坐标方程为 5 cos 2sin   ，以极点为原点O ，极轴为 x 轴正半轴 （两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线 2C 的参数方程为： cos sin x y      （ 为参数）. （1）求曲线 1C 的直角坐标方程与曲线 2C 的普通方程； （2）将曲线 2C 经过伸缩变换 ' 2 2 '2 xx yy    后得到曲线 3C ，若 M ， N 分别是曲线 1C 和曲线 3C 上的动点， 求 MN 的最小值.          23. 10 11, 1.4 251;44 12 2 , , .4 ab ab abab x x x a b a b        本小题满分 分 不等式选讲 已知正数 满足 证明： 若存在实数 ，使得 求  2 0 0 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 P K k k  2 2 ( - ) ,.( )( )( )( ()) n ad bcKn a b c da b c d a c b d       其中 为样本容量 高三理科数学 第 3 页 （共 4 页） 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 桂林市第十八中学 17 级高三第二次月考试卷 理科数学答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C A B C B C B A B 二、 填空题：13. 3 14. 2 15. 16 3 16. 82 3  三、解答题             1 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 1 1 22 12 1, 15, 3 15 5 2 2 3 , 3 5 15 5 25, 2, 3 1 3 1 2 2 1 2 1 ......................................... n n nn ad a a a a a a a a a d a d a a d a d d a a d a a n d n n a a n                                       17.解： 已知等差数列 的公差为 则有题意知： 即 ， ， 数列 的通项公式为 设         1 12 .....................6 1 1 1 1 12 1 1 2 2 2 4 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ............124 2 3 3 4 1 2 4 2 2 8 () 2 n nn nn b a a n n n n nT b b b n n n n                                      分 分 18. 赞成 不赞成 合计 城镇居民 30 15 45 农村居民 45 10 55 合计 75 25 100 ……………………………………………………………………………………………………2 分 2100 (300-675) 3.03 3.84175 25 45 55K   ……………………………………………………………4 分 ∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关” ………………………5 分 (2)用样本的频率估计概率,随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为 0.6, 抽中农村户口家长的概率为 0.4, ………………………………………………………………6 分 X 的可能取值为0,1,2,3. ………………………………………………………………7 分   3 1 2 3 2 2 3 3 33 0 0.4 0.064, ( 1) 0.6 0.4 0.288, ( 2) 0.6 0.4 0.432, ( 3) 0.6 0.216............ 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.2 ..............9 .............................................. .16 . .. P X P X P C P X C P X C X X                  分 的分布列为   ......................10 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 1.8.........................................12EX          分 分   22 222 2 2 2 19. 1 , , , 2, , , 2 4, , , , 90 , 2, 2 2 4 , , BD AC O OP OA OB OC PC PA PO AC PO PC OC PO OB PB PO OB AC OB O PO ABCD AE ABCD PO AE AD CD ADE ED AD DC AE AC EC AE AC EC AE AC PO AC O AE PAC                                          证明：连接 交 于点 连接 则 又 面 又 面 易知 ， 面                   .....................................................................................6 2 1 , , 0,0, 2 , 0, 2,0 , 2,0,0 , 2 2, 2,0 2 2,0,0 , 2 2, 2, 2 , 3 2, 2,0 OP OD OC P A B E AE PE BE APE           分 由 易知 两两垂直，如图建立空间直角坐标系： 设面 的法       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 , , , 02 2 00 1 , 0,1, 1 0 2 2 2 2 0 1 , , , 13 2 2 00 3 0 2 2 2 2 0 1 m x y z xxAE m ym PE m x y z z BPE n x y z xxyBE m y PE m x y z z                                 向量为 设面 的法向量为  , 1,3, 1 4 2 22cos , 112 11 2 22 .................................................................................1211 n mnmn mn A PE B             二面角 的余弦值为 分                             1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 20. 1 , , , , , : ,22 114 3 4 3 0,4 3 4 3 3 3 3, .........................4 4 4 x x y yA x y B x y M x y x y x y x y x x x x y y y yx x y y y y y y y y y kkx x x x x x x                           设 则根据题意知 ， ， 两式相减得：    2222 ...............5 332 1, 4, , 4, 1 3 4 6 9 0 143 l x my x y Qmm x my m y myxy              分 设 的方程为 令 则 高三理科数学 第 3 页 （共 4 页） 高三理科数学 第 4 页（共 4 页）           1 1 2 2 1 1 2 1 222 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 222 1 2 1 2 69, , , , 0,, ,3 4 3 4 3 = 3 33 3 =2 3 18 18=23 4 3 4 3 =2... mA x y B x y y y y y ymm yAF AQ y mAF BQ BF AQ BF BQ y y m y y y y y y y y y ymm m y y y ym mm y y y y AF BQ BF AQm                   设 不妨令 则 要证 ，只需证： ，即证： 则证： 则证： ， 成立， .....................................................12分               22 21. 1 0 + . 22.........................................................................................1 0 0 0 .......................................2 0 fx a axfx x xx a f x f x a            解： 的定义域为 ， 当 时， 恒成立， 在 ， 单调递减； 当 时，当                     220, 0, 0 22, 0, , 00 220 0 , .......................................5 2 ln 1 x f x f xaa x f x f xaa a f x a f x f xaa g x x x                                             时， 在 ， 单调递减； 当 时， 在 单调递增； 综上所述：当 时， 在 ， 单调递减； 当 时， 在 ， 单调递减； 在 单调递增； 令                         1 1 1 1 1, 0 1 0, 1 0, 1 0 ln 1 0, ln 1 1 1 1 21 1 1 2 1 0, 1 .......................................... x x x g x x g x g xx g x g x g x g xx a a x a x x f x e a x a a x e a x ax e x xx                                         则 当 时， 单调递增； 当x> 时， 单调递减. 要证当 时， ， 只需证 即证： 对任意 恒成立                   11 2 1 2 2 1 .......................................9 221, 1 21, 1 1 1 4 0 1 1 1 ......................................................... xx x x h x e x h x ex x x h x e h xx h x h e x f x e a x a                                令 恒成立， 在 ， 单调递增， 时， .......................12 22.解：（1）∵ 1C 的极坐标方程是 5 cos2sin   ，∴ cos 2 sin5   ，整理得 25 0xy  ， ∴ 的直角坐标方程为 25 0xy  . 曲线 2C ： cos sin x y      ，∴ 221xy，故 的普通方程为 …………………………………5 分 （2）将曲线 经过伸缩变换 ' 2 2 '2 xx yy    后得到曲线 3C 的方程为 22''184 xy，则曲线 的参数方程为 2 2 cos y 2sin x      （ 为参数）.设  2 2 cos ,2sinN ，则点 N 到曲线 的距离为 2 2 cos 2 2sin 5 5 d    2 6 sin() 5 5   10 分 当  sin1时， d 有最小值 5 5 2 30 5  ，所以 MN 的最小值为 .……………10 分             1 1 1 1 2523. 1 . 4 4 4 4 24 4 4 4 25 144 1 1 1 1 251 2 1, ............................................................54 4 4 4 1 1 92 2 24 4 4 20 1 a b a ba b a b a b b a b a ab ab aba b a b a b x x x x x x                                 解： 分 且仅当   1 404 1 1 1 1 91 1 24 4 4 4 4 4 24 2 33, .......................................................................................9 24 4 x b a b aa b a b a b a b a b baabab ab ab ab                       ，即 时，等号成立 且仅当 即 时，等号成立 ....10分